1. Single-Source Shortest Paths

2. Shortest-path problem
即是在一圖上找出兩點間最短路徑。
G=(V,E)是一個Weighted Directed Graph(加權有向圖)透過Weight function w: ER界定出每個邊的權重。
以p=(v0,v1,…,vk)表一個自v0到vk的Path(路徑)。
此處新介紹一個定義，Weighted graph即是在每一個邊上加上一個實數作為權重，
可正，可負，可零並無什麼特別限制。
另外在此Path的定義僅是方便下列路徑距離及最短距離的定義，
並非各處的路徑均如此定義。
Single-Source Shortest Paths

3. Shortest-path problem定義
定義自u到v的最短距離
Single-Source Shortest Paths

4. Shortest-path tree rooted at s
對應於圖G=(V,E)的Shortest-path tree rooted at s (根於s之最短路徑樹) G’=(V’,E’)，滿足下列三點：
V’是s可達的點集合。
G’是一個以s為根的Rooted Tree。
在G’中s到v的simple path即為G中s到v的最短路徑。
V’是s可達的點集合，代表for every v’ in V’, there exists a path from s to v’。
Rooted tree是一種有向圖，只有一個點in degree = 0 其餘均為 1，
in degree 0的點稱之為root。
Single-Source Shortest Paths

5. Shortest-path tree rooted at s範例10 10 1 1 10 1 1 x w x w t t 10 1 10 1 10 u 10 y y v 1 v 10 1 1 z z
Original Graph G
Shortest-path tree rooted at s
Single-Source Shortest Paths

6. Single-Source Shortest Paths
Predecessor graph
對一圖G=(V,E)，根據一個表π來建構的子圖Gπ=(Vπ,Eπ)，滿足以下條件：
π[s]=NIL，且s∈Vπ。
若π[v]≠NIL則(π[v],v)∈Eπ且v∈Vπ 。
Shortest-path tree rooted at s是Predecessor graph的特例。
Single-source shortest path演算法主要利用不斷更新Predecessor graph，
讓他最後變成Shortest-path tree rooted at s來求出s到其他點的最短距離。
Single-Source Shortest Paths

7. Single-Source Shortest Paths
Predecessor graph範例
π[s]
π[t]
π[u]
π[v]
π[w]
π[x]
π[y]
π[z]
NIL s t x v s s 10 10 1 1 10 1 1 x w x w t t 10
在此舉的例子同前，但補列對應的表格。 1 10 1 10 u 10 y y v 1 v 10 1 1 z z
Original Graph G
Shortest-path tree rooted at s
Single-Source Shortest Paths

8. Initialize-Single-Source演算法
定義變數d[v]代表目前已知之自s至v的最短距離。
定義變數π[v]代表目前已知自s至v的最短路徑上，v之前的那一點。
初始時，d[v]=∞，π[v]=NIL，d[s]=0。即除自s到s的最短路徑已知之外，其餘均設為未知。
Single-Source Shortest Paths

9. Initialize-Single-Source演算法
Initialize-Single-Source(G,s)
{ for each vertex v∈V[G]
do d[v]∞
π[v]NIL
d[s]0 }
Single-Source Shortest Paths

10. Single-Source Shortest Paths
Relaxation 演算法
主要的目的在於利用邊(u,v)的資訊來更新目前所知的最短路徑。
Relax(u,v,w)
{ if d[v]>d[u]+w(u,v)
then d[v]d[u]+w(u,v)
π[v]u }
Single-Source Shortest Paths

11. Single-Source Shortest Paths
Relaxation 範例
Relax(u,v,w)後
Relax(u,v,w)前 s
if w(u,v)=2 (<3)
此時更新sv的最短距離 以及更新π[v]u s 4 6
w(u,v) u v 4 7 s
紅線代表目前已知的最短路徑。
如果Relax(u,v,w)發現經由已知的su最短路徑加上(u,v)抵達v，
可以比原先已知sv的最短路徑距離更短，
則可以更新sv的最短路徑資訊。
w(u,v)
if w(u,v)=4 (>3)
此時不更新sv的最短距離 u v 4 7
w(u,v) u v
Single-Source Shortest Paths

