1. Estadística Aplicada a la Ingeniería
ESTIMACIÓN Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS

2. Estimación puntual
Es la estimación del valor del parámetro por medio de un único valor obtenido mediante el cálculo o evaluación de un estimador para una muestra específica.
El estimador se expresa mediante una fórmula. Por ejemplo, la media de la muestra:

3. Estimación por intervalos
La estimación por intervalo establece un intervalo dentro del cual es muy probable que se encuentre el parámetro poblacional. El coeficiente de confianza se usa para indicar la probabilidad de que una estimación por intervalo contenga al parámetro poblacional. El nivel de confianza es el coeficiente de confianza expresado como un porcentaje.

4. Intervalo de confianza para la media (con varianza conocida)
Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza s2, conocida, un intervalo de confianza de (1-a)x100% para está dado por:

5. Si el muestreo es sin reemplazo y la fracción de muestreo mayor o igual a 0.05, los límites de confianza se calculan con la siguiente fórmula.

6. Ejemplo 1
Una muestra aleatoria de los archivos de una compañía que contienen información detallada, indican las órdenes de compras para cierta pieza fueron complementadas en 10, 12, 19,14, 15, 18, 11 y 13 días. Suponiendo que el tiempo de cumplimiento de la orden de compra (medido en días) es una v.a. Normal con desviación estándar 3 días,
Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 99% para el tiempo medio de cumplimiento de una orden de compra para la pieza considerada.

7. Ejemplo 2
Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 50 focos tiene una duración promedio de 785 horas, encuentre un intervalo de confianza de 95% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa, si la muestra de focos fue elegida de lotes que contienen 200 focos.

8. Intervalo de confianza para la media con varianza poblacional desconocida (muestra pequeña )

9. Ejemplo 3
En un estudio de costos del seguro de choques automovilísticos, una muestra aleatoria de 80 costos de reparación de carrocerías para una clase particular de daños tiene una media de $472 y una desviación estándar de $62. Obtenga un intervalo con un 90% de nivel de confianza para el costo medio de reparación del tipo de daño considerado

10. Ejercicio4
Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de las piezas y los diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el diámetro medio de las piezas de esta máquina, suponga una distribución aproximadamente normal.

11. Intervalo de confianza para la media con varianza poblacional desconocida (muestra grande )

12. Ejercicio3
Para estimar el gasto promedio de los clientes en el McDonald’s local, los estudiantes de una clase de estadística toman una muestra de 200 clientes y encuentran un gasto promedio de US$ 5.67, con una desviación estándar de US$ ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para los gastos promedio de todos los clientes? Interprete sus resultados.

13. Ejercicio4
Una muestra aleatoria de 600 propietarios de automóviles muestra que, en el estado de Virginia, un automóvil se maneja, en promedio, kilómetros por año con una desviación estándar de 3900 kilómetros. Construya un intervalo de confianza de 99% para el número promedio de kilómetros que se maneja un automóvil anualmente en Virginia.

14. Tamaño de muestra
Si se usa como estimación de m , podemos tener (1-a)x100% de confianza de que el error no exceda una cantidad específiva e cuando el tamaño de la muestra es:
Si el cálculo del tamaño de muestra resulta un valor con decimales, se debe redondear al siguiente número entero.

15. Nota: Si el muestreo es sin reemplazo, el tamaño de muestra se calcula con la siguiente fórmula:
donde:

16. Tamaño de muestra cuando la varianza poblacional es desconocida
El valor de s puede ser obtenido a partir de una muestra preliminar de por lo menos 30 elementos.
 Nota: Si el valor del tamaño de muestra es decimal se debe redondear al siguiente número entero.

17. Ejercicio1
Un estudio que usted está realizando requiere un intervalo del 95% para la tasa de rendimiento promedio que su empresa gana sobre los proyectos para presupuestar capital. ¿Cuántos proyectos debe tener su muestra si su supervisor especifica un error máximo de sólo el 5% y s = 2.3%?

18. Ejercicio2
Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el hacer tres perforaciones en una cierta pieza metálica. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se necesita una confianza de 95% de que su media muestral estará dentro de 15 segundos del promedio real? Asuma, por estudios anteriores que segundos.

19. Ejercicio 3
Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido despachada se distribuye aproximadamente en forma normal. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se desea tener una confianza de 98% de que su media muestral estará dentro de 0.09 decilitros del promedio real?. Se cuenta con información de una muestra piloto de tamaño 24.

