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第03章 基本統計原理 品質管理 六標準差式
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3.1、引言 統計學係應用機率的原理，以收集、分析及解釋資料的一門科學。 不熟悉統計學，可利用本章自習補強。
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3.1.1 機率與事件 由基本元素樣本組成樣本空間 事件Ａ之元素數目為ｎ，發生的機率 f(A) 式中0≦f(A)≦1。
一批產品1,000件中含有不良品10件，該批產品之不良品的發生機率是 f(d) = 10/1000 = 1%。
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機率加法 機率加法 設Ａ和Ｂ為互斥事件，則發生「A或B」事件的機率等於個別事件機率之和。
式中Ａ和Ｂ為互斥事件，表示Ａ事件和Ｂ事件不可能同時發生。
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機率乘法 機率乘法 設Ａ和Ｂ為獨立事件，則發生「A且B」事件的機率等於個別事件機率之乘積 。
式中Ａ和Ｂ為獨立事件，表示Ａ事件和Ｂ事件互不相干。
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聯合機率 聯合機率 設Ａ和Ｂ為任意事件，則發生「A或 B」個別事件機率之和減去乘積。
製程發生過短或過長的機率各為3%和5%該產品不合格的機率為
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條件機率 條件機率 設Ａ和Ｂ為任意事件，則已知Ａ而發生Ｂ之條件事件「B|A」機率
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分割機率 分割機率 設B1,B2,B3,…,Bk等全為互斥事件，而且它們的聯集即為宇集。則任意事件Ａ的機率會等於它與各互斥事件的個別交集之機率的總和。
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範例3.1
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範例 3.1 (2)
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3.1.2 排列與組合 排列和組合 cats一字的排列共有{cats, ctas, ctsa, ⋯ , stac}等廿四種 。
cats一字含ca的組合共有{cats, tcas, stca, cast, scat, tsca}等六種 。
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二項係數 二項係數 當隨機實驗n次則正面出現x次之組合數目為
該組合函數值是謂二項係數。拋擲錢幣五次樣本空間的元素數目為25 = 32，而出現兩次正面事件之組合數目為 5!/3!2! = 10次。
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多項係數 多項係數 某項實驗有K種可能結果，隨機ｎ次實驗後這ｋ種結果分別出現 X1, X2 , …, Xk 次，組合之樣本點數為
該組合函數值是謂多項係數。 微軟Excel函數：FACT、PERMUT、COMBIN。 FACT 群體數的階乘數目 PERMUT 群體數中取樣數的排列數目 COMBIN 群體數中取樣數的組合數目
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3.2、頻次和分配 將資料分門別類整理其發生的頻次，便利掌握和利用次數分配的資訊。
將教材「蓋」字，就「字」、「詞性」、「例句」和「字義」等四欄建立多筆資料錄，成為乙部小型資料庫。
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範題資料庫
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範題彙要表 利用Excel樞紐分析表，彙整「詞性彙要表」。
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3.2.1 計數數目 計數純數字、文數(文字或數字)、或空格的格數。
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範例3.2
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3.2.2 項別頻次 計數出類別在資料庫中出現的數目，就是所謂的項別頻次。 使用各個項目頻次，可做成直條圖。
就數目由大到小排序項目，可做成柏拉圖。 就項目頻次或百分機率，可做成圓形圖。
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範例3.3
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範例3.4
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範例3.5
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週期數據
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3.2.3 數軸序數 辨認數群的某一數值在數軸上的大小或前後順序 譬如，某人性向測驗分數在團體中的百分排名。
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範例3.6
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3.2.4 頻次分配 相對頻次是各組頻次佔總頻次的比例。 累計相對頻次是各組相對頻次的逐組累計。
u「母數」：母數是從數據群計算而得的代表性敘述數值。母數通常使用希臘字母，如 、、、 等等。 v「統計量」：統計量是從樣本組計算而得的代表性敘性數值。統計量通常使用西文字母，如me、mo、Xbar 、s、p、r 。
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範例3.7
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範例 3.7 (2)
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範例3.8
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數據表 範例3.8 (2)
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範例 3.8 (3)
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Excel 的 FREQUENCY函數
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3.2.5 頻次多邊 擷取直方圖的輪廓來做成頻次多邊圖，這是一種特殊的折線圖。
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3.3、頻次和分配 計數型的機率分配被稱為機率質量函數 。 計量型機率分配為機率密度函數。
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範例3.9
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範例3.10
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3.4、常用機率分配 計數型超幾何分配、二項分配和卜氏分配等 。 計量型常態分配和指數分配等 。
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3.4.1 超幾何分配 出貨批Ｎ件產品，其中有Ｄ件不良品，其餘Ｎ－Ｄ件為良品；現從該批產品隨機抽取ｎ件產品為樣本（ｎ≦Ｎ），假設其中含有ｘ件不良品。
