1. 1 第 2 章 數字系統與資料表示法

2. 2 章節大綱 2-1 電腦的基本單位 電腦的基本單位 2-2 數字系統 數字系統 2-3 數值表示法 數值表示法 2-4 數值算術運算 數值算術運算 2-5 數碼系統 數碼系統 2-6 文字表示法 文字表示法 2-7 圖形表示法 圖形表示法 2-8 聲音表示法 聲音表示法 2-9 視訊表示法 視訊表示法 2-10 資料壓縮 資料壓縮 2-11 誤差與錯誤檢查 誤差與錯誤檢查

3. 3 2-1 電腦的基本單位 位元 (bit) 二進位系統 (binary system) 位元組 (byte) 字元 (character) 字組 (word) 回章節大綱

4. 4 2-1 電腦的基本單位 回章節大綱 單位位元數目簡寫 位元組 (byte)8 位元 B 字組 (word)16 位元 W 雙字組 (double word )32 位元 DW 四字組 (quad word)64 位元 QW

5. 5 2-1 電腦的基本單位 回章節大綱 單位簡寫準確值近似值 千位元組 (kilobyte) KB2 10 Bytes10 3 Bytes 百萬位元組 (megabyte) MB2 20 Bytes10 6 Bytes 十億位元組 (gigabyte) GB2 30 Bytes10 9 Bytes 兆位元組 (terabyte) TB2 40 Bytes10 12 Bytes 千兆位元組 (petabyte) PB2 50 Bytes10 15 Bytes 百京位元組 (exabyte) EB2 60 Bytes10 18 Bytes

6. 6 2-2 數字系統 任何一個屬於 K 進位系統的正數 N 都可表示成 如下多項式： N 通常寫成 N K = (d p-1 d p-2 …d 1 d 0.d -1 d -2 …d -q ) K 回章節大綱

7. 7 2-2 數字系統 12345.678 10 是一個十進位數字，我們可以將它表示成如下多項式： 12345.678 10 = 1 x 10 4 + 2 x 10 3 + 3 x 10 2 + 4 x 10 1 + 5 x 10 0 + 6 x 10 -1 + 7 x 10 -2 + 8 x 10 -3 1101010.11 2 是一個二進位數字，我們可以將它表示成如下多項式： 1101010.11 2 = 1 x 2 6 + 1 x 2 5 + 0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 + 1 x 2 -1 + 1 x 2 -2 回章節大綱

8. 8 2-2 數字系統 1234.567 8 是一個八進位數字，我們可以將它表示成如下多項式： 1234.567 8 = 1 x 8 3 + 2 x 8 2 + 3 x 8 1 + 4 x 8 0 + 5 x 8 -1 + 6 x 8 -2 + 7 x 8 -3 56789A.BC 16 是一個十六進位數字，我們可將它表示成如下多項式： 56789A.BC 16 = 5 x 16 5 + 6 x 16 4 + 7 x 16 3 + 8 x 16 2 + 9 x 16 1 + 10 x 16 0 + 11 x 16 -1 + 12 x 16 -2 回章節大綱

9. 9 2-2-1 二進位系統 二進位系統 (binary system) 是以 0 、 1 等兩個 數字做為計數的基底。 為簡化，我們通常將二進位數字 1000 和十進位 數字 8 寫成 1000 2 和 8 10 ( 或寫成 1000 2 = 8 10 ) 。 回章節大綱

10. 10 2-2-2 八進位系統 八進位系統 (octal system) 是以 0 、 1 、 2 ~ 7 等 八個數字做為計數的基底。 回章節大綱

11. 11 2-2-3 十六進位系統 十六進位系統 (hexadecimal system) 是以 0 、 1 、 2 ~ 9 、 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 等十六個數字做為 計數的基底。 回章節大綱

