1. Digital Logic Systems מערכות לוגיות ספרתיות
נושא מס' 2: יצוג מידע בינארי
חורף תשס"ט
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

2. שיטות ייצוג מספרים, אותיות וקודים בעזרת ספרות בינריות
נושאי השיעור
שיטות ייצוג מספרים, אותיות וקודים בעזרת ספרות בינריות
מעבר בין שיטות יצוג שונות
כללים לביצוע פעולות אריתמטיות במספרים בינריים
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

3. מקורות M.M. Mano, Digital Design – Chapter 1
G. Langholtz, A. Kandel and J.L. Mott, Foundations of Digital Logic Design – Chapter 2
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

4. שיטת יצוג עשרונית ערך עצמי ערך מיקומי Face value Position value
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

5. שיטת יצוג עשרונית ערכו של מספר עשרוני A המורכב מספרות באופן הבא: יהיה:
ויסומן באופן הבא:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

6. מספרים בבסיסים שונים ערכו של מספר A המורכב בבסיס r: יהיה:
6 .2 Lecture
ערכו של מספר A המורכב בבסיס r:
יהיה:
ויסומן באופן הבא:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy 6

7. המרה מבסיס rלבסיס 10 מספר B בבסיס r: , המורכב מספרות באופן הבא:
ערכו בבסיס 10 יהיה:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

8. המרה מבסיס rלבסיס 10 דוגמאות: מה מבצע Shift right 1 Itzik Alfy
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

9. המרה מבסיס 10 לבסיס r הפרד את המספר לחלק שלם ולשבר עבור החלק השלם:
רשום את השארית כספרה המשמעותית הבאה
חזור על התהליך עם המנה עד לקבלת מנה 0
עבור השבר
הכפל את המספר ב- r
רשום את החלק השלם של התוצאה כספרה הפחות משמעותית הבאה
חזור על התהליך עם השבר של התוצאה עד לרמת הדיוק המבוקשת או קבלת מנה 0
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

10. המרה מבסיס 10 לבסיס 2 דוגמא: (41.513)10=(?)2 0.513*2 = 1.026
0.026*2 = 0.052
0.052*2 = 0.104
0.104*2 = 0.208
0.208*2 = 0.416
0.416*2 = 0.832
0.832*2 = 1.664
0.664*2 = 1.328
41/2 = 20 + (1/2)
20/2 = 10 + (0/2)
10/2 = (0/2)
5/2 = (1/2)
2/2 = (0/2)
1/2 = (1/2)
(41)10 =(101001)2
(0.513)10 = ( )2
(41.513)10 =( )2
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

11. המרה מבסיס 10 לבסיס 16 דוגמא: (15247. 65625)10= (?)16
*16 = 10.5
* = 8.0
15247/16 = (15/16)
952/ = (8/16)
59/ = (11/2)
3/ = (3/2)
( )10 = (A8)16
(15247)10=(3B8F)16
( )10= (3B8F.A8)16
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

12. המרה מבסיס 10 לבסיס r הסבר לטכניקה Itzik Alfy
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

13. מעבר מבסיס r1 לבסיס r2 בהינתן B,r1,r2 מהוא C כך ש: ?
פיתרון: מעבר דרך בסיס 10
מהוא היצוג בבסיס 8 של ?
דוגמא:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

14. השיטה פועלת גם בכיוון ההפוך (מבסיס 2 לבסיסים 8,16)
המרה בין בסיסים 16,8,2
המרה לבסיס 2 ע"י המרה של כל סיפרה בנפרד (3 סיביות לבסיס אוקטלי, 4 סיביות לבסיס הקסאדצימאלי)
השיטה פועלת גם בכיוון ההפוך (מבסיס 2 לבסיסים 8,16)
המרה בין בסיסים 8 ו-16 ?
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

15. המרה בין בסיסים 16,8,2 הסבר לטכניקה Itzik Alfy
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

16. יצוג מספרים בבסיסים שונים
Hexadecimal
Base 16
Octal
Base 8
Binary
Base 2
Decimal
Base 10
0000 1
0001 2
0010 3
0011 4
0100 5
0101 6
0110 7
0111 8 10
1000 9 11
1001 A 12
1010 B 13
1011 C 14
1100 D 15
1101 E 16
1110 F 17
1111
קוד מכונה ו - Boot programs נכתבו ישירות בhexadecimal-
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

17. פעולות במספרים בינריים
דוגמאות:
101101
100111
101101
100111 + -
101 X
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

18. מינוחים MSB? LSB? big-endian LSB? MSB? little-endian bit Nibble=4 bits
Byte = 8 bits
Short Word = 16 bits
Long Word = 32 bits
Double Word = 64 bits
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

