1. BANDAS DE ENERGÍA. DIELÉCTRICOS, SEMICONDUCTORES Y METALES.
Física del Estado Sólido
Dra. Mónica Trejo Duran

2. Bandas de energía
Los electrones en un átomo solo toman ciertos valores de energía discretos.
En un sólido cada nivel atómico se junta en muchos niveles de energía cercanos formando bandas de energía.
De acuerdo con el principio de exclusión de Pauli solamente dos electrones (con diferente spin) pueden ocupar un nivel de energía atómico con un conjunto de números cuánticos n, l y m.
2N electrones deben ocupar una banda de energía conteniendo N niveles de energía. Al igual que en los átomos los niveles de energía más bajos se llenan primero y los más altos quedan vacíos, así las bandas de energía más bajas son llenados y las bandas de más alta energía están vacías.
Las bandas de energía permitidas están separadas por estados o bandas de energía prohibidas.
Las bandas vacías o parcialmente llenas se llaman bandas de conducción y las bandas completamente llenas por electrones de valencia se llaman bandas de valencia.

3. Electrón libre Banda de Conducción
Cuando el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia están en 𝑘 ≠0 𝑘 ′ diferentes
𝐸 𝑔
gap
Banda de Valencia

4. MASA EFECTIVA.
Cerca del mínimo de conducción la dependencia de la energía del electrón en el vector de onda puede ser aproximada a una función parabólica similar a la del electrón en el espacio libre. Sin embargo, la curvatura de esta dependencia es diferente a la del espacio libre, así como las direcciones cristalográficas son diferentes y la curvatura depende de la dirección.
Para encontrar su forma se introduce el tensor de masa efectiva son componentes definidos como:
Cuando el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia están en 𝑘=0
Banda de Conducción
Banda de Valencia
𝐸 𝑔

5. 1 𝑚 𝑖,𝑗 = 1 ℏ 2 𝜕 2 𝐸 𝑛 𝜕 𝑘 𝑖 𝜕 𝑘 𝑗 𝐸 𝑛 𝑘 = 𝐸 𝑐 + ℏ 2 𝑘 2 2 𝑚 𝑛
Donde 𝑘 𝑖 y 𝑘 𝑗 son las proyecciones del vector de onda 𝑘 .
Cuando E( 𝑘 ) depende solamente de la magnitud de 𝑘 y no de la dirección de 𝑘 , este tensor se reduce a la masa efectiva 1 𝑚 𝑛
Para el caso del Arsenio de Galio (Ga As)
Para el caso de Silicio (Si)
Donde 𝑘 𝑙 y 𝑘 𝑡 son componentes transversales (t) y longitudinales (l) del vector 𝑘
𝑚 𝑙 masa efectiva longitudinal
𝑚 𝑡 masa efectiva transversal
1 𝑚 𝑖,𝑗 = 1 ℏ 2 𝜕 2 𝐸 𝑛 𝜕 𝑘 𝑖 𝜕 𝑘 𝑗
𝐸 𝑛 𝑘 = 𝐸 𝑐 + ℏ 2 𝑘 2 2 𝑚 𝑛
𝐸 𝑛 𝑘 = 𝐸 𝑐 + ℏ 𝑘 𝑙 2 𝑚 𝑙 + 𝑘 𝑡 2 𝑚 𝑡

6. Primera zona de Brillouin de FCC
Puntos de simetría Γ, Χ, L
Líneas de simetría Δ, Λ, Σ
Dependencia angular de 𝐸( 𝑘 ) dibujando superficie en el espacio 𝑘 correspondiente a la misma energía del electrón.
Superficies esféricas de igual energía (GaAs).
Mínima energía en el punto Γ

7. Arseniuro de Galio Superficies elipsoidales de igual energía (Si).
Iguales
Mínima energía en el punto Χ E
Valle L
Valle X
recordar que [001] y [010]
[111] y [111] son equivalentes para la simétrica cúbica
𝐸 𝐿
En todos los semiconductores cúbicos el punto más alto de la banda de valencia esta localizado en el punto Γ de la 1ª zona de Brillouin ( 𝑘 =0,0,0)
𝐸 Δ
[111]
𝐸 Γ = 𝐸 𝑔
[001]
Hay dos bandas de valencia llamadas bandas huecos ligeros y huecos pesados que tienen la misma energía en el punto 𝑘 =0 (son degenerados). Mientras que la tercera banda separada de las otras dos se llama banda split-off
Hoyos ligeros
Hoyos pesados
Banda Split-off
Arseniuro de Galio

8. E
Cuando iluminamos con luz un semiconductor, un electrón de la banda de valencia toma energía del fotón y experimenta una transición a la banda de conducción. A esta transición se llama transición interbanda o absorción de fotones.
Valle L
Valle X
𝐸 Γ
𝐸 𝐿
[111]
𝐸 Δ
[001]
Hoyos ligeros
Silicio
Banda Split-off
Hoyos pesados
Cuando un campo eléctrico es ampliado a semiconductor (ejemplo: GaAs), los portadores de carga gana energía del campo eléctrico y ocupan estados de energía más altos.
Campo eléctrico bajo
Los electrones primero ocupan estados de energía en el mínimo más bajo de la banda de conducción (mínimo Γ).

9. Campo eléctrico alto
Los electrones primero ocupan estados de energía en el mínimo más alto (L) de la banda de conducción.

10. FUNCIONESDE DISTRIBUCIÓN Y DENSIDAD DE ESTADOS.
El número de niveles llenos en la banda de conducción y de niveles desocupados en la banda de Valencia depende de la temperatura.
A más altas temperaturas más electrones adquieren suficiente energía térmica para pasar a estados de energía más altos en la banda de conducción.
Ahora calcularemos la concentración de electrones en la banda de conducción.
Consideremos un sistema con una gran cantidad de partículas (N) como un gas de moléculas, donde cada partícula puede tomar ciertos valores de energía 𝐸 1 , 𝐸 1 ,…, 𝐸 𝑖 . Si tenemos que el número de estados es mucho más grande que el número de partículas entonces la probabilidad de encontrar una partícula en un cierto estado es mucho menor que uno.
La probabilidad de encontrar una partícula en el estado con energía Ei está dado por.
La energía promedio de las partículas es:
𝑃 𝐸 𝑖 = 𝑁 𝑖 𝑁
𝑁 𝑖 es el número de partículas en el estado 𝐸 𝑖
<𝐸>= 𝑖 𝑁 𝑖 𝐸 𝑖 𝑁