12. 12 回章節大綱 十進位二進位八進位十六進位十進位二進位八進位十六進位 000000016100002010 100011117100012111 200102218100102212 300113319100112313 401004420101002414 501015521101012515 601106622101102616 701117723101112717 8100010824110003018 9100111925110013119 10101012A2611010321A 11101113B2711011331B 12110014C2811100341C 13110115D2911101351D 14111016E3011110361E 15111117F3111111371F 表 2.3 二、八、十、十六進位對照表

13. 13 2-2-4 將二、八、十六進位數字轉換成 十進位數字 5621.78 10 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (2 x 10) + (1 x 1) + (7 x 0.1) + (8 x 0.01) = (5 x 10 3 ) + (6 x 10 2 ) + (2 x 10 1 ) + (1 x 10 0 ) + (7 x 10 -1 ) + (8 x 10 -2 ) 回章節大綱

14. 14 2-2-4 將二、八、十六進位數字轉換成 十進位數字 51763.2 8 = (5 x 8 4 ) + (1 x 8 3 ) + (7 x 8 2 ) + (6 x 8 1 ) + (3 x 8 0 ) + (2 x 8 -1 ) = (5 x 4096) + (1 x 512) + (7 x 64) + (6 x 8) + (3 x 1) + (2 x 0.125) = 20480 10 + 512 10 + 448 10 + 48 10 + 3 10 + 0.25 10 = 21491.25 10 回章節大綱

15. 15 2-2-4 將二、八、十六進位數字轉換成 十進位數字 F2A9.C 16 = (F x 16 3 ) + (2 x 16 2 ) + (A x 16 1 ) + (9 x 16 0 ) + (C x 16 -1 ) = (15 x 4096) + (2 x 256) + (10 x 16) + (9 x 1) + (12 x 0.0625) = 61440 10 + 512 10 + 160 10 + 9 10 + 0.75 10 = 62121.75 10 回章節大綱

16. 16 2-2-4 將二、八、十六進位數字轉換成 十進位數字 10110.0011 2 = (1 x 2 4 ) + (0 x 2 3 ) + (1 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (0 x 2 0 ) + (0 x 2 -1 ) + (0 x 2 -2 ) + (1 + 2 -3 ) +(1 + 2 -4 ) = (1 x 16) + (0 x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) + (0 x 0.5) + (0 x 0.25) + (1 x 0.125) + (1x 0.0625) = 16 10 + 4 10 + 2 10 + 0.125 10 + 0.0625 10 = 22.1875 10 回章節大綱

17. 17 2-2-5 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字 將十進位數字 59.75 10 轉換成二進位數字： (1) 59.75 10 = 59 10 + 0.75 10 (2) 找出整數部分的二進位表示法 2 59 1 (59 除以 2 的餘數 ) 2 29 1 (29 除以 2 的餘數 ) 2 14 0 (14 除以 2 的餘數 ) 2 7 1 (7 除以 2 的餘數 ) 2 3 1 (3 除以 2 的餘數 ) 1 1 ( 最大有效字元 ) 商數小於除數時停止，依反方向寫下餘數得到 59 10 = 111011 2 回章節大綱

18. 18 （ 3 ）找出小數部分的二進位表示法 0.75 取得小數部分乘以 2 x 2 小數點右邊第一位 1.50 0.50 取得小數部分乘以 2 x 2 小數點右邊第二位 1.00 小數部分等於 0 時停止 依序寫下乘以 2 之積數的整數部分得到 0.75 10 = 0.11 2 （ 4 ）將整數部分及小數部分的二進位表示法合併得到 59.75 10 = 111011.11 2 回章節大綱 2-2-5 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

19. 19 將十進位數字 5176.312510 轉換成八進位數字： （ 1 ） 5176.312510 = 517610 + 0.312510 （ 2 ）找出整數部分的八進位表示法 8 5176 0 (5176 除以 8 的餘數 ) 8 647 7 (647 除以 8 的餘數 ) 8 80 0 (80 除以 8 的餘數 ) 8 10 2 (10 除以 8 的餘數 ) 1 1 ( 最大有效數字 ) 商數小於除數時停止，依反方向寫下餘數得到 517610 = 120708 回章節大綱 2-2-5 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