19. Binary numbers
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

20. הקצאת סיפרה שמאלית ביותר, ליצוג הסימן
ייצוג מספרים בעלי סימן
הקצאת סיפרה שמאלית ביותר, ליצוג הסימן
מספרים חיוביים יסומנו בספרה 0
ערכו בבסיס 10 יהיה:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

21. מספרים שליליים יסומנו בספרה שמאלית בערך של (r-1) ויסומנו ב שיטות יצוג:
ייצוג מספרים בעלי סימן
מספרים שליליים יסומנו בספרה שמאלית בערך של (r-1) ויסומנו ב שיטות יצוג:
Sign Magnitude
(r-1)’s complement
1’s Complement (עבור מקרה בינרי)
r‘s complement
2’s Complement (עבור מקרה בינרי)
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

22. עבור המספר החיובי : המספר השלילי ייוצג באופן הבא:
ייצוג מספרים בעלי סימן
Sign Magnitude
עבור המספר החיובי : המספר השלילי ייוצג באופן הבא:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

23. ייצוג מספרים בעלי סימן Sign Magnitude דוגמאות: ייצוג כפול ל – 0.
ייצוג מספרים בעלי סימן
Sign Magnitude
דוגמאות:
ייצוג כפול ל – 0.
נרצה שחיבור השלילי של מספר יתן 0.
קשה לבצע פעולות אריתמטיות.
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

24. עבור המספר החיובי : המספר השלילי יחושב באחד משני האופנים:
ייצוג מספרים בעלי סימן
(r-1)’s Complement
עבור המספר החיובי : המספר השלילי יחושב באחד משני האופנים:
מתקיים:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

25. ייצוג מספרים בעלי סימן (r-1)’s Complement דוגמאות: ייצוג כפול ל – 0.
ייצוג מספרים בעלי סימן
(r-1)’s Complement
דוגמאות:
ייצוג כפול ל – 0.
נרצה שחיבור השלילי של מספר יתן 0.
כדי לדעת מה מיצג מספר שלילי – מבצעים שוב אותו תהליך היפוך
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

26. עבור המספר החיובי : המספר השלילי יחושב באחד משני האופנים:
ייצוג מספרים בעלי סימן
r‘s Complement
עבור המספר החיובי : המספר השלילי יחושב באחד משני האופנים:
מתקיים:
יצוג (r-1)’sC
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

27. ייצוג מספרים בעלי סימן r‘s Complement דוגמאות:
ייצוג מספרים בעלי סימן
r‘s Complement
דוגמאות:
כדי לדעת מה מיצג מספר שלילי – מבצעים שוב אותו תהליך היפוך כל 0 ל-1 וכל 1 ל-0 ובסוף הוספת 1
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

28. ייצוג מספרים בעלי סימן אורך מילה סופי Sign extension Itzik Alfy
ייצוג מספרים בעלי סימן
אורך מילה סופי
Sign extension
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

29. חיבור וחיסור בr’sC- חבר חיבור חיסור או חיסור? r’sCחשב b-ל חיבור
התעלם מגלישה מביט סימן s
sign(a)=sign(b)
≠ sign(s) ? כן
overflow
התוצאה מתקבלת בשיטת המשלים ל- r
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

30. חיבור וחיסור ב2’sC- דוגמאות -6 +6 0000 0110 +13 0000 1101 -6 +7
צריך דוגמאות לoverflow
-13 -7 -6
-13
-19
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

31. חיבור וחיסור ב(r-1)’sC-או
חיסור?
חיסור
(r-1)’sCחשב
b-ל
חיבור
חבר כן
גלישה מביט סימן?
הוסף 1 לתוצאה
sign(a)=sign(b)
≠ sign(s) ? כן s
overflow
התוצאה מתקבלת בשיטת המשלים ל- r-1
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

32. חיבור וחיסור ב1’sC- דוגמאות -6 +6 0000 0110 +13 0000 1101 -6 +7
צריך דוגמאות לoverflow
-13 -7 -6
-13
-19
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

33. אורך מילה סופי Fixed Point S F I S – Sign bit
I – Bits devoted to the integer part
F – Bits devoted to the fractional part
ISO/IEC TR 18037: fixed-point data types for C programming language
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

34. אורך מילה סופי Floating Point
IEEE The IEEE Standard for Binary Floating-
Point Arithmetic
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

35. אורך מילה סופי Floating Point S Exponent Mantisa
ביט הסימן מיוצג ע"י 1 או 0
Exponent
מיוצג ב-2’sC ולכן ניתן לייצג חזקות בטווח 2^-128 עד 2^127. לערך החזקה מוסיפים 127.
Mantisa
ייצוג לפי
כל מספר שהמנטיסה שלו שונה יתורגם לצורה כזו ורק אז מחושב הexponent-. כיון שכל המספרים מתחילים ב-1 לא רושמים אותו ביצוג.
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