11. 𝑃 𝐸 𝑖 𝑃( 𝐸 𝑘 ) = 𝑒 𝐸 𝑘 − 𝐸 𝑖 𝑘 β 𝑇 𝑓 𝑑𝐸= 𝑒 𝐸 𝑘 β 𝑇 𝑑𝐸
En equilibrio la probabilidad de tener partículas en 2 estados de energía 𝐸 𝑘 y 𝐸 𝑖 están relacionados por los factores de Boltzmann.
Esta ecuación significa que la probabilidad de encontrar una partícula en un cierto estado de energía 𝐸 𝑖 , decrece exponencialmente con 𝐸 𝑖 .
Para un espectro continuo de energía, la probabilidad de encontrar una partícula entre 𝐸 y 𝐸+𝑑𝐸 está dado por:
Donde f es llamada Función de Distribución de Boltzmann.
Para electrones, el principio de Exclusión de Pauli establece que no más de dos electrones pueden ocupar un nivel de energía dado. Los electrones tienden a ocupar primero los estados con más bajas energías.
Así, todos los estados con energías bajas son llamados exactamente en la misma forma. Así que para bajas energías, la función de probabilidad electrónica f, debe ser igual a uno ya que todos esos estados están ocupados.
𝑃 𝐸 𝑖 𝑃( 𝐸 𝑘 ) = 𝑒 𝐸 𝑘 − 𝐸 𝑖 𝑘 β 𝑇
𝑓 𝑑𝐸= 𝑒 𝐸 𝑘 β 𝑇 𝑑𝐸

12. 𝑓 𝑛 𝐸 = 1 1+ 𝑒 𝐸− 𝐸 𝐹 𝑘 β 𝑇 La función de distribución electrónica es:
𝑓 𝑛 → Función de distribución de Fermi-Dirac.
La energía 𝐸 𝐹 es llamada Energía de Fermi o Nivel de Fermi y se define como la energía por la cual 𝑓 𝑛 𝐸 = Cuando 𝐸> 𝐸 𝐹 por algunos 𝑘 β 𝑇, 𝑓 𝑛 𝐸 ≪1 y la distribución de Fermi- Dirac se reduce a la distribución de Boltzmann. Cuando E es mucho menos que 𝐸 𝐹 por algunos 𝑘 β 𝑇, 𝑓 𝑛 𝐸 =1 de acuerdo con el principio de Exclusión de Pauli.
𝑓 𝑛 𝐸 = 1 1+ 𝑒 𝐸− 𝐸 𝐹 𝑘 β 𝑇

13. 𝐸−𝐸 𝐹 (𝑒𝑉) Cuando 𝑇→0 𝑓 𝑛 𝐸 → función escalón 𝑓 𝑛 𝐸 =1 𝑠𝑖 𝐸< 𝐸 𝐹
𝑓 𝑛 𝐸 =1 𝑠𝑖 𝐸< 𝐸 𝐹
𝑓 𝑛 𝐸 =0 𝑠𝑖 𝐸> 𝐸 𝐹
La 𝑓 𝑛 𝐸 nos permite encontrar la probabilidad de que un estado esté lleno.
Mas adelante veremos cómo encontrar 𝐸 𝐹 , por lo pronto supondremos que la conocemos.
𝐸−𝐸 𝐹 (𝑒𝑉)

14. 𝑔 𝑛 𝐸 =densidad de estados de de volumen por unidad de energía
La concentración total de electrones en la banda de conducción será:
𝑛=concentración [ m −3 ]
𝑓 𝑛 𝐸 =nº de ocupación
𝑔 𝑛 𝐸 =densidad de estados de
de volumen por unidad de energía
[ m −3 J −1 ]
𝑛= 𝐸 𝑐 𝐸 𝑐𝑡 𝑓 𝑛 𝐸 𝑔 𝑛 𝐸 𝑑𝐸
𝐸 𝑐 , 𝐸 𝑐𝑡 energía inferior y superior
de la banda de conducción
𝑔 𝑛 𝐸 = 1 𝑉 𝑑𝑁 𝑑𝐸 =4𝜋 𝑒 𝑚 𝜂 ℏ 𝐸− 𝐸 𝑐
𝑛= 𝐸 𝑐 ∞ 𝑓 𝑛 𝐸 𝑔 𝑛 𝐸 𝑑𝐸= 𝑁 𝑐 𝐹 ( 𝜂 𝜂 )
𝑁 𝑐 =2 𝑚 𝜂 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ Densidad efectiva de estados para la banda de conducción
𝐹 𝜂 𝜂 = 2 𝜋 0 ∞ 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝜂 𝜂 𝑑𝑥 Integral de Fermi
𝜂 𝜂 = 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑐 𝑘 β 𝑇

15. ELECTRONES Y HUECOS EN SEMICONDUCTORES.
Para entender y describir la operación de un dispositivo semiconductor necesitamos conocer cómo los portadores de corriente eléctrica (electrones y huecos) están distribuidos en un material semiconductor en energía y espacio, cómo cambian sus concentraciones y cómo se mueven los electrones y huecos en un campo eléctrico ampliado y las ecuaciones básicas que describen el movimiento. E

16. 𝑓 𝑝 𝐸 =1− 𝑓 𝑛 𝐸 = 1 1+ 𝑒 𝐸 𝐹 −𝐸 𝑘 β 𝑇 𝐸 𝑝 𝑘 = 𝐸 𝑣 + ℏ 2 𝑘 2 2 𝑚 𝑝
Los cambios en el nivel de ocupación electrónica en la banda de valencia son más fácilmente entendibles identificando el movimiento del nivel de energía del hueco. Donde hueco = partícula ficticia, ausencia de electrón, vacante de energía (+q) si e= -q
La función de ocupación de Fermi-Dirac para huecos es:
La dependencia de la energía en la banda de valencia del vector de onda es:
𝑚 𝑝 masa efectiva del hueco y 𝐸 𝑣 tope de la banda de Valencia.
𝑓 𝑝 𝐸 =1− 𝑓 𝑛 𝐸 = 1 1+ 𝑒 𝐸 𝐹 −𝐸 𝑘 β 𝑇
𝐸 𝑝 𝑘 = 𝐸 𝑣 + ℏ 2 𝑘 2 2 𝑚 𝑝

17. 𝑝= 𝐸 𝑐 ∞ 𝑔 𝑝 𝐸 𝑓 𝑝 𝐸 𝑑𝐸= 𝑁 𝑉 𝐹 1 2 ( 𝜂 𝑝 )
La densidad de estados de energía permitidos por unidad de volumen en una banda de valencia parabólica (Densidad de estados de huecos):
La concentración de huecos:
Donde:
Los huecos ligeros tienen masa efectiva 𝑚 𝑝𝑙 y los huecos pesados tienen masa efectiva 𝑚 𝑝ℎ
Así para la banda de huecos, la densidad efectiva de estados está dada por:
𝑔 𝑝 𝐸 =4𝜋 2 𝑚 𝑝 ℎ 𝐸 𝑣 −𝐸 1 2
𝑝= 𝐸 𝑐 ∞ 𝑔 𝑝 𝐸 𝑓 𝑝 𝐸 𝑑𝐸= 𝑁 𝑉 𝐹 ( 𝜂 𝑝 )
𝑁 𝑐 =2 𝑚 𝑝 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ Densidad efectiva de estados para la banda de valencia
𝜂 𝑝 = 𝐸 𝑉 − 𝐸 𝐹 𝑘 β 𝑇
𝑁 𝑉𝑙 =2 𝑚 𝑝𝑙 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ
𝑁 𝑉ℎ =2 𝑚 𝑝ℎ 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ

