1. LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad

2. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 2 Lecture 14 Root Locus Technique Topics to be covered include: v Root locus criterion. u Root loci (RL). u Complement root loci (CRL). u Complete root loci. v Property and construction of complete root loci.

3. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 3 مکان ریشه ها Root locus Root loci (RL) Complement root loci (CRL) Complete root loci Root locus, shows the position of roots of the following equation for different values of k مکان ریشه ها، موقعیت ریشه های معادله زیر را بر حسب مقادیر مختلف k نشان می دهد.

4. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 4 مکان ریشه ها Root locus Root locus, shows the position of roots of above equation for different values of k مکان ریشه ها، موقعیت ریشه های معادله فوق را بر حسب مقادیر مختلف k نشان می دهد. + - c1c1 e r Suppose: Closed loop system is: Characteristic equation is:

5. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 5 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Condition of magnitude شرط اندازه Condition of angle شرط زاویه Which points lie on the root loci? چه نقاطی بر روی مکان ریشه قرار دارند؟

6. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 6 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 1: Specify the equation exactly in the following form. قانون اول : سیستم را دقیقا بصورت زیر بیان کنید. How many branches in root loci? چند شاخه در مکان ریشه ها؟ It is :

7. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 7 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lies on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون 2 : قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد. -20 0

8. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 8 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون 3 : محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی k مشخص کنید -20 0

9. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 9 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes for positive and negative values of k. قانون 4 : مجانبها و محل تلاقی مجانبها را برای مقادیر مثبت و منفی k تعیین کنید. -20 0

10. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 10 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 5: Find the break point. قانون 5 : نقطه شکست را بیابید. -20 0

11. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 11 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh Hurwitz criteria. قانون 6 : نقطه تلاقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید. -20 0

12. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 12 مثال 2 : مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید. Example 2:ِ Draw the complete root loci of the following system. Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form. قانون اول : سیستم را دقیقا بصورت استاندارد بیان کنید. Clearly it is ok

13. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 13 Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون 2 : قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد.

14. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 14 Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون 3 : محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی k مشخص کنید

15. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 15 Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes. قانون 4 : مجانبها و محل تلاقی مجانبها.

16. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 16 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 5: Find the break point. قانون 5 : نقطه شکست را بیابید.

17. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 17 Rule 5: Find the break point. قانون 5 : نقطه شکست را بیابید. ? ?

18. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 18 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh Hurwitz criteria. قانون 6 : نقطه تلاقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید.

19. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 19 Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis قانون 6 : نقطه تلاقی با محور موهومی

20. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 20

21. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 21 rlocus(1,[1 15 50 0]); hold on; rlocus(-1,[1 15 50 0])

22. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 22 مثال 3 : مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید. Example 3:ِ Draw the complete root loci of following system. Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form. قانون اول : سیستم را دقیقا بصورت زیر استاندارد کنید.

23. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 23 Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون 2 : قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد. Example 4:

24. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 24 Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون 3 : محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی k مشخص کنید Example 4:

25. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 25 Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes. قانون 4 : مجانبها و محل تلاقی مجانبها. Example 4:

26. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 26 Rule 5: Find the break point. قانون 5 : نقطه شکست را بیابید. Example 4:

27. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 27 Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis قانون 6 : نقطه تلاقی با محور موهومی ? We need another rule. به قانون دیگری نیاز داریم.

28. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 28 Exercises تمرینها 1- The transfer function of a single-loop control system are given as:. Construct the root loci of the Zeros of 1+G(s)H(s)=0 for -∞<T d <∞ 2- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: Constract the complete root loci of the characteristic equation.

29. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 29 Exercises تمرینها Construct the complete root loci of the characteristic equation for Let n=1, n=2, n=3 and n=4 3- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: 4- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: a) Construct the root loci for -∞<K<∞, with α=5. b) Construct the root loci for -∞< α <∞, with K =5.

30. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 30 Exercises تمرینها 5- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: Construct the root loci for 0<p<∞ 6- Consider following system Construct the root loci for 0<k 1 <∞

31. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 31 Exercises تمرینها 7- Consider following system For k 1 =0, k 1 =1 1nd k 1 =10 construct the root loci for 0<k 2 <∞. 8- Construct the root loci of the closed loop poles of the following system for 0<a<∞(Midterm spring 2008). - + + R(s) C(s) -

32. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 32 Exercises تمرینها 9- Find the root-locus graph for the following system. The Answer :

33. Lecture 14 Dr. Ali Karimpour May 2013 33 Exercises تمرینها 10- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: Construct the root loci for 0<p<∞(Final 1391)