1. תרגול 2: ייצוג מספרים - המשך
מבוא למחשב בשפת Matlab
תרגול 2: ייצוג מספרים - המשך
נכתב על-ידי רמי כהן, אולג רוכלנקו, איתן אביאור ולימור ליבוביץ © כל הזכויות שמורות לטכניון – מכון טכנולוגי לישראל

2. מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות
שמות לסיביות
נתרכז בייצוג מספרים בשיטה בינארית ב-N סיביות בדיוק.
הסיביות ממוספרות N−1.
הסיבית הימנית, זו שמספרה 0, נקראת הסיבית הפחות משמעותית (Least Significant Bit – LSB).
הסיבית השמאלית, זו שמספרה N−1, נקראת הסיבית היותר משמעותית (Most Significant Bit – MSB).
MSB
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

3. ייצוג מספרים בעלי סימן - שיטת גודל וסימן
בשיטה זו כל מספר מכיל סיבית סימן שמסמנת אם המספר הוא שלילי או חיובי.
ה-MSB מייצגת את סימן המספר, ושאר הסיביות את הגודל שלו (ערכו המוחלט).
לדוגמה,
1111  -7, 0111  7 (4=N).
dN-1
dN … d0
סימן
0-חיובי
1-שלילי
ערך מוחלט של המספר
חסרונות
יתרונות
פעולות חשבון מסובכות יחסית
ייצוג כפול לאפס: “+0”=000..0, “-0”=100..0
שיטה פשוטה וקלה לביצוע
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

4. שיטת גודל וסימן – הדגמה עבור 4 סיביות
0000
0010
0100
0110
1000
1010
1100
1110
0011
0101
0111
1111
0001
1101
1011
1001 +0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 −0
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

5. מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות
שיטת המשלים לאחד
גם בשיטה זאת כל מספר מכיל סיבית סימן שמסמנת אם המספר הוא שלילי או חיובי אך הפעם שאר הסיביות מייצגות את הערך הבינארי של המספר או את המשלים לערך הבינארי.
לדוגמה,
1000  -7, 0111  7 (4=N).
dN-1
dN … d0
סימן
0-חיובי
1-שלילי
אם חיובי - ערך מוחלט של המספר
אם שלילי – המשלים של הערך המוחלט של המספר
חסרונות
יתרונות
ייצוג כפול לאפס: “+0”=000..0, “-0”=111..1
חיבור וחיסור פשוטים יחסית
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

6. שיטת המשלים לאחד – הדגמה עבור 4 סיביות
0000
0010
0100
0110
1000
1010
1100
1110
0011
0101
0111
1111
0001
1101
1011
1001 +0 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 −7
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

7. חיבור וחיסור בשיטת משלים לאחד
חיבור: כמו חיבור בינארי רגיל, בשינוי הבא:
אם יש carry out מהספרה האחרונה – נוסיף 1 לתוצאה ונזרוק את ה-carry.
חיסור: חיבור של המספר הנגדי.
דוגמאות:
1100 +
1011
_____
10111 1
______
1000 ( 0111) -3 -4
___ -7
0011 +
1010
_____
1101 (0010) 3 -5
___ -2
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

8. מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות
שיטת המשלים לשתיים
גם בשיטה זאת כל מספר מכיל סיבית סימן שמסמנת אם המספר הוא שלילי או חיובי אך הפעם שאר הסיביות מייצגות את הערך הבינארי של המספר או את המשלים לערך הבינארי ועוד אחד.
התוספת של 1 נועדה למנוע את הייצוג הכפול של אפס במשלים לאחד.
דוגמאות:
1001  -7, 0111  7 (4=N).
יתרונות:
חיבור וחיסור פשוטים
ייצוג בודד לאפס
dN-1
dN … d0
סימן
0-חיובי
1-שלילי
אם חיובי - ערך מוחלט של המספר
אם שלילי – (המשלים של הערך המוחלט של המספר) פלוס 1
מציאת ערך מוחלט של מספר שלילי במשלים לשתיים:
ע"י חיסור 1 והיפוך סיביות או
ע"י היפוך סיביות וחיבור 1
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

9. שיטת המשלים לשתיים – הדגמה עבור 4 סיביות
0000
0010
0100
0110
1000
1010
1100
1110
0011
0101
0111
1111
0001
1101
1011
1001 +0 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 −8
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