18. CONCENTRACIONES DE ELECTRONES Y HUECOS.
Así:
CONCENTRACIONES DE ELECTRONES Y HUECOS.
Cuando el nivel de Fermi, 𝐸 𝐹 , está en el gap de energía y 𝐸 𝑐 − 𝐸 𝐹 , 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑉 es más grande que varias energías 𝑘 β 𝑇, el semiconductor se dice que es no degenerado.
Cuando
De donde
Y sí
𝑁 𝑉 = 𝑁 𝑉𝑙 + 𝑁 𝑉ℎ =2 𝑚 𝑝ℎ 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ 𝑚 𝑝𝑙 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ = 𝑚 𝑝ℎ 𝑚 𝑝𝑙 densidad de estados
de masa efectiva
𝐸 𝑐 − 𝐸 𝐹 >3 𝑘 β 𝑇
𝐹 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑐 𝑘 β 𝑇 ≈ 𝑒 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝐶 𝑘 β 𝑇
𝑛= 𝑁 𝑐 𝑒 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝐶 𝑘 β 𝑇
𝐸 𝐹 − 𝐸 𝐶 >3 𝑘 β 𝑇
𝑝= 𝑁 𝑉 𝑒 𝐸 𝑉 − 𝐸 𝐹 𝑘 β 𝑇

19. Como puede verse las concentraciones n y p en un semiconductor no degenerado son mucho más pequeños que la densidad efectiva de estados, Nc y Nv , en la banda de conducción y de valencia respectivamente.
Cuando el nivel de Fermi en la banda de conducción es 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑐 >3 𝑘 β 𝑇 o el nivel de Fermi en la banda de valencia es 𝐸 𝑉 − 𝐸 𝐹 >3 𝑘 β 𝑇 el semiconductor es llamado Degenerado.
Para un semiconductor degenerado tipo n
Y para un tipo P
Nivel de Fermi para un semiconductor degenerado
Tipo n Tipo p
𝐹 ≈ 4 3 𝜋 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑐 𝑘 β 𝑇
𝑛≈ 1 3 𝜋 𝑚 𝑑𝑛 ( 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑐 ) ℏ
𝑝≈ 1 3 𝜋 𝑚 𝑑𝑝 ( 𝐸 𝑉 − 𝐸 𝐹 ) ℏ
𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑐 = ℏ 𝜋 2 𝑛 𝑚 𝑑𝑛
𝐸 𝑉 − 𝐸 𝐹 = ℏ 𝜋 2 𝑝 𝑚 𝑑𝑝

20. CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS.
distancia
distancia

21. Tipo n Densidad de estados Función de distribución No degenerado
0.5 1
𝐸 𝐶
𝐸 𝐹
energía
𝑓 𝑛
𝐸 𝐶
energía
𝑔 𝑛
No degenerado
𝐸 𝐶
𝐸 𝐹
energía
0.5 1
𝑓 𝑛
𝐸 𝐶
energía
𝑔 𝑛
Degenerado

22. Densidad de electrones por unidad de energía (tipo n)
𝐸 𝐶
energía
No degenerado
𝑑𝑛 𝑑𝐸
𝐸 𝐶
energía
Degenerado

23. Tipo p Densidad de estados Función de distribución No degenerado
0.5 1
𝐸 𝑉
𝐸 𝐹
energía
𝑓 𝑝
𝐸 𝑉
energía
𝑔 𝑝
No degenerado
0.5 1
𝑓 𝑝
𝐸 𝑉
𝐸 𝐹
energía
𝐸 𝑉
energía
𝑔 𝑝
Degenerado

24. Densidad de electrones por unidad de energía (tipo p)
Para un semiconductor no degenerado
Es la energía gap. Esta ecuación se puede reescribir
Donde
Densidad de electrones por unidad de energía (tipo p)
𝑑𝑝 𝑑𝐸
No degenerado
𝐸 𝑉
energía
𝑑𝑝 𝑑𝐸
Degenerado
𝐸 𝑉
energía
𝑛𝑝= 𝑁 𝑐 𝑁 𝑉 𝑒 − 𝐸 𝑔 𝑘 β 𝑇
donde 𝐸 𝑔 = 𝐸 𝐶 − 𝐸 𝑉
𝑛𝑝= 𝑛 𝑖 ←Ley de acción−masa
𝑛 𝑖 = 𝑁 𝑐 𝑁 𝑉 𝑒 − 𝐸 𝑔 2𝑘 β 𝑇 ←Concentración intrínseca de portadores
Para un semiconductor no degenerado
donde
Es la energía gap. Esta ecuación se puede resumir
(ley de acción - masa) donde es llamada la
concentración intrínseca de portadores.

25. 𝑛 𝑖 =1.34x 10 21 ⋅ 𝑇 3 2 K ⋅ 𝑒 − 𝐸 𝑔 2𝑘 β 𝑇 𝑚 −3 ℎ=6.626x 10 −34 J⋅s
El producto np para un semiconductor no degenerado es independientemente del nivel de Fermi y está determinado por la densidad de estados en la banda de valencia y conducción, la energía gap y la temperatura.
La ley de acción – masa es válida en equilibrio térmico.
Si se quiere realizar una estimación aproximada de la dependencia de 𝑛 𝑖 con respecto a 𝐸 𝑔 , asumamos que 𝑚 𝑛 =0.3 𝑚 𝑒 y 𝑚 𝑝 =0.6 𝑚 𝑒 con los que podremos calcular 𝑁 𝑐 y 𝑁 𝑉 tenemos que
Para 300 K, la gráfica de esta ecuación se muestra en la figura siguiente. (para Si 𝐸 𝑔 =1.11 eV, para GaAs 𝐸 𝑔 =1.42 eV)
Algunas constantes importantes
𝑛 𝑖 =1.34x ⋅ 𝑇 K ⋅ 𝑒 − 𝐸 𝑔 2𝑘 β 𝑇 𝑚 −3
ℎ=6.626x 10 −34 J⋅s
ℏ=1.054x 10 −34 J⋅s
𝑘 β =1.7806x 10 −23 J K =8.6133x 10 −5 eV K

26. La concentración de portadores es pequeña comparada con la concentración de electrones de valencia en un semiconductor cm −3
De la ley de acción-masa, tenemos np~[ 10 7 − ]

27. SEMICONDUCTORES INTRÍNSECOS, DOPADOS Y COMPENSADOS.
Donadores y Aceptores.
En un semiconductor puro neutral, la concentración de electrones cargados negativamente debe ser igual a los huecos cargados positivamente, en este caso se dice que es intrínseco.
Como 𝑛=𝑝 entonces
Y el nivel de Fermi es llamado Nivel de Fermi intrínseco ( 𝐸 𝑖 )
Donde 𝐸 𝑔 ~1 eV y 𝑘 β 𝑇 ~ 26 eV a temperatura ambiente (300 K).
Como son cualidades pequeñas, 𝐸 𝑖 queda aproximadamente a la mitad del gap.
𝑛=𝑝= 𝑛 𝑖 = 𝑁 𝑐 𝑁 𝑉 𝑒 − 𝐸 𝑔 2𝑘 β 𝑇
𝐸 𝑖 = 𝑁 𝑐 + 𝑁 𝑉 𝑘 β 𝑇 ln 𝑚 𝑑𝑝 𝑚 𝑑𝑛 = 𝐸 𝑐 − 𝐸 𝑔 𝑘 β 𝑇 ln 𝑚 𝑑𝑝 𝑚 𝑑𝑛