36. אורך מילה סופי Floating Point צירופים שמורים: Itzik Alfy
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

37. אורך מילה סופי Floating Point דוגמא Itzik Alfy
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

38. קודים דצימאליים קוד BCD
בקוד דצימאלי כל ספרה עשרונית מוצפנת בנפרד בקוד בינארי באורך 4
קוד BCD
Binary Coded Decimal - BCD
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

39. קודים דצימאליים
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

40. קודים דצימאליים קוד Excess 3 כל ספרה מקודדת ע"י הוספת ליצוג BCD שלה.
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

41. כל מספר בצופן שונה בסיבית אחת מן המספר שלפניו והמספר שאחריו
קוד Gray
Decimal
Value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Gray
Code
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000
כל מספר בצופן שונה בסיבית אחת מן המספר שלפניו והמספר שאחריו
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

42. צופן לא משקלי (לא מתאים לפעולות אריתמטיות)
תכונות של קוד Gray
צופן לא משקלי (לא מתאים לפעולות אריתמטיות)
צופן ציקלי (מרחק של סיבית אחת מתקיימת באופן ציקלי)
צופן בינארי משוקף (reflected)
אינו יחיד !
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

43. קוד Gray באורך 2
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

44. קוד Gray באורך 3 יצוג בינארי יצוג עשרוני (e) קוד Gray באורך 3 (d) (c)
(b)
(a)
0 0 0
0 0
1 0 0 1
1 0
תוספת
שיקוף
0 1 0 2
1 1 0
1 1 3
0 1
0 0 1 4
0 1 1
1 0 1 5
1 1 1 6 7
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

45. מעבר מיצוג בינארי לקוד Gray
את יתר הסיביות משחזרים בצורה איטרטיבית משמאל לימין:
אם הסיבית במקום ה-i , שווה לסיבית שלשמאלה אז
אחרת:
יצוג בינארי
קוד Gray
דוגמא:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

46. מעבר מקוד Gray ליצוג בינארי
את יתר הסיביות משחזרים בצורה איטרטיבית משמאל לימין:
אם מספר ה-1 משמאל לסיבית במקום ה-i זוגי אזי:
אחרת:
יצוג גריי
יצוג בינארי
דוגמא:
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

47. יצוג אותיות, ספרות ותווי בקרה ASCII ,ASCII-8 EBCDIC (8 bit)
Alphanumeric codes
יצוג אותיות, ספרות ותווי בקרה
ASCII ,ASCII-8
EBCDIC (8 bit)
ASCII
-7 bit
- ביט שמיני יכול לשמש עבור גילוי שגיאות
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

48. 7-ASCII 111 110 101 100 011 010 001 000 p ` P @ SP DLE NULL 0000 q a Q
b6b5b4
b3b2b1b0 p ` P @ SP
DLE
NULL
0000 q a Q A 1 !
DC1
SOH
0001 r b R B 2 “
DC2
STX
0010 s C S 3 #
DC3
ETX
0011 t d T D 4 $
DC4
EOT
0100 u e U E 5 %
NAK
ENQ
0101 v f V F 6
&
SYN
ACK
0110 w g W G 7 ‘
ETB
BEL
0111 x h X H 8 (
CAN BS
1000 y i Y I 9 ) EM HT
1001 z j Z J : *
SUB LF
1010 { k [ K ; +
ESC VT
1011 | l \ L
< ' FS FF
1100 } m ] M = - GS CR
1101 ~ n ^ N
> . RS SO
1110 o _ O ? / US SI
1111
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

49. קודים לגילוי שגיאות מקור ביטים טיפול בשגיאות משדר מקלט + רעש
טעויות אחסון כתוצאה ממתחים אקראיים.
שינוי של ביט יחיד יכול לגרום לתוכנית שלמה לא לעבוד.
חיוני כשמעבירים מידע בינארי
ECC – Error Correcting Codes: Viterbi, Reed–Salomon, Turbo
Error Detecting Codes – Checksum, Parity Checking
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

50. קוד זוגיות (parity)לגילוי שגיאות
סיבית זוגיות מתווספת לקבוצת סיביות על מנת לאפשר גילוי שגיאות:
אפשרות א': Even Parity
השלמה לסך כמות ה-"1" במילה שיהיה זוגי
<
אפשרות ב': Odd Parity
השלמה לסך כמות ה-"1" במילה שיהיה אי-זוגי
<
Digital Logic Systems
Itzik Alfy

51. אינטרפטציות לצרוף בינארי0101) 1 (100
אינטרפטציות לצרוף בינארי0101) 1 (100
Unsigned binary
Sign magnitude representation
1’s complement representation
2’s complement representation
BCD representation
ASCII code with Even parity
Digital Logic Systems
Itzik Alfy