20. 1.99
2.59
2.04
1.86
2.58
2.73
2.51
2.65
2.72
2.44
2.29
2.52
2.48
2.14
1.98
2.02
1.94
1.82
2.53
2.38
2.43

21. Intervalo de confianza para la varianza
Si s2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal, un intervalo de confianza de (1-a)x100% para s2 es:

22. Ejemplo. Un fabricante de baterías para automóviles afirma que sus baterías durarán, en promedio, tres años con una varianza de un año. Si cinco de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años, construya un intervalo de confianza del 95% para la varianza real y decida si la afirmación del fabricante de es válida. Suponga que la población de duraciones de las baterías es de forma aproximadamente normal.

23. Problema. Para estimar el tiempo promedio que lleva ensamblar cierto componente de una computadora, el supervisor de una empresa electrónica tomó el tiempo que 20 técnicos tardaban en ejecutar esta tarea, obteniéndose una media de minutos y una desviación estándar de 2.06 minutos. Asuma que los tiempos tienen distribución normal.
Construya e interprete un intervalo de confianza de 98% para la varianza real que lleva ensamblar el componente de la computadora.

24. Intervalo de confianza para la proporción poblacional
Si es la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n y , un intervalo de confianza aproximado de (1-a)x100% para el parámetro binomial p está dado por:

25. Problema. Una empresa desea estimar la proporción de trabajadores de la línea de producción que están a favor de que se corrija el programa de aseguramiento de la calidad. Se toma una muestra de 100 trabajadores y resulta que 80 están a favor. Estime con 99% de confianza la proporción de trabajadores de la línea de producción que están a favor de que se corrija el programa de aseguramiento de la calidad

26. Tamaño de muestra
Si se utiliza como una estimación de p, podemos tener una confianza del (1-a)x100% de que el error será menor de una cantidad específica e cuando el tamaño de la muestra es aproximadamente:

27. Nota: Si el muestreo es sin reemplazo, el tamaño de muestra se calcula con la siguiente fórmula:
donde
y N es el tamaño de la población.

28. Problema. Se realiza un estudio para estimar la proporción de residentes en una ciudad que están a favor de la construcción de una fábrica. ¿Qué tan grande deber ser una muestra si se quiere una confianza de al menos 98% de que la estimación estará dentro de 0.04 de la proporción real de residentes de la ciudad, que estén a favor de la construcción de la nueva fábrica?

29. Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias.
Caso1: varianzas poblacionales conocidas

30. Ejemplo. Para comparar dos métodos de la enseñanza de las matemáticas, se aplicaron a 200 alumnos elegidos al azar el método tradicional y a otra muestra de 250 alumnos el método nuevo resultando las calificaciones promedio respectivos de 13 y 15. Suponga que las varianzas poblacionales respectivas son 9 y 16. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las medias, ¿podemos afirmar que no hay diferencias significativas entre los dos métodos?, si hay diferencias, ¿podemos afirmar que el método nuevo es mejor que el método tradicional?

31. Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias.
Caso2: Varianzas poblacionales desconocidas pero iguales

32. Problema. Se comparan el rendimiento de la gasolina de dos automóviles, A y B, probando cada uno de ellos con cinco marcas de gasolina. Cada uno de los vehículos gasta un tanque de cada marca, y el resultado, en millas por galón, es el siguiente

33. Calcule un intervalo de confianza de 99% para la diferencia de promedios.¿Hay evidencia que sugiera que existe una diferencia entre las cifras promedio verdadero para el rendimiento de los dos automóviles? Asuma poblaciones normales con varianzas iguales.

34. Caso3: Varianzas poblacionales desconocidas y diferentes

35. Ejemplo. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizaron hasta que se gastan. Los resultados son:
Marca A
Marca B
Calcule un IC de 90% para la diferencia de rendimiento promedio de ambas marcas de neumáticos. Suponga poblaciones normales con varianzas distintas.

36. Prueba de hipótesis

37. Conceptos generales
La prueba de hipótesis involucra una suposición elaborada sobre algún parámetro de la población. A partir de la información proporcionada por la muestra se verificará la suposición sobre el parámetro estudiado. La hipótesis que se contrasta se llama hipótesis nula (Ho).
Partiendo de los resultados obtenidos de la muestra, o bien rechazamos la hipótesis nula a favor de la alternativa, o bien no rechazamos la hipótesis nula y suponemos que nuestra estimación inicial del parámetro poblacional podría ser correcta.