28. 𝐸 𝐸 𝐶 𝐸 𝑖 𝐸 𝑉 Cuando se introducen en un semiconductor dopantes:
distancia
Cuando se introducen en un semiconductor dopantes:
Donadores (tipo n, electrones) o aceptores (tipo p, huecos) se les llama semiconductores extrínsecos.
Para el Silicio los donadores o impurezas introducen niveles de energía dentro del gap muy cercanas al mínimo de la banda de conducción. Estos son Antimonio (Sb), Fósforo (P), y Arsénico (As)
Un donador es neutral cuando ocupado por un electrón después de donado a la banda de conducción queda cargado positivamente.
Para el silicio los aceptores son Boro (B), Aluminio (Al), Galio (Ga) y Indio (In) ya que pierde un electrón de valencia para formar 4 enlaces con un vecino de silicio cercanos. Así el átomo provee un nivel vacío disponible de energía por un electrón, crea un hueco.

29. Los niveles de energía de los aceptores superficiales están arriba y cerca del máximo de la banda de valencia. Un aceptor está negativamente cargado cuando es ocupado por un electrón y se hace neutral después de aceptar un electrón de la banda de valencia.
Las energías 𝐸 𝐶 − 𝐸 𝑑 para donadores y 𝐸 𝑎 − 𝐸 𝑉 para aceptores son llamadas Energía de ionización donador o aceptor.
Los donadores y aceptores más llamados superficiales cuando sus energías de ionización son más pequeñas o cercanas a la energía térmica 𝑘 β 𝑇.
Los donadores y aceptores superficiales están cerca de ser totalmente ionizados, esto es, todas cercanas a ellos proporcionan electrones a la banda de conducción y huecos a la banda de valencia respectivamente.
𝐸 𝑑
𝐸 𝑉
𝐸 𝐶 𝐸
distancia
Donador
𝐸 𝑎
𝐸 𝑉
𝐸 𝐶 𝐸
distancia
Aceptor

30. 𝑎 𝐵 = 4𝜋 𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑞 2 Radio de Bohr 𝑎 𝐵 =0.52917 Å
La siguiente figura muestra el modelo que puede ser usando para estimar la energía de ionización del donador 𝐸 𝐶 − 𝐸 𝑑 .
Modelo del átomo de hidrógeno.
Átomo de hidrógeno
Es Si +
𝐸 𝑆 Si −
𝐸 0 − +
𝑚 𝑒
vacío
Eo me
vacio +
Donador
Átomo de hidrógeno
𝐸 𝑛 = 𝐸 𝐵 𝑛 𝑛=1,2,…
𝐸 𝐵 = 𝑞 2 8𝜋 𝜖 0 𝑎 𝐵 = 𝑚 𝑒 𝑞 𝜋 2 𝜖 0 2 ℏ Energía de Bohr 𝐸 𝐵 =13.6 eV=2.18x 10 −18 J
𝑎 𝐵 = 4𝜋 𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑞 Radio de Bohr 𝑎 𝐵 = Å

31. La energía del estado base está determinado por la energía de Bohr donde la permisividad del espacio libre es reemplazada por la permisividad dieléctrica del semiconductor y 𝑚 𝑒 es remplazada por 𝑚 𝑛 ( masa efectiva del electrón.)
El radio también se modifica
𝐸 𝐶 − 𝐸 𝑑 ≈ 𝜖 0 𝜖 𝑠 𝑚 𝑛 𝑚 𝑒 𝑚 𝑒 𝑞 𝜋 2 𝜖 0 2 ℏ 2 ≈ 𝜖 0 𝜖 𝑠 𝑚 𝑛 𝑚 𝑒 (eV)
𝐸 𝐶 =0
𝑛=3
𝑛=2
𝑛=1 −1 −5 −6
Nivel base del donador
GaAs
𝑚 𝑛 =0.067 𝑚 𝑒
𝜖 𝑠 =12.9 𝜖 0
𝑎 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 4𝜋 𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑞 𝑚 𝑛 𝑚 𝑒 𝜖 0 𝜖 𝑠 → 𝑎 𝑏𝑒𝑓𝑓 (Å)= 𝑚 𝑒 𝑚 𝑛 𝜖 𝑠 𝜖 0
GaAs 𝑎 𝑏𝑒𝑓𝑓 =102 Å

32. CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS.
Para una concentración 𝑁 𝑑 de átomos donadores, la concentración de donadores ionizados (o vacíos) 𝑁 𝑑 + está dada por:
Donde 𝐸 𝑑 es el nivel de energía donador y 𝑔 𝑑 es llamado factor de degeneración de donadores. La razón de las concentraciones de vacíos 𝑁 𝑑 + y llenos ( 𝑁 𝑑 0 = 𝑁 𝑑 − 𝑁 𝑑 + ) es.
Similarmente, para núcleos aceptores
donde 𝐸 𝑎 es el nivel de energía aceptor y 𝑔 𝑎 el factor de degeneración de aceptor.
CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS.
Un semiconductor uniforme en un campo eléctrico cero debe ser neutral ya que la carga eléctrica más un campo eléctrico. La posición del nivel de Fermi puede encontrarse de condición de neutralidad.
𝑁 𝑑 + = 𝑁 𝑑 1+ 𝑔 𝑑 𝑒 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑑 𝑘 β 𝑇
𝑁 𝑑 0 𝑁 𝑑 + = 𝑔 𝑑 𝑒 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑑 𝑘 β 𝑇
𝑁 𝑎 − 𝑁 𝑎 0 = 1 𝑔 𝑎 𝑒 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑎 𝑘 β 𝑇
𝐸 𝑎 − 𝐸 𝑉 ≈ 𝜖 0 𝜖 𝑠 𝑚 𝑝 𝑚 𝑒 𝑚 𝑒 𝑞 𝜋 2 𝜖 0 2 ℏ 2

33. 𝑁 𝑑 + concentración de donadores ionizados
Cuando el semiconductor es dopado solamente por donadores 𝑁 𝑎 − =0 tenemos
Ahora encontramos la concentración de electrones (n indica tipo de conductibilidad)
Para los donadores ionizados superficiales 𝑁 𝑑 + ≈ 𝑁 𝑑 así que:
La concentración de huecos en un material tipo n es:
En la mayoría de los casos en los semiconductores tipo n, 𝑁 𝑑 + ≈ 𝑁 𝑑 ≫ 𝑛 𝑖 así que
𝑁 𝑑 + concentración de donadores ionizados
𝑁 𝑎 − concentración de aceptores ionizados
𝑝+ 𝑁 𝑑 + − 𝑁 𝑎 − −𝑛=0
𝑛=𝑝+ 𝑁 𝑑 +
𝑛 𝑛 = 𝑁 𝑑 𝑛 𝑖 2 + 𝑁 𝑑 +
𝑛 𝑛 ≈ 𝑁 𝑑 2 +4 𝑛 𝑖 2 + 𝑁 𝑑
𝑝 𝑛 = 𝑛 𝑖 2 𝑛 𝑛
𝑛 𝑛 ≈ 𝑁 𝑑
𝐸 𝐹 ≈ 𝐸 𝐶 − 𝑘 β 𝑇 ln 𝑁 𝑐 𝑁 𝑑
𝑝 𝑛 ≈ 𝑛 𝑖 2 𝑁 𝑑