12. Single-Source Shortest Paths
最短路徑與Relaxation的性質
三角不等式： 對所有的邊(u,v)，δ(s,v)δ(s,u)+w(u,v)。
上限性質： δ(s,v)d[v]，即d[v]總是sv的最短距離上限。一旦d[v]=δ(s,v)，則Relaxation不會更改d[v]值。
δ(s,v)代表s到v的最短距離。
Single-Source Shortest Paths

13. Single-Source Shortest Paths
最短路徑與Relaxation的性質
無路徑性質： 如果s到v並無路徑，則d[v]=δ(s,v)=∞。
收斂性質： 若sv的最短路徑包含邊(u,v)且d[u]=δ(s,u)，則此時執行Relax(u,v,w)會使得d[v]=δ(s,v)。
Single-Source Shortest Paths

14. Single-Source Shortest Paths
最短路徑與Relaxation的性質
Path-relaxation性質： 如p=(v0,v1,…,vk)是一個自s=v0vk的最短路徑， 則依序執行Relax(v0,v1,w)， Relax(v1,v2,w)…， Relax(vk-1,vk,w)會使得d[vk]=δ(s,vk)。
Predecessor graph性質： 當經過一連串的Relaxation後，對所有的點v， d[v]=δ(s,v)時，此時對應的Predecessor graph Gπ即是一個Shortest-path tree rooted at s。
Single-Source Shortest Paths

15. Single-Source Shortest Paths
Bellman-Ford演算法
可以計算出沒有負迴圈的圖之最短路徑。
Bellman-Ford(G,w,s)
{ Initialize-Single-Source(G,s)
for i = 1 to |V-1|
do for each edge (u,v)∈E
do Relex(u,v,w)
for each edge (u,v)∈E
do if d[v]>d[u]+w(u,v)
then return false //代表有負迴圈
return true //代表計算成功 }
Single-Source Shortest Paths

16. Single-Source Shortest Paths
Bellman-Ford演算法運作範例 5 5
(a) -2
(b) -2 ∞ ∞ 6 ∞ 6 6 8 8 -3 -3 s s 7 7 -4 -4 7 7
(a)是初始狀態，(b)是first iteration之後的狀況，(c)跟(d)類推。
塗成藍色的虛線邊是對應的Predecessor graph所有的邊，
點內的數字代表d[v]，是現存最短路徑長度。 ∞ 2 ∞ 7 2 ∞ 9 9
Single-Source Shortest Paths

17. Single-Source Shortest Paths
Bellman-Ford演算法運作範例 5 5
(c) -2
(d) (e) -2 6 4 2 4 6 6 8 8 -3 -3 s s 7 7 -4 -4 7 7 7 2 2 7 2 -2 9 9
Single-Source Shortest Paths

18. Single-Source Shortest Paths
Bellman-Ford演算法分析
正確性：對所有的邊作一次Relaxation則可將在Shortest-path tree rooted at s中一步可及的path正確計算出。由path-relaxation性質，做完|V|-1次之後，所有的Shortest simple path終點v，d[v]=δ(s,v)。
能檢測出有負迴圈，是因為做了|V|-1次relaxation之後，
仍然可以透過經過額外的邊讓d[v]下降，
則代表最短路徑長度已經超過|V|-1，
由鴿籠原理可以得知必有迴圈存在，
但正回圏不存在最短路徑上，
因故有負迴圈存在。
Single-Source Shortest Paths

19. Single-Source Shortest Paths
Bellman-Ford演算法分析
就時間複雜度的分析如下：
Initialize-Single-Source花去O(|V|)的時間。
對所有的邊做了O(|V|)次的Relaxation，花去O(|V||E|)的時間。
最後花去O(|E|)的時間檢查是否有負迴圈。
故總共花去O(|V||E|)的時間。
Single-Source Shortest Paths