38. Tipos de errores Información muestral Aceptar H0 Rechazar H0
Información muestral
Aceptar H0
Rechazar H0
La realidad
H0 es cierta
No hay error
Error I
H0 es falsa
Error II

39. Pasos a seguir en una Prueba de Hipótesis
þ     Paso 1: Planteo de hipótesis.
þ     Paso 2: Nivel de significación.
þ     Paso 3: Prueba estadística.
þ     Paso 4: Suposiciones.
þ     Paso 5: Regiones críticas. Criterios de decisión.
þ     Paso 6: Realización de la prueba.
þ     Paso 7: Resultados y conclusiones.

40. Prueba de hipótesis para una media poblacional (varianza conocida)
Una empresa eléctrica fabrica focos cuya duración se distribuye de forma aproximadamente normal con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que horas contra la alternativa horas si una muestra aleatoria de 28 focos tiene una duración promedio de 784 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

41. 2. Nivel de significación: a = 0.05 3. Prueba estadística
1.      Planteo de hipótesis.
2.      Nivel de significación: a = 0.05
3.      Prueba estadística
4.      Supuestos.
a.       Población normal.
b.      Muestra tomada al azar.

42. 5. Regiones críticas. Criterios de decisión.
La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.
6. Cálculos
Conclusiones. Con 5% de nivel de significación y a partir de la información muestral, el tiempo promedio de duración de los focos es diferente de 800 horas.

43. Prueba de hipótesis para una media poblacional (varianza desconocida)
Problema1: Antes de publicar un nuevo libro de cocina, Bantam Books desea probar la hipótesis, con un nivel de significancia del 2% de que el precio promedio de tales libros es de US$ ¿Esta afirmación se sustenta si una muestra de 50 libros de cocina tiene una media de US$ y una desviación estándar de US$ 12.87?

44. Problema2: Un químico ha desarrollado un material plástico que, según él, tiene una resistencia media a la ruptura de 29 onzas por pulgada cuadrada. Para comprobar la bondad del método se tomaron 20 láminas de plástico en mención hallándose que en cada una de éstas la resistencia a la ruptura es, respectivamente,

45. Al nivel de significación 0
Al nivel de significación y suponiendo normalidad, ¿se admite la hipótesis del químico?

46. Prueba de hipótesis para la varianza
Problema: Se reporta que la desviación estándar de la resistencia al rompimiento de ciertos cables producidos por una compañía es 240 lb. Después de que se introdujo un cambio en el proceso de producción de estos cables, la resistencia al rompimiento de una muestra de 8 cables mostró una desviación estándar de 300 lb. Investigue la significancia del aumento aparente en la variación usando un nivel de significancia de 0.05

47. Pruebas de hipótesis para una proporción poblacional
Problema. En cierta universidad se estima que el 25% de los estudiantes van a bicicleta a la universidad. ¿Esta parece ser una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en bicicleta a la universidad? Utilice un nivel de significancia de 0.05

48. Pruebas de hipótesis para dos varianzas poblacionales
Ejemplo1: Suponga que el director de capacitación de una compañía manufacturera desea comparar dos enfoques de trabajo en equipo. Cada miembro de un grupo de 16 empleados nuevos se asigna al azar a uno de los tres métodos. Una vez terminada la capacitación de los participantes, se evalúa el tiempo que tardan (en minutos) en ensamblar el producto. Los resultados se resumen como sigue:

49. A
8.82
9.26
8.7
8.97
8.64
8.29
9.45
9.42 B
8.21
6.65
7.44
7.95
8.2
7.75
8.84
8.4
a) ¿Existe homogeneidad de varianzas? Analice los datos considerando un nivel de significación del 5%.

50. Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias (varianzas desconocidas e iguales)
Ejemplo2: Clean All es un nuevo limpiador de uso múltiple cuya demanda se prueba exhibiéndolo en dos lugares diferentes dentro de varios supermercados. A continuación se muestra el número de botellas de 12 onzas que se vendieron en cada ubicación.

51. a) Analice los datos, formule las hipótesis adecuadas y contrástelas considerando un nivel de significación del 5%.
b)Determine si es posible, ¿Cuál es el lugar dentro del supermercado más efectivo para la venta del limpiador Clean All?

52. Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias (varianzas desconocidas y diferentes)
Ejemplo: Para investigar la influencia de la especialización en el salario inicial de los graduados en Ingeniería, se entrevistó a dos grupos de estudiantes recién graduados especializados en ingeniería y en otras profesiones. Los resultados fueron como sigue:

53. Si se asume poblaciones normales, ¿se puede concluir que el salario promedio de otras profesiones es mayor que en ingeniería? Use a = 0.05.