34. 𝑝=𝑛+ 𝑁 𝑎 − 𝑝 𝑝 = 1 2 𝑁 𝑎 − 2 +4 𝑛 𝑖 2 + 𝑁 𝑑 −
Para un semiconductor tipo P, la condición de carga neutral es:
Cuando 𝑁 𝑎 − ≈ 𝑁 𝑎
Cuando 𝑁 𝑎 − ≈ 𝑁 𝑎 ≫ 𝑛 𝑖
(Valido solo para semiconductores no degenerados)
Cuando ambos donadores y aceptores están presentes en un semiconductor se dice que esta compensado.
En un semiconductor compensado, el tipo de conductividad (p o n) es determinada por
la gran concentración de impurezas.
Si , 𝑁 𝑑 > 𝑁 𝑎 la densidad efectiva donador es
𝑝=𝑛+ 𝑁 𝑎 −
𝑝 𝑝 = 𝑁 𝑎 − 𝑛 𝑖 2 + 𝑁 𝑑 −
𝑛 𝑛 ≈ 𝑁 𝑎 2 +4 𝑛 𝑖 2 + 𝑁 𝑎
𝑝 𝑝 ≈ 𝑁 𝑎
𝐸 𝐹 ≈ 𝐸 𝑉 + 𝑘 β 𝑇 ln 𝑁 𝑉 𝑁 𝑎
𝑛 𝑝 ≈ 𝑛 𝑖 2 𝑁 𝑎
𝑁 𝑎𝑒𝑓𝑓 = 𝑁 𝑑 − 𝑁 𝑎

35. 𝑘= 𝑁 𝑎 𝑁 𝑑 , 𝑁 𝑎 < 𝑁 𝑑 & 𝑁 𝑑 𝑁 𝑎 , 𝑁 𝑑 > 𝑁 𝑎
Si 𝑁 𝑎 > 𝑁 𝑑
Si las impurezas están totalmente ionizadas podemos usar la ecuación 𝑃 𝑝 y 𝑛 𝑛 para concentración de portadores de n y p si sustituimos 𝑁 𝑑 por 𝑁 𝑑𝑒𝑓𝑓 y 𝑁 𝑎 por 𝑁 𝑎𝑒𝑓𝑓
La razón de compensación se define como:
𝑁 𝑑𝑒𝑓𝑓 = 𝑁 𝑑 − 𝑁 𝑎 - +
𝐸 𝑐
Electrones en la
banda de conducción +
𝐸 𝑐 -
𝐸 𝑉
𝑁 𝑑 > 𝑁 𝑎 - +
𝐸 𝑉
Huecos en la
banda de valencia
𝑁 𝑑 < 𝑁 𝑎
𝑘= 𝑁 𝑎 𝑁 𝑑 , 𝑁 𝑎 < 𝑁 𝑑 & 𝑁 𝑑 𝑁 𝑎 , 𝑁 𝑑 > 𝑁 𝑎
𝑘≈0.05 o más grande

36. 𝑛 𝑖 = 𝑁 𝑐 𝑁 𝑉 1 2 𝑒 − 𝐸 𝑔 2𝑘 β 𝑇 Ejemplo
El silicio es dopado con átomos de fósforo (concentración átomos/ cm −3 ) y átomos de Boro ( 5x átomos/ cm −3 )
Calcule la concentración de electrones y huecos en este material a 600 K
𝐶 𝐹 =1x cm −3 (Fósforo→𝐷𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟)
𝐶 𝐵 =5x cm −3 (Boro→𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟)
Como se puede ver, dado que el Boro es un aceptor, el material es tipo P.
La concentración efectiva de aceptores es: 5x −1x =4x cm −3
Ya que a 600 K todos los aceptores están ionizados 𝑝≈4x cm −3
La concentración de electrones (lo que se nos pide) se calcula de 𝑛= 𝑛 𝑖 2 𝑝 , sólo nos falta conocer 𝑛 𝑖
A 300 K, 𝑘 β 𝑇= eV, por tanto
Necesitamos conocer 𝑁 𝑐 y 𝑁 𝑉
𝑛 𝑖 = 𝑁 𝑐 𝑁 𝑉 𝑒 − 𝐸 𝑔 2𝑘 β 𝑇

37. 𝑁 𝑐 =2 𝑚 𝑛 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ 2 3 2 𝑁 𝑉 =2 𝑚 𝑝 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ 2 3 2
Por tanto
De diapositivas anteriores tenemos
𝑚 𝑛 =0.3 𝑚 𝑒
𝑚 𝑝 =0.6 𝑚 𝑒
Donde 𝑚 𝑒 es la masa del electrón libre, por tanto
𝑁 𝑐 =2.04x 10 57
𝑁 𝑉 =5.76x 10 57
Aplicando la fórmula 𝐸 𝑔 =1.1 eV
Debemos aplicar una regla de tres puesto que como el problema nos pide para T=600 K no conocemos 𝑚 𝑛 y 𝑚 𝑝 por tanto
𝑁 𝑐 =2 𝑚 𝑛 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ
𝑁 𝑉 =2 𝑚 𝑝 𝑘 β 𝑇 2𝜋 ℏ
𝑛 𝑖 = 𝑁 𝑐 𝑁 𝑉 𝑒 − 𝐸 𝑔 2𝑘 β 𝑇 = x x 𝑒 − 1.1 2( ) ≈ cm −3
𝑛 𝑖 = 𝑒 ( ) 𝑒 − 1.1 2( ) ≈1.3x cm −3

38. MOVILIDAD DE ELECTRONES Y HUECOS Y VELOCIDADES DE ARRASTRE.
𝑛= 𝑛 𝑖 2 𝑝 = 1.3x x ≈4.23x cm −3
MOVILIDAD DE ELECTRONES Y HUECOS Y VELOCIDADES DE ARRASTRE.
Los electrones y huecos (en la banda de conducción y banda de valencia) son capaces de moverse en un semiconductor.
Ellos portan la unidad de carga elemental 𝑞=1.602x 10 −19 C son llamados fundamentalmente portadores de carga o portadores libres. En ausencia de campo eléctrico los portadores de carga experimentan movimiento término aleatorio caótico.
La energía cinética promedio por movimiento térmico por electrón es 𝑘 β 𝑇
La velocidad térmica del electrón es:
Aunque tienen velocidad el promedio de movimiento es cero.
La velocidad de arrastre de un electrón 𝑣 𝑛 causada por un campo eléctrico, se sobrepone a este movimiento térmico caótico.
𝑚 𝑛 𝑣 𝑡ℎ𝑛 2 2 = 3 2 𝑘 β 𝑇 → 𝑣 𝑡ℎ𝑛 = 3 𝑘 β 𝑇 𝑚 𝑛
𝑣 𝑡ℎ𝑝 = 3 𝑘 β 𝑇 𝑚 𝑝