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超幾何分配期望值
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範例3.11
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3.4.2 二項分配 Ｘ代表ｎ次試驗中的「成功」次數，且每次試驗的成功機率為ｐ。
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二項分配期望值
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範例3.12
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範例3.13
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範例3.14
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3.4.3卜氏分配 尖峰時段某加油站的來客人數 八、九月間太平洋生成的颱風數目 每生產一米鋼捲發生的砂眼數目 保固年限內產品的回修台數
每百名SARS感染人的死亡人數等等。
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卜氏分配期望值
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範例3.15
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範例3.16
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3.4.4 指數分配 指數分配是前後兩事件發生的時間間隔，平均數和標準差正好都等於1/λ。
若F(Ｔ)是指數分配的左尾累積機率，則可靠度正好是
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指數分配期望值
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範例3.17
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範例3.18
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範例3.19
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3.4.5 常態分配 對量測誤差的研究，當時發現誤差型態大多是對稱的鐘型。
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常態分配期望值
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常態分配常態標準化
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範例3.20
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範例3.21
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範例3.22
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3.4.6 分配應用要領 超幾何分配、二項分配、卜氏分配及常態分配間之關係及其應用替代性如下
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3.5、抽樣分配 自群體抽取一組隨機樣本，統計量之分配為抽樣分配 。 品常用的統計量計有：平均數、中位數、標準差和全距數。
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樣本統計量 平均數 中位數 標準差 全距數：最大和最小間的全幅
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3.5.1 樣本平均數之分配 中央極限定理 只要樣數n夠大，標準化(減μ除以標準誤)後之變數會傾向於順從標準常態分配。
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3.5.2 樣本中位數之分配
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3.5.3 樣本標準差之分配
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3.5.4 樣本全距數之分配
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3.5.5 樣本統計量之母數 為了便於應用，茲將統計量平均數、中位數ｍ、標準差ｓ和全距數Ｒ等分配之母數詳列成表。
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範例3.23
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範例3.24
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範例3.25
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範例3.26
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3.6、利用Excel查算統計量 各分配相關的統計函數或公式詳列成表。 以RAND( )來給予反函數P值，可以製造該機率分配的隨機亂數。
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範例3.27
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範例 3.27 (2)
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3.7、常態機率紙分析 在X-F(Ｘ)的圖形中，常態累計機率是單調遞增的，以平均數為對稱中心而且在兩尾比較平緩。
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常態累計機率圖 (2) {Ｘi,F(Ｘi)}累計機率圖
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XZ常態機率圖 (3)
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常態機率紙底稿(4)
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常態機率紙範題 計算數據統計量 DataBase
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常態機率紙範題 (2) 常態機率紙製作
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常態機率紙範題 (3) 累計機率及Ｚ值計算 將數據範圍擴大為[Xmin-全距/2, Xmax+全距/2]，再區分50等份設定組界，使用函數FREQUENCY(DataBase, 組界)計算51組的數據頻次，然後計算各組的累計機率F(Ｘ)，使用函數NORMSINV(F(Ｘ))計算累計機率F(Ｘ) 所對應的Ｚ值。
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常態機率紙範題 (4) 常態機率圖點 取數據各組中點為橫軸和各組之對應Ｚ值為縱軸，利用表3-26圖點(少於51)數對來做成常態機率散佈圖。就圖點是否接近一條直線，就概略可以判定樣本數據是否來自常態群體。
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常態機率紙範題 (5) 加繪垂直線條 加繪迴歸直線和計算統計量
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常態機率紙範題 (6) 小量實驗優劣比較
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