20. 20 回章節大綱 0.3125 取得小數部分乘以 8 x 8 小數點右邊第一位 2.5000 0.5000 取得小數部分乘以 8 x 8 小數點右邊第二位 4.0000 依序寫下乘以 8 之積數的整數部分得到 0.3125 10 = 0.24 8 (4) 將整數部分及小數部分的八進位表示法合併，得到 5176.3125 10 = 12070.24 8 。 (3) 找出小數部分的八進位表示法 2-2-5 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

21. 21 回章節大綱 將十進位數字 4877.610 轉換成十六進位數字 ： （ 1 ） 4877.610 = 487710 + 0.610 （ 2 ）找出整數部分的十六進位表示法 16 4877 13 (4877 除以 16 的餘數 ) 16 304 0 (304 除以 16 的餘數 ) 16 19 3 (19 除以 16 的餘數 ) 1 1 ( 最大有效數字 ) 商數小於除數時停止，依反方向寫下餘數得到 487710 = 130D8 2-2-5 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

22. 22 回章節大綱 （ 3 ）找出小數部分的十六進位表示法 0.6 取得小數部分乘以 16 x 16 小數點右邊第一位 9.6 0.6 出現循環時停止 ( 從小數點右邊第一位開始 ) 依序寫下乘以 16 之積數的整數部分，得到 0.610 = 0.916 （ 4 ）將整數部分及小數部分的十六進位表示法合併，得到 4877.610 = 130D.916 2-2-5 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

23. 23 2-2-6 將八或十六進位數字轉換成二進 位數字 回章節大綱 5 7 6 2. 1 3 8 = 101 111 110 010. 001 011 2 E 8 C 4. B 16 = 1110 1000 1100 0100. 1011 2

24. 24 回章節大綱 011 010 111.101 100 2 = 3 2 7. 5 4 8 整數部分每三個數字一組，不足三個的 就在左邊補上 0 小數部分每三個數字一組，不足三個的 就在右邊補上 0 2-2-7 將二進位數字轉換成八或十六進 位數字

25. 25 2-2-7 將二進位數字轉換成八或十六進 位數字 回章節大綱 0010 1101 0111 1010. 1111 00102 = 2 D 7 A. F 216 整數部分每四個數字一組，不足四個的就在左邊補上 0 小數部分每四個數字一組，不足四個的就在右邊補上 0

26. 26 2-3 數值表示法 帶符號大小 1’s 補數 1’s 補數 2’s 補數 2’s 補數 回章節大綱

27. 27 2-3-1 帶符號大小 假設使用 n 位元來表示正負整數，那麼最左邊的位元 (MSD) 是整數的正負符號， 0 表示正數， 1 表示負數， 剩下的 n - 1 位元才是整數的數值大小，正整數的範圍 為 0 ~ 2 n-1 -1 ，負整數的範圍為 -(2 n-1 -1) ~ 0 。 回章節大綱 回 2-3 數值表示法 回 2-3 數值表示法

28. 28 2-3-2 1’s 補數 假設使用 n 位元來表示正負整數，最左邊的位元 (MSD) 是整數正負符號， 0 表示正數， 1 表示負數， 剩下 n - 1 位元才是整數數值大小，正整數範圍為 0 ~ 2 n-1 -1 ，負整數範圍為 -(2 n-1 -1) ~ 0 。 回章節大綱 回 2-3 數值表示法 回 2-3 數值表示法

29. 29 2-3-3 2’s 補數 假設使用 n 位元來表示正負整數，那麼最左邊的位 元 (MSD) 是整數的正負符號， 0 表示正數， 1 表示 負數，剩下的 n - 1 位元才是整數的數值大小，正 整數範圍為 0 ~ 2 n-1 -1 ，負整數範圍為 -2 n-1 ~ 0 。 回章節大綱 回 2-3 數值表示法 回 2-3 數值表示法