39. 𝑚 𝑒 𝑑 𝑉 𝑛 𝑑𝑡 =−𝑞 𝐸 un electrón en un campo eléctrico
De la segunda ley de Newton
En un semiconductor se sustituye la masa efectiva
Pero hay colisiones causadas por vibraciones de átomos cercanos, impurezas e imperfecciones del cristal
Para campos eléctricos bajos 𝜏 𝑛𝑝 es independiente de 𝐸
Se define al camino libre promedio como el camino que recorre el electrón antes de chocar con otros núcleos o electrones
A bajas frecuencias ω≪ 1 𝜏 𝑛𝑝 y por tanto 𝑑 𝑉 𝑛 𝑑𝑡 ≈0 por lo que
𝑚 𝑒 𝑑 𝑉 𝑛 𝑑𝑡 =−𝑞 𝐸 un electrón en un campo eléctrico
𝑚 𝑛 𝑑 𝑉 𝑛 𝑑𝑡 =−𝑞 𝐸 𝑉 𝑛 →𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒
𝑚 𝑛 𝑑 𝑉 𝑛 𝑑𝑡 =−𝑞 𝐸 − 𝑚 𝑛 𝑉 𝑛 𝜏 𝑛𝑝 𝜏 𝑛𝑝 →tiempo de relajación del momento del electrón
𝜆 𝑛 = 𝑉 𝑡ℎ𝑛 𝜏 𝑛𝑝
𝜏 𝑛𝑝 ~ 10 −12 𝑎 10 −14 𝑠
𝜆 𝑛 ~ 1500 Å 𝑎 𝑇=300 K

40. 𝑞 𝐸 =− 𝑚 𝑛 𝑉 𝑛 𝜏 𝑛𝑝 → 𝑉 𝑛 =− 𝑞 𝜏 𝑛𝑝 𝑚 𝑛 𝐸 = 𝜇 𝑛 𝐸
Donde hemos definido 𝜇 𝑛 , la movilidad del electrón. (El signo negativo indica el sentido opuesto al campo eléctrico
Ejemplo
La movilidad del electrón en el GaAs a T= 77 K y T= 300 K es igual a 300,000 cm 2 𝑉 𝑠 y 9,000 cm 2 𝑉 𝑠 respectivamente. La masa efectiva del electrón ( 𝑚 𝑛 ) es 𝑚 𝑒 . Encuentre el camino promedio libre a esas temperaturas.
Solución
𝑞 𝐸 =− 𝑚 𝑛 𝑉 𝑛 𝜏 𝑛𝑝 → 𝑉 𝑛 =− 𝑞 𝜏 𝑛𝑝 𝑚 𝑛 𝐸 = 𝜇 𝑛 𝐸
𝜇 𝑛 = 𝑞 𝜏 𝑛𝑝 𝑚 𝑛
𝜏 𝑛𝑝 = 𝑚 𝑛 𝜇 𝑛 𝑞
𝜆 𝑛 = 𝑉 𝑡ℎ𝑛 𝜏 𝑛𝑝 = 3 𝑘 β 𝑇 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 𝜇 𝑛 𝑞 = 3 𝑘 β 𝑇 𝑚 𝑛 𝜇 𝑛 𝑞
𝜆 𝑛 77 K = 3⋅8.6133x 10 −5 ⋅77⋅ x 10 − , x 10 −19 =2.67𝜇𝑚
𝜆 𝑛 300 K = 3⋅8.6133x 10 −5 ⋅300⋅ x 10 − , x 10 −19 =1,570 Å

41. 1 𝜏 𝑛𝑝 ≈ 1 𝜏 𝑖𝑖 + 1 𝜏 𝑛𝑖 + 1 𝜏 𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 +…
La densidad de corriente del electrón está dada por
El tiempo de relajación del momento está dado aproximadamente por
De donde
𝜏 𝑖𝑖 =dispersión impurezas ionizadas
𝜏 𝑛𝑖 =dispersión impurezas neutrales
𝜏 𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 =dispersión vibraciones de red
Similarmente ocurre para huecos.
Ya que a bajos campos eléctricos 𝜏 𝑛𝑝 y 𝑚 𝑛 son independientes del campo eléctrico, la velocidad de arrastre del electrón 𝑣 𝑛 es proporcional al campo eléctrico.
Para altos campos eléctricos, cuando los electrones ganan una energía considerable del campo eléctrico, 𝜏 𝑛𝑝 y en ciertos casos 𝑚 𝑛 son funciones fuertemente ligadas a la energía del electrón, por ende, al campo eléctrico. Para este caso la ecuación de balance de energía queda
j =−𝑞𝑛 𝑉 𝑛 =𝑞𝑛 𝜇 𝑛 𝐸
1 𝜏 𝑛𝑝 ≈ 1 𝜏 𝑖𝑖 𝜏 𝑛𝑖 𝜏 𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 +…
𝑑 𝐸 𝑛 𝑑𝑡 =−𝑞 𝐹 ⋅ 𝑉 𝑛 − 𝐸 𝑛 − 𝐸 0 𝜏 𝑛𝐸

42. 𝑑 𝐸 𝑛 𝑑𝑡 =0 → 𝐸 𝑛 = 𝐸 0 +𝑞 𝜏 𝑛𝐸 𝐸 ⋅ 𝑉 𝑛
𝜏 𝑛𝑝 y 𝑚 𝑛 son funciones de 𝐸 𝑛
Aquí 𝐸 𝑛 es la energía del electrón y 𝐸 0 = 3 2 𝑘 β 𝑇 0 es la energía del electrón bajo equilibrio térmico, 𝑇 0 es la temperatura del semiconductor y 𝜏 𝑛𝐸 es el tiempo de relajación efectiva ( 10 −11 a 10 −13 s)
Se introduce el término temperatura del electrón tal que 𝐸 𝑛 = 3 2 𝑘 β 𝑇 n
Para campos eléctricos grandes 𝑇 𝑛 ≫ 𝑇 0 . En este caso los electrones son llamados electrones calientes
Los electrones calientes transfieren energía como vibraciones térmicas a la red cristalina, tales vibraciones pueden moldearse como oscilaciones armónicas con una cierta frecuencia.
El electrón es acelerado en el campo eléctrico hasta que gana suficiente energía para excitar a la red
𝑑 𝐸 𝑛 𝑑𝑡 =0 → 𝐸 𝑛 = 𝐸 0 +𝑞 𝜏 𝑛𝐸 𝐸 ⋅ 𝑉 𝑛
𝑇 𝑛 = 𝑇 𝑞 𝑘 β 𝜏 𝑛𝐸 𝐸 ⋅ 𝑉 𝑛
𝑚 𝑛 𝑉 𝑛 𝑚𝑎𝑥 2 2 = 𝐸 𝑛 − 𝐸 0 ≈ℏ 𝜔 𝑙

