1. Korelasi dan Regresi Linear mudah
Bab 4
Korelasi dan Regresi Linear mudah

2. Objektif
Menggunakan gambarajah serakan bagi menggambarkan perkaitan di antara dua pembolehubah.
Menghuraikan darjah perkaitan di antara dua pembolehubah.
Mengira pekali korelasi sebagai ukuran bagi kekuatan perkaitan di antara dua pembolehubah.

3. Samb - Objektif
Mengecam pembolehubah bersandar dan pembolehubah tidak bersandar.
Memberikan persamaan garis regresi menggunakan kaedah kuasadua terkecil dan seterusnya meramal nilai masa depan bagi pembolehubah bersandar.
Mentafsirkan nilai a dan b.
Membuat pentakbiran mengenai parameter 

4. Korelasi
Mengkaji korelasi/hubungan di antara dua atau lebih pembolehubah.
 nilai p1   atau  dalam nilai p2
 nilai p1   atau  dalam nilai p2
Menentukan arah korelasi di antara 2 pembolehubah sama ada
Positif
negatif

5. Korelasi positif
Korelasi positif wujud apabila pertambahan atau pengurangan pada sesuatu pembolehubah akan menyebabkan pertambahan atau pengurangan nilai pada pembolehubah lain

6. Korelasi negatif
Korelasi negatif wujud apabila pertambahan atau pengurangan nilai pada sesuatu pembolehubah akan menyebabkan pengurangan atau pertambahan nilai pada pembolehubah lain

7. Kaedah Mengkaji Korelasi
Membina gambarajah serakan
Mengira pekali korelasi

8. Gambarajah Serakan
Gambarajah serakan merupakan graf pasangan ( x, y ) yang telah diplot.
Serakan di sini bermaksud sebaran atau rebakan titik-titik di atas graf tersebut.
Titik-titik tersebut boleh membentuk sama ada
satu garis lurus
Tersebar di merata kedudukan pada graf itu
Panduan tentang jenis hubungan yang wujud

9. Gambarajah Serakan

11. Pekali Korelasi

16. Kirakan pekali korelasi bagi data di bawah dan terangkan maksudnya.
Contoh 1
Kirakan pekali korelasi bagi data di bawah dan
terangkan maksudnya. X 1 2 3 4 5 6 7 8 Y 9 10 12 13 14 16

17. Penyelesaian x y x2 Y2 xy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 16 25 36 49 64 81
100
144
169
196
256 30 48 65 84 98
128
x = 36
y =96
x2 =204
y2 = 1206
xy = 478
Wujud korelasi positif yang kuat di antara pembolehubah x dan y.

18. Latihan
Seorang pensyarah telah mengumpulkan data bagi jumlah jam belajar dan markah yang diperolehi dalam peperiksaan bagi 6 orang pelajar yang dipilih secara rawak. Berikut ialah data yang diperolehi. Kirakan pekali korelasi, dan jelaskan maksudnya.
Jam 5 10 4 6 9
Markah 64 86 69 59 87

19. Dalam kehidupan seharian, kita sering ingin menentukan darjah perkaitan atau hubungan di antara 2 atau lebih pembolehubah. Bagaimana hubungan di antara bilangan jam yang digunakan untuk mengulangkaji dengan pencapaian gred peperiksaan seseorang? Adakah seseorang akan bertambah sihat jika makan banyak buah-buahan dan sayuran daripada daging?

20. Regresi Linear Mudah
Model regresi linear digunakan untuk menganggar nilai y jika nilai x diketahui.
Anggaran nilai y menggunakan model ini mestilah dalam julat nilai x data yang diberi (interpolation). Anggaran nilai y di luar julat nilai x (extrapolation) tidak tepat kerana model regresi linear tidak benar di luar julat nilai x tersebut.
Untuk mengetahui adakah nilai y boleh diramalkan, lakarkan gambarajah serakan. Jika didapati korelasi linear wujud maka dapatkan model regresi linearnya.

21. Dua istilah penting dalam regresi
Pembolehubah bersandar, y - Pembolehubah yang sifatnya adalah subjek kajian atau yang mewakili kesan.
Pembolehubah tak bersandar, x - Pembolehubah yang dipercayai mempengaruhi pembolehubah bersandar atau yang mewakili sebab

22. Model Regresi Linear bagi Populasi
yi = o + 1xi
Model regresi linear bagi sampel
yi = a + bxi

23. Notasi bagi Persamaan Regresi
Parameter pop
Statistik sampel
Pintasan - y o a
Kecerunan garis 1 b

24. Kaedah Kuasa Dua Terkecil digunakan untuk menganggarkan parameter 1 dan 0.
Seterusnya menganggar garis regresi untuk mendapatkan suatu persamaan linear yang “terbaik.”