30. 30 2-3 數值表示法 回章節大綱 十進位 帶符號大小 1’s 補數 2’s 補數 十進位 帶符號大小 1’s 補數 2’s 補數 +8 無無無 -8 無無 1000 +70111 -7111110001001 +60110 -6111010011010 +50101 -5110110101011 +40100 -4110010111100 +30011 -3101111001101 +20010 -2101011011110 +10001 100111101111 +00000 -0100011110000 表 2.4 不同數值表示法對照表

31. 31 2-3 補數的推廣 (K - 1)’s 補數：對於 N K 的每位數字均以 (K - 1) 減 去該數字，便能求出 N K 的 (K - 1)’s 補數為 ((K - 1 - d p-1 )(K - 1 - d p-2 )…(K - 1 - d 1 )(K - 1 - d 0 ).(K -1 - d - 1 )…(K - 1 - d -q )) K ；或者，您也可以套用公式 (K p - K -q ) - N K 。 K’s 補數：先求出 N K 的 (K - 1)’s 補數，再加上 K -q ， 也就是 ((K - 1 - d p-1 )(K - 1 - d p-2 )…(K - 1 - d 1 )(K - 1 - d 0 ).(K -1 - d -1 )…(K - 1 - d -q )) K + K -q ；或者，您 也可以套用公式 K p - N K 。 回章節大綱

32. 32 2-4 數值算術運算 回章節大綱 加法 減法 乘法 除法 前往 2-5 數碼系統 前往 2-5 數碼系統

33. 33 2-4-1 加法 回章節大綱 範例： 1110102 + 110112 （ 1 ） 00111010 +00011011 （ 2 ） 1 00111010 +00011011 01

34. 34 2-4-1 加法 回章節大綱 （ 3 ） 1 00111010 + 00011011 0101 （ 4 ） 1 00111010 + 00011011 10101

35. 35 2-4-1 加法 回章節大綱 （ 5 ） 1 00111010 + 00011011 010101 （ 6 ） 00111010 + 00011011 01010101 回 2-4 數值算術運算 回 2-4 數值算術運算

36. 36 2-4-2 減法 回章節大綱 （ 1 ） 00001010 - 00000011 （ 2 ） -1 00001010 - 00000011 1

37. 37 2-4-2 減法 回章節大綱 （ 3 ） -1 00001010 - 00000011 11 （ 4 ） -1 00001010 - 00000011 111

38. 38 2-4-2 減法 回章節大綱 （ 5 ） 00001010 - 00000011 00000111 回 2-4 數值算術運算 回 2-4 數值算術運算

39. 39 2-4-3 乘法 回章節大綱 範例： 11012 x 10112 1101 x1011 1101 1101 0000 1101 10011111 回 2-4 數值算術運算 回 2-4 數值算術運算

40. 40 2-4-4 除法 範例： 111010012 ÷ 10012 回章節大綱 回 2-4 數值算術運算 回 2-4 數值算術運算

41. 41 2-5 數碼系統 IEEE 754 Single 格式 符號位元 (sign bit) 偏移指數 (biased exponent) 尾數 (mantissa) 、分數 (fraction) 回章節大綱

42. 42 浮點數表示法 (4 Bytes) S : 1 Byte, E : 8 Bytes, F :: 23 Bytes Ex: 98.625 10 正規化 => 0.1100010101 × 2 7 加入隱藏位元 => 1.1100010101 × 26  S -> 0( 正數 )  E -> 133 ( 6 = E -127)  F -> 110001010100000000000000

43. 43 2-6 文字表示法 回章節大綱 ASCII (7 Bits) (American Standard Code for Information Interchange) ASCII-8 (8 Bits) EBCDIC (IBM) (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) 中文編碼系統；如 BIG5 、王安碼、 CCCII 碼，簡體 中文編碼系統以國標碼 GB 或漢字碼 HZ 為主。 Unicode (16 Bits)

44. 44 2-6 常見的文字檔格式 TXT DOC/DOCX PDF 回章節大綱

45. 45 2-7 圖形表示法 回章節大綱 點陣圖：點陣圖放大時，容易出現鋸齒狀。 向量圖：能夠依照任意比例放大、縮小、旋轉及 傾斜，而不會出現鋸齒狀。 點陣圖 鋸齒狀點陣圖