20. Single-source shortest paths in DAGs
跟Bellman-Ford不同的是，按照特定的順序作Relaxation，可較短的時間內計算出最短路徑。
DAG-Shortest-Path(G,w,s)
{ Topologically sort V[G]
Initialize-Single-Source(G,s)
for each u taken in topological order
do for each v∈adj[u]
do Relax(u,v,w) }
以上演算法僅需O(|V|+|E|)的時間。
Topological sort僅需O(|V|+|E|)的時間
而Initialize-Single-Source花去O(|V|)
最後的迴圈花去O(|V|+|E|)的時間
Single-Source Shortest Paths

21. DAG-Shortest-Path操作範例6 1 s 5 2 7 -1 -2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 4 2
(a)是初始狀態，(b)是first iteration之後的狀況，(c)跟(d)類推。
塗成藍色的虛線邊是對應的Predecessor graph所有的邊，
點內的數字代表d[v]，是現存最短路徑，
綠色的點代表已經將該點的所有邊Relax過了。
(b) 6 1 s 5 2 7 -1 -2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 4 2
Single-Source Shortest Paths

22. DAG-Shortest-Path操作範例
(c) 6 1 s 5 2 7 -1 -2 ∞ 2 6 ∞ ∞ 3 4 2
(d) 6 1 s 5 2 7 -1 -2 ∞ 2 6 6 4 3 4 2
Single-Source Shortest Paths

23. DAG-Shortest-Path操作範例6 1 s 5 2 7 -1 -2 ∞ 2 6 5 4 3 4 2
(f) 6 1 s 5 2 7 -1 -2 ∞ 2 6 5 3 3 4 2
(g) 6 1 s 5 2 7 -1 -2 ∞ 2 6 5 3 3 4 2
Single-Source Shortest Paths

24. Single-Source Shortest Paths
Dijkstra演算法
僅能處理無負邊的圖。
比Bellman-ford演算法快，也是藉由挑選特定順序來做Relaxation來達成目的。
利用Priority queue來實做。
主要關鍵想法：利用收斂性質。
Single-Source Shortest Paths

25. Single-Source Shortest Paths
Dijkstra演算法
Q: Priority queue with d as the key
Dijkstra(G,w,s)
{ Initialize-Single-Source(G,s)
Q=V[G]
while Q is not empty
do u=Extract-Min(Q)
for each v∈adj[u]
do Relax(u,v,w) }
每次藉由Extract-min所得到的點v，d[v]已經是最短路徑長度了。
Single-Source Shortest Paths

26. Single-Source Shortest Paths
Dijkstra演算法操作範例 ∞ 10 5 1 2 3 7 9 4 6
(a)
(b) s
(a)是初始狀態，(b)是first iteration之後的狀況，(c)跟(d)類推。
塗成藍色的虛線邊是對應的Predecessor graph所有的邊，
點內的數字代表d[v]，是現存最短路徑，
綠色的點代表已經將該點的所有邊Relax過了。
Single-Source Shortest Paths

27. Single-Source Shortest Paths
Dijkstra演算法操作範例 8 11 5 7 10 1 2 3 9 4 6
(d) s 14
(c)
Single-Source Shortest Paths

28. Single-Source Shortest Paths
Dijkstra演算法操作範例 8 9 5 7 10 1 2 3 4 6
(e) s
Single-Source Shortest Paths

29. Single-Source Shortest Paths
Dijkstra演算法分析
依照使用的Priority queue實做方式不同，會有不同的執行時間。
使用Linear array來實做，消耗O(|V|2)的時間。
使用Binary heap來實做，消耗O(|E|log|V|)的時間。
使用Fibonacci heap來實做，消耗O(|E|+|V|log|V|)的
時間。
Single-Source Shortest Paths