43. Donde 𝑣 𝑛 𝑚𝑎𝑥 es la máxima velocidad de arrastre del electrón
Donde 𝑣 𝑛 𝑚𝑎𝑥 es la máxima velocidad de arrastre del electrón. Entonces ocurre el proceso de dispersión y los electrones pierden todo el exceso de energía y toda la velocidad de arrastre
El promedio de la velocidad de arrastre 𝑣 𝑛 = 𝑣 𝑛 𝑚𝑎𝑥 es entonces independiente del campo eléctrico
Donde 𝑣 𝑠𝑛 es llamada velocidad de saturación del electrón 𝑣 𝑠𝑛 ≈ m s Así la velocidad de arrastre es casi constante para campos eléctricos altos
𝑣 𝑛 ≈ ℏ 𝜔 𝑙 2 𝑚 𝑛 = 𝑣 𝑠𝑛

44. En algunos semiconductores vemos que
𝜇 𝑛 = 𝑑 𝑉 𝑛 𝑑𝐹 <0 →𝐸↑, 𝑉 𝑛 ↓
Excepto en el Si.

45. Velocidad del electrón vs hueco en Si
La velocidad de huecos es considerablemente menor que la velocidad del electrón en casi todos los semiconductores

46. Fórmulas de velocidades de huecos y electrones
𝑣 𝑛 = 𝜇 𝑛 𝐸 𝜇 𝑛 𝐸 𝑣 𝑠 2
𝑣 𝑝 = 𝜇 𝑝 𝐸 1+ 𝜇 𝑝 𝐸 𝑣 𝑠
Fórmulas de movilidades de huecos y electrones
𝜇 𝑛 = 𝜇 𝑚𝑛 + 𝜇 𝑜𝑛 𝑁 𝑇 𝑁 𝑐𝑛 𝑣
𝜇 𝑝 = 𝜇 𝑚𝑝 + 𝜇 𝑜𝑝 𝑁 𝑇 𝑁 𝑐𝑝 𝑣
𝜇 𝑚𝑛 =88 𝑇 − 𝑐 𝑚 2 𝑉 𝑠
𝑁 𝑐𝑛 =1.26x 𝑇 𝑐 𝑚 −3
𝜇 𝑚𝑝 =54 𝑇 − 𝑐 𝑚 2 𝑉 𝑠
𝑁 𝑐𝑝 =2.35x 𝑇 𝑐 𝑚 −3
𝜇 𝑜𝑛 = 𝑇 − 𝑐 𝑚 2 𝑉 𝑠
𝑣= 𝑇 −0.146
𝜇 𝑜𝑝 =40 7 𝑇 − 𝑐 𝑚 2 𝑉 𝑠
𝑁 𝑐𝑝 = 2.4x 𝑒 𝑇 𝑐𝑚 𝑠
𝑁 𝑇 = 𝑁 𝑎 + 𝑁 𝑑

47. Concentración 𝑛 𝑙𝑒𝑓𝑡 𝑛 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 Proceso de difusión DIFUSIÓN
El proceso de difusión está relacionado con el movimiento térmico aleatorio.
Para ilustrarlo usamos un modelo unidimensional simple que supone que los portadores deben moverse aleatoriamente de izquierda a derecha, con igual probabilidad.
Consideremos las regiones adyacentes de longitud 𝜆 𝑥 , donde 𝜆 𝑥 = 𝑣 𝑡ℎ𝑛 𝜏 𝑛𝑝 es el camino libre medio en la dirección x y 𝑣 𝑡𝑥 es la componente x de la velocidad térmica de 𝑣 𝑇 . Supongamos que la región izquierda tiene más electrones que la derecha. En promedio la mitad de los electrones se moverá de izquierda a derecha y viceversa y entonces el flujo neto de difusión el cual tiende a igualar la concentración de electrones en las dos regiones
Concentración
𝑛 𝑙𝑒𝑓𝑡
𝑛 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡
Proceso de difusión

48. 𝑗 𝑑𝑖𝑓𝑓 =𝑞 𝑑𝑛 𝑑𝑥 𝜆 𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝 =𝑞 𝐷 𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑥
La densidad de corriente de difusión (fluyendo de izquierda a derecha) puede calcularse como
DondeΔ𝑛= 𝑁 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 − 𝑁 𝑙𝑒𝑓𝑡
Son los números de electrones que cruzan la frontera entre regiones en direcciones opuestas.
Si 𝜆 𝑥 es pequeña comparada con una distancia característica de la variación de la concentración de electrones 𝑛(𝑥) entonces
Obtenemos
𝑗 𝑑𝑖𝑓𝑓 =− 𝑞 𝑁 𝑙𝑒𝑓𝑡 − 𝑁 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 𝜏 𝑛𝑝 = 𝑞 𝜆 𝑥 𝑁 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 − 𝑁 𝑙𝑒𝑓𝑡 2 𝜏 𝑛𝑝 = 𝑞 𝜆 𝑥 Δ𝑛 2 𝜏 𝑛𝑝
𝑁 𝑙𝑒𝑓𝑡 = 𝜆 𝑥 𝑛 𝑙𝑒𝑓𝑡 2
𝑁 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 = 𝜆 𝑥 𝑛 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 2
Δ𝑛=2 𝑑𝑛 𝑑𝑥 𝜆 𝑥
𝑗 𝑑𝑖𝑓𝑓 =𝑞 𝑑𝑛 𝑑𝑥 𝜆 𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝 =𝑞 𝐷 𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑥

49. 𝐷 𝑛 = 𝜆 𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝 = 𝜏 𝑛𝑝 2 𝑣 𝑇𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝 = 𝑣 𝑇𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝
Donde el coeficiente de difusión es
Ya que
De donde obtenemos
La movilidad a campos bajos 𝜇, está dada por
𝐷 𝑛 = 𝜆 𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝 = 𝜏 𝑛𝑝 2 𝑣 𝑇𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝 = 𝑣 𝑇𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝
𝑣 𝑇ℎ𝑛 2 𝑚 𝑛 2 = 𝑣 𝑇ℎ𝑛𝑥 2 𝑚 𝑛 𝑣 𝑇ℎ𝑛𝑦 2 𝑚 𝑛 𝑣 𝑇ℎ𝑛𝑧 2 𝑚 𝑛 2 = 3 2 𝑘 β 𝑇
𝑣 𝑇ℎ𝑛𝑥 2 = 𝑘 β 𝑇 𝑚 𝑛
𝐷 𝑛 = 𝑣 𝑇ℎ𝑛𝑥 2 𝜏 𝑛𝑝 = 𝑘 β 𝑇 𝜏 𝑛𝑝 𝑚 𝑛
𝜇 𝑛 = 𝑞 𝜏 𝑛𝑝 𝑚 𝑛