25. Penganggaran Parameter 1 dan 0

26. Berikut adalah data perbelanjaan bulanan dan bilangan
Contoh 2
Berikut adalah data perbelanjaan bulanan dan bilangan
anak bagi 6 buah keluarga.
Perbelanjaan (RM)
Bilangan anak
250
300
350
450
550
670 2 3 4 5 7 8
Tentukan pembolehubah bersandar dan pembolehubah tak bersandar.
Dapatkan persamaan garis regresi dan ramalkan perbelanjaan bulanan sebuah keluarga sekiranya bilangan anak ialah 6.

27. Penyelesaian
a) Pembolehubah bersandar ialah perbelanjaan bulanan. Pembolehubah tak bersandar ialah bilangan anak. b)

28. Jika bilangan anak 6 maka perbelanjaan bulanannya ialah
y = x 6 = RM

29. Latihan
Satu kajian dijalankan untuk mengkaji hubungan di antara perbelanjaan kos pengiklanan untuk Barang A dan tingkat jualan barang itu dalam suatu bulan. Jadual di bawah menunjukkan data yang dikumpul bagi 7 buah syarikat.
Kos pengiklanan(RM’000)
1.4
2.0
2.5
2.9
3.2
3.6
4.0
Jualan (RM’000)
6.0
7.3
9.6
11.0
12.0
12.5
13.7
Tentukan pembolehubah bersandar dan pembolehubah tak bersandar.
Dapatkan persamaan garis regresi dengan kaedah kuasadua terkecil dan berikan tafsiran model regresi yang diperolehi.
Ramalkan jualan barang jika kos pengiklanan RM 3000.

30. Pekali Penentu
Menunjukkan bahagian daripada jumlah variasi dalam pembolehubah bersandar yang boleh diterangkan oleh pembolehubah tak bersandar.
Dengan kata lain, berapa baikkah pembolehubah tak bersandar menerangkan pembolehubah bersandar.
Nilai pekali penentu =
Atau
Nilai pekali penentu = r2

31. Contoh 3 Berdasarkan data daripada contoh 2 , kirakan pekali
penentu dan tafsirkan maksudnya.
Penyelesaian
Pekali penentu, r2 =
b = SSxy = SSyy=
Gantikan dalam persamaan di atas , maka diperolehi
Ini bermakna 98.3% daripada variasi dalam perbelanjaan bulanan
diterangkan oleh bilangan anak dalam keluarga.

32. Contoh 4 Jadual berikut adalah data bagi pasangan X dan Y.
Lakarkan gambarajah serakan.
Kirakan pekali korelasi dan pekali penentu.
Dapatkan persamaan garis regresi dan lakarkan garis tersebut.

33. a)

34. = 0.87

35. r = 0.87
r2 = 0.76
y = a + bx

36. r = 0.87
r2 = 0.76
y = a + 4.1x

37. r = 0.87
r2 = 0.76
y = x

38.  
r = 0.87
r2 = 0.76
y = x
Jika x=2 maka
y = (2)= 25.2
Jika x=4 maka
y = (4)= 33.4

39. Kebolehpercayaan Persamaan Regresi
Ralat piawai anggaran diberikan simbol se digunakan untuk mengukur kebolehpercayaan persamaan regresi.
Sama seperti sisihan piawai yang dipelajari dalam bab sebelum ini iaitu berfungsi sebagai ukuran serakan.
Mengukur serakan nilai tercerap di sekitar garisan regresi.
Lebih besar nilai ralat piawai anggaran, lebih besarlah serakan titik-titik di sekitar garisan.
Sekiranya nilai se = 0, kita jangkakan bahawa titik-titik data akan berada di atas garisan regresi dan kita akan ada persamaan regresi sempurna.