46. 46 2-7-1 點陣圖 回章節大綱 水平解析度 V.S. 垂直解析度 圖形尺寸 色彩深度 常見的點陣圖檔格式 BMP JPEG GIF PNG TIFF PSD

47. 47 常見的向量圖檔格式 EPS DXF/DWG WMF 2-7-2 向量圖 回章節大綱

48. 48 2-8 聲音表示法 回章節大綱

49. 49 2-8 聲音表示法 常見的聲音檔格式 WAV MP3 MIDI Real Audio WMA CD-AUDIO Dolby Digital DTS 回章節大綱

50. 50 2-9 視訊表示法 回章節大綱 主要的電視系統視訊標準： NTSC (national television standards committee) PAL (phase alteration line) SECAM (sequential color and memory) HDTV (high definition TV)

51. 51 2-9 視訊表示法 常見的視訊檔格式 AVI MPEG Quick Time Real Video WMV 回章節大綱 WMV MPEG: Moving Picture Experts Group)

52. 52 2-10 資料壓縮 回章節大綱 非失真壓縮，例如變動長度編碼 (run length encoding) 、霍夫曼碼 (Huffman coding) 、 Lempel-Ziv 編碼等。 失真壓縮，例如 JPEG 可用來壓縮圖形、照片， MPEG 可用來壓縮影片， MP3 可用來壓縮聲音。

53. 53 2-10 資料壓縮 回章節大綱 常見的壓縮技術 JPEG GIF PNG MP3 MPEG

54. 54 原理是記錄符號出現的次數，例如： 2-10-1 變動長度編碼 回章節大綱

55. 55 2-10-2 霍夫曼碼 編碼步驟如下： 找出所有符號的出現頻率。 將頻率最低的兩者相加得出另一個頻率。 重覆步驟 2 不斷將頻率最低的兩者相加，直到只剩下 一個頻率為止。 根據合併的關係分別配置 0 和 1 ，形成一個編碼樹 。 回章節大綱

56. 56 2-11 誤差與錯誤檢查 固有誤差 (inherent error) 捨棄誤差 (round-off error) 回章節大綱

57. 57 在資料位元傳送出前，先加上一個同位位元 ( 通 常加在最前面 ) ，然後送出，待接收到這些位元 圖樣後，檢查看看是否有奇數個 1 或偶數個 1 。 分成奇同位檢查和偶同位檢查。 2-11-1 同位元檢查 回章節大綱

58. 58 讓發訊端與收訊端事先協調一個生成多項式，然 後發訊端在將資料位元傳送出去之前，先將資料 位元除以生成多項式，再將得到的餘數 ( 即 CRC 碼 ) 放在資料位元的後面一起傳送出去。 2-11-2 循環冗餘碼 (CRC) 回章節大綱

59. 59 2-11-2 循環冗餘碼 (CRC) 假設資料位元為 110010101110 ，生成多項式為 X 3 + 1 (1001) ，試求取 CRC 碼及加上 CRC 碼後 的完整訊息： 1. 由於生成多項式 X 3 + 1 (1001) 的羃次為 3 ，故先 在資料位元 110010101110 的後面加上三個 0 ， 得到被除數為 110010101110000 。 回章節大綱

60. 60 2-11-2 循環冗餘碼 (CRC) 2. 以長除法求取 110010101110000 除以 生成多項式 X 3 + 1 (1001) 的餘數： 3.CRC 碼為餘數 11 ，故完 整訊息為 11001010111011 。 回章節大綱

61. 61 2-11-3 錯誤更正碼 (ECC) 當錯誤更正碼的漢明距離大於等於 D 時，只要發生 錯誤的位元不超過 D - 1 個，系統都能夠偵測出來， 而只要發生錯誤的位元不超過 (D - 1) / 2 個，系統 都能夠加以更正。 回章節大綱