1. 布林代數的應用--- 全及項(最小項)和全或項(最大項)展開式
第 4 章
布林代數的應用---
全及項(最小項)和全或項(最大項)展開式

2. 將文字敘述轉換成布林方程式 設計一個單一輸出之組合交換電路,主要的三個步驟: 1.找出一個表示電路行為的交換函數.
2.找出此函數之簡化的代數表示式.
3.利用可用的邏輯元件實現此簡化的函數. ,,
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3. 利用布林變數來表示文字敘述:
EX:瑪琍看電視如果是星期一晚上且
她已經做完她的功課.
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4. Ex:警鈴會響若且唯若警鈴的開關打開且
門沒有關，或時間是下午六點以後且
窗戶沒有關。 則
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5. 利用真值表設計組合邏輯 Ex:一交換電路具有3個輸入及1個輸出,輸入 A﹑B和C分別代表一個二進數N之第1個﹑
第2個和第3個位元.如果 時,則電
路的輸出 且若 ,則 .
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6. Sol:由真值中, 時之A ﹑B和C的組合值可推導出 的代數表示式.則
則可得電路為
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7. 全及項與全或項展開式
全及項(minterm):n個變數的全及項是n個文字字元的乘積，其中每個變數只以變數或其補數形式出現一次，不能兩種同時出現。
全或項(maxterm):n個變數的全或項是n個文字字元的和，其中每個變數只以變數或其補數的形式出現一次，不能同時出現。
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8. 3個變數的全及項與全或項
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9. 全及項展開式(minterm expansion)或標準積項和(standard sum of products) :
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10. 全或項展開式(maxterm expansion)或標準和項積 (standard product of sum):一個函數f以全或項的積的形式來表示。
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11. 之補數的全及項與全或項
Ex: 則
同理,
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12. 一般的交換表示式轉換成全及項或者全或項展開式的方法---利用真值表或代數的方式。
轉換成全及項展開式:利用定理 ,在每個積項加入缺少的變數再乘開即可。
轉換成全或項展開式:利用定理 ,在每個和項加入缺少的變數再分解即可。
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13. 範例:求出
之全及項展開式。
Sol:
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14. 範例:求出
之全或項展開式。
Sol:
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15. 一般化的全及項與全或項展開式
3個變數之一般函數的真值表:
3個變數有256種不同的函數。
n個變數則有 種可能的函數。
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16. 3變數一般化函數的全及項展開式: 若 則全及項 會出現在表示式中, 若 則相對應之全及項不會出現。 3變數一般化函數的全或項展開式:
若 則全及項 會出現在表示式中,
若 則相對應之全及項不會出現。
3變數一般化函數的全或項展開式:
若 則全或項 不會出現在表示式中,
若 則 會出現在表示式中。
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17. 之全及項展開式:
沒有出現在 中的全及項會出現在 中。
之全或項展開式:
沒有出現在 中的全或項會出現在 中。
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18. n個變數之一般化全及項展開式:
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19. 已知2個函數之全及項展開式:
則乘積為
(因為 除非 )
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20. Ex:已知2個函數之全及項展開式: 則
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21. 和 之間全及項與全或項展開式轉換的程序:
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22. 未完全定義函數 Ex:電路N1的輸出驅動電路N2的輸入。假設對 w﹑x﹑y和z沒有任何的組合值可以使得A﹑ B和C產生001和110的情況。
則函數F是未完全定義
(incompletely specified)
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23. 則 之全及項展開式為 之全或項展開式為 1.若指定2個x的值均為0,則 2.若指定第一個x為1,第2個x為0,則
則 之全及項展開式為
之全或項展開式為
1.若指定2個x的值均為0,則
2.若指定第一個x為1,第2個x為0,則
3.若指定2個x的值均為1,則
第2種選擇可得到最簡解。
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24. 真值表建立的例子
範例1:設計一個簡單的二元加法器，將2個1位
元之二進數a和b做相加，得到一個2位元
的和。
則 和
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25. 範例2:設計一個將兩個2-位元的二進位數相加 而得到一個3-位元的二進數和的加法器， 此電路具有四個輸入和三個輸出，如圖
所示，試求出此電路的真值表。
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26. 範例2(續):
則輸出函數為
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27. 範例3:設計一個6-3-1-1的BCD數元的錯誤偵測 器。若且唯若4個輸入(A,B,C,D)代表一 個不正確碼的組合，則輸出(F)為1。
Sol:真值表
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28. 範例3(續):
則輸出函數為
利用AND和OR閘實現的電路為
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29. 範例4:一個電路之4個輸入(A,B,C,D)代表一個 8-4-2-1的BCD數元。設計此電路使得輸 出(Z)等於1，若且唯若當其輸入所代表
的十進數字被3整除。假設只有正確的
BCD數元可以在輸入產生。
Sol:數元0﹑3﹑6和9恰好被3整除。所以輸入組
合ABCD=0000﹑0011﹑0110和1001，使得
Z=1 。
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30. 範例4(續):真值表
則輸出函數為
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31. 二進位加法器與減法器的設計 設計一個具有進位輸入且用來將兩組4-位元無號的二進位數相加而產生一個4-位元和及一個進位輸出的並列式加法器。
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32. 利用連接4個全加法器的邏輯模組來設計:
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33. 全加法器
全加法器:
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34. 全加法器的邏輯等式為:
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35. 全加法器的邏輯電路為:
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36. 利用全加法器來作二進位數的減法:
計算A-B,則將B的補數加上A即可。
以2的補數來表示負數為例:
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37. 利用全減法器來直接完成減法
考慮xi=0 ，yi=1，且bi=1的情況
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38. 並列式全減法器
並列式全減法器
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