10. חיבור וחיסור בשיטת משלים לשתיים
אם יש carry out מהספרה האחרונה – מתעלמים ממנו!
דוגמה:
רק ליתר בטחון, נראה שאכן התקבלו הערכים הנכונים, ע"י כך שנחלץ חזרה את הגודל של המספר (התהליך ההפוך לייצוג משלים לשתיים):
11011 +
11010
_____
110101 5- -6
___
-11
10101 - 1
______
(01011)
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

11. גלישה (overflow) כאינדיקטור לשגיאה
עבור מספרים ללא סימן, היווצרות נשא (carry) מסמלת שגיאה.
עבור מספרים בשיטת משלים לשתים, היווצרות גלישה (overflow) מייצגת שגיאה.
דוגמה (בשיטת המשלים ל-2):
כל מספר מיוצג ע"י 5 סיביות
תחום המספרים −
לשם ייצוג -19 במשלים ל-2
צריכים 6 סיביות.
מסקנה: יש לחשוב מראש כמה סיביות להקצות לתרגיל, ולהתחשב גם בתוצאה.
תוצאה רצויה −19
חישוב:
(−9) + (−10)
תוצאה בפועל +13
נשא
חסר חשיבות
גלישה:
סכום שני שליליים יצא חיובי
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

12. שיטת המשלים לשתיים – מקרה יוצא דופן
בהינתן N סיביות, הייצוג של 2N-1 בשיטת ייצוג ללא סימן הוא
לדוגמה, הייצוג של 8 = 23 הוא 1000(N=4) .
בהינתן N סיביות, הייצוג של 2N-1- בשיטת משלים לשתיים הוא
לדוגמה, הייצוג של -8 = -23 הוא 1000 (N=4).
N-1 פעמים
N-1 פעמים
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

13. טווח הייצוג באמצעות השיטות שראינו
באמצעות N סיביות נוכל לייצג 2N מספרים שונים.
טווח הייצוג
השיטה
0,1,…,2N-1
ייצוג בינארי רגיל (ללא סימן)
-(2N-1-1), ….., -1 ,0, 1,….., 2N-1-1
גודל וסימן
משלים לאחד
-2N-1, ….., -1 ,0, 1,….., 2N-1-1
משלים לשתיים
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

14. מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות
תרגיל מסכם
השלימו את הטבלה הבאה.
יש להשתמש במספר מינימלי של סיביות.
ערך
עשרוני
ייצוג בשיטת
סימן וגודל
משלים ל-1
משלים ל-2
10101
10111
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

15. מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות
תרגיל מסכם
השלימו את הטבלה הבאה.
יש להשתמש במספר מינימלי של סיביות.
ערך
עשרוני
ייצוג בשיטת
סימן וגודל
משלים ל-1
משלים ל-2 00 10 11
11-
11011
10100
10101 8-
11000
10111
1000
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

16. מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות
תרגיל
נתון התרגיל הבא בבסיס עשרוני: -7-9
כתבו את התרגיל בייצוג בינארי בשיטת המשלים לשתיים, ובצעו את החישוב (במשלים לשתיים).
השתמשו במספר סיביות קטן ככל שניתן.
פתרון:
ייצוג 7- במשלים לשתיים מצריך 4 סיביות
ייצוג 9- מצריך 5 סיביות
ייצוג 16- (התוצאה) מצריך 5 סיביות (למה?)
מספיקות 5 סיביות
11001 +
10111
110000
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות

17. מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות
סיכום
מחשבים מייצגים מספרים באמצעות הבסיס הבינארי.
ברוב המחשבים ישנן שלוש שיטות מקובלות לייצוג מספרים:
מספרים שלמים (integers):
מספרים ללא סימן – ייצוג בינארי רגיל
מספרים עם סימן – בשיטת המשלים לשתים
מספרים ממשיים (reals):
ייצוג בשיטת הנקודה הצפה
כשעושים פעולות חשבוניות יש לשים לב שהן בטווח המספרים המותר.
סכום שני מספרים באורך d סיביות עלול לתת תוצאה באורך d+1 סיביות.
הכפלת שני מספרים באורך d סיביות עלולה לתת תוצאה באורך 2d סיביות.
תרגול 2
מבוא למחשב בשפת מטלאב. כל הזכויות שמורות