40. Ralat piawai anggaran, se boleh diperolehi dengan menggunakan formula berikut:

41. Contoh 5
Kira nilai ralat piawai anggaran bagi data dalam Contoh 2 sebelum ini.
Penyelesaian
Nilai ralat piawai anggaran adalah
se =
 Secara purata anggaran perbelanjaan bulanan berbeza daripada perbelanjaan bulanan sebenar sebanyak RM

42. Selang keyakinan terhadap kecerunan garis, 1
1 dianggarkan dari data sampel iaitu nilai b. Pembolehubah b adalah bertaburan normal dengan min,
b = 1 dan sisihan piawai,
Selang keyakinan digunakan untuk menganggar parameter yang tidak diketahui dengan memberikan darjah keyakinan bahawa selang tersebut mengandungi paramater yang hendak dianggarkan.

43. Selang keyakinan 100(1-)% bagi 1 adalah seperti berikut:
b - t/2,n-2sb < 1 < b + t/2,n-2sb
darjah kebebasan n-2

44. Contoh 6
Dapatkan selang keyakinan 95% bagi 1 bagi data dalam contoh 2 sebelum ini.
Penyelesaian:
Jika SSxx = , se = , maka sb =
b = , dk = 6-2 = 4 , t0.05/2 , 4 = 2.776
Selang keyakinan bagi 1 adalah
68.51 – 2.776(4.46) < 1 < (4.46)
56.13 < 1 < 80.89
Kita mempunyai keyakinan 95% bahawa anggaran min perbelanjaan bulanan bertambah di antara RM56.13 dan RM80.89 bagi setiap pertambahan seorang ahli dalam bilangan keluarga.

45. Ujian hipotesis terhadap kecerunan garis, 1
Jadual menunjukkan hipotesis nol, hipotesis alternatif, statistik ujian dan kawasan penolakan bagi kecerunan garis lurus, 1 Ho H1
Statistik ujian
Kawasan penolakan
1 = 0
1 < 0
1 > 0
1  0
t =
t < -t
t > t
t < -t/2 atau
t > t/2

46. Contoh 7
Adakah data dalam contoh 2 sblm ini, cukup untuk membuktikan bahawa ada korelasi positif antara perbelanjaan bulanan dengan bilangan anak dalam keluarga pada aras keertian 0.01?

47. Penyelesaian 1. H0 : 1 = 0 melawan H1 : 1 > 0
2. Aras Keertian dan Petua Kesimpulan
Aras Keertian ,  = 0.01
Nilai genting = t,n-2 = t > t0.01,4 = 3.747
Petua Kesimpulan  Tolak H0 jika t >3.747
3. Statistik ujian : t =
4. Keputusan (bandingkan nilai genting dan nilai statistik ujian)
Oleh kerana t = > t,n-2 = , tolak Ho.
5. Kesimpulan : Pada aras keertian 1%, kita membuat kesimpulan bahawa terdapat korelasi linear positif antara perbelanjaan bulanan dan bilangan keluarga. Dengan kata lain perbelanjaan bulanan meningkat apabila bilangan ahli dalam keluarga bertambah.

48. Latihan
Seorang pakar diet percaya pengurangan pengambilan kalori per minggu boleh menyebabkan penurunan berat badan per minggu. Berikut merupakan data-data yang beliau perolehi.
Purata ambil kalori (sehari)
2500
2000
1500
1100
900
500
Penurunan berat badan(paun) 1 2 3 4 6 8
a.        Kira pekali korelasi. [ Jwp: r = ]
b.        Kira pekali penentu dan tafsirkan jawapan kamu.
c.        Anggarkan penurunan berat badan jika pengambilan kalori sebanyak 1700.
d.        Uji jika terdapat kaitan yang linear antara pengambilan kalori dengan penurunan berat badan pada aras keertian 5%.
e.        Anggarkan 95% selang keyakinan bagi 1.

49. Latihan
Satu kajian dilakukan untuk menentukan samada peningkatan umur seseorang menyebabkan pertambahan dalam tekanan darah. Data-data berikut telah diperolehi.
Umur(thn) 35 43 47 53 59 62 66 69
Tekanan
120
127
132
136
141
143
148
153
a.    a.    Kira pekali korelasi. dan pekali penentu dan tafsirkan jawapan anda. [ Jwp: r = ]
b.    b.   Anggarkan tekanan darah seseorang jika umurnya 55 tahun.
c. Uji hipotesis jika terdapat hubungan antara umur dengan pertambahan tekanan darah pada aras keertian 5%.
d.d. d. Anggarkan 95% selang keyakinan bagi 1