50. 𝐷 𝑛 = 𝑘 β 𝑇 𝜇 𝑛 𝑞 (Relación de Einstein)Y
Ejemplo: Las movilidades de electrones y huecos en Si a temperatura ambiente (T=300 K) son 1000 𝑐 𝑚 2 𝑉 𝑠 y 300 𝑐 𝑚 2 𝑉 𝑠 respectivamente. Calcule los coeficientes de difusión de electrones y huecos.
Solución
T=300 K
𝑘 β 𝑇 𝑞 = eV
Bajo condiciones de equilibrio (j=0) un dopamiento no uniforme deja un campo eléctrico
𝐸 𝑏𝑖 → Campo eléctrico Built-in (se aplica en Transitores BJT
𝐷 𝑛 = 𝑘 β 𝑇 𝜇 𝑛 𝑞 (Relación de Einstein)
𝐷 𝑛 = 𝑘 β 𝑇 𝜇 𝑛 𝑞 = ∗1000≈25.8 𝑐 𝑚 2 𝑉 𝑠
𝐷 𝑝 = 𝑘 β 𝑇 𝜇 𝑝 𝑞 = ∗300≈7.75 𝑐 𝑚 2 𝑉 𝑠
𝐸 𝑏𝑖 =− 𝑘 β 𝑇 𝑞𝑛 𝜕𝑛 𝜕𝑥 → 𝜕𝑛 𝜕𝑥 =− 𝑛 𝑘 β 𝑇 𝜕 𝐸 𝑐 𝜕𝑥

51. Ejemplo: La concentración de electrones en un dispositivo de longitud 1 μm varía linealmente con la distancia desde cm −3 a 1.1x cm −3 . Grafica el campo eléctrico built-in como una función de la distancia a T= 300 K
Solución
Para un perfil lineal 𝑛= 𝑛 0 +∆𝑛 𝑥 𝐿 y el campo eléctrico built-in está dado por
El signo negativo indica que el campo va en dirección negativa de x
𝐸 𝑏𝑖 =− 𝑘 β 𝑇 𝑞𝑛 𝜕𝑛 𝜕𝑥 =− 𝑘 β 𝑇 𝑛 0 ∆𝑛 + 𝑥 𝐿 𝑞𝐿 =− 𝑥 μm kV cm
Distancia (μm)

52. Ecuaciones Básicas de Semiconductor
Modelo Difusión-Arrastre
El máximo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia corresponden a energías potenciales de electrones y huecos respectivamente
Cuando un campo eléctrico es aplicado a un semiconductor, las bandas se «inclinan» y los electrones y huecos se mueven en direcciones opuestas creando una corriente eléctrica.
Ecuaciones Básicas de Semiconductor
Modelo Difusión-Arrastre
El máximo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia corresponden a energías potenciales de electrones y huecos respectivamente
Cuando un campo eléctrico es aplicado a un semiconductor, las bandas se «inclinan» y los electrones y huecos se mueven en direcciones opuestas creando una corriente eléctrica.
En un campo eléctrico bajo, la conductividad de densidad de corriente para electrones y huecos están dados por la suma de la densidad de corriente de arrastre (αE) y la densidad de corriente de difusión (α 𝛻 n)
𝐸 𝑐 =−𝑞𝜙+𝑐𝑡𝑒
𝐸 𝑉 =−𝑞𝜙− 𝐸 𝑔 +𝑐𝑡𝑒 - +
electrón
hueco 𝐸
Energía
Distancia

53. 𝐽 𝑛 =𝑞 𝑛 𝜇 𝑛 𝐸 + 𝐷 𝑛 𝛻𝑛 𝐽 𝑝 =𝑞 𝑝 𝜇 𝑝 𝐸 − 𝐷 𝑝 𝛻𝑝 𝐽 𝑛 =𝑞𝑛 𝜇 𝑛 𝐸 = 𝜎 𝑛 𝐸
En un semiconductor 𝛻𝑛 =0, 𝛻𝑝 =0 y estas ecuaciones se reducen a
Así que la densidad de corriente total es
Donde 𝜎= 𝜎 𝑛 + 𝜎 𝑝
La corriente eléctrica I está dada por
Donde
R= resistencia
S= sección de cruce
L= Longitud
U= voltaje aplicado
𝐽 𝑛 =𝑞 𝑛 𝜇 𝑛 𝐸 + 𝐷 𝑛 𝛻𝑛
𝐽 𝑝 =𝑞 𝑝 𝜇 𝑝 𝐸 − 𝐷 𝑝 𝛻𝑝
𝐽 𝑛 =𝑞𝑛 𝜇 𝑛 𝐸 = 𝜎 𝑛 𝐸
𝐽 𝑝 =𝑞𝑝 𝜇 𝑝 𝐸 = 𝜎 𝑝 𝐸
𝑗 =𝜎 𝐸
𝐼= 𝜎𝑆 𝐿 𝐸𝐿= 𝑈 𝑅
𝑅= 𝐿 𝜎𝑆

54. 𝐽 𝑛 =𝑞 −𝑛 𝑉 𝑛 𝐸 + 𝐷 𝑛 𝐸 𝛻𝑛 Ecuaciones Difusión−Arrastre
Para campos eléctricos grandes, los portadores adquieren energía del campo eléctrico y la energía del portador es más grande que la energía térmica promedio 𝑘 β 𝑇. Como una consecuencia, la velocidad de los electrones y los huecos no son proporcionalmente grandes al campo eléctrico cuando éste es alto.
Los coeficientes de difusión dependen de 𝐸 .
Ya que las velocidades de arrastre del electrón y el hueco dependen de 𝐸 , las siguientes ecuaciones fenomenológicas son frecuentemente usadas para modelar un dispositivo semiconductor.
Donde 𝑉 𝑛 𝐸 , 𝑉 𝑝 𝐸 , 𝐷 𝑛 𝐸 , 𝐷 𝑝 𝐸 se suponen que son las mismas funciones del campo eléctrico como las obtenidas por condiciones de estado estable.
Este modelo de difusión y arrastre no describe lo que ocurre realmente . Es un modelo burdo.
El campo eléctrico en si mismo depende de la distribución de cargas en el semiconductor (llamado espacio de carga). La dependencia del campo eléctrico en la densidad del espacio de carga 𝜌 está descrita por la ecuación de Poisson
𝐽 𝑛 =𝑞 −𝑛 𝑉 𝑛 𝐸 + 𝐷 𝑛 𝐸 𝛻𝑛 Ecuaciones Difusión−Arrastre
𝐽 𝑝 =𝑞 𝑝 𝑉 𝑝 𝐸 − 𝐷 𝑝 𝐸 𝛻𝑝 Modelo Difusión−Arrastre

55. 𝜌=𝑞 𝑁 𝑑 + − 𝑁 𝑎 − −𝑛+𝑝 +𝑞 𝑝 𝑡 − 𝑛 𝑡
𝛻 ⋅ 𝐸 = 𝜌 𝜖
Donde
𝑞 𝑝 𝑡 y 𝑞 𝑛 𝑡 son las densidades de carga de cualquier otra impureza cargada que esté presente en el semiconductor. Frecuentemente esas impurezas son despreciadas así que
Para un semiconductor uniforme bajo condiciones de equilibrio térmico las relaciones son sencillas.
Pero los semiconductores rara vez son uniformes y usualmente operan bajo condiciones de no equilibrio.
Razón de Generación (G).- Este proceso describe el fenómeno que ocurre cuando un fotón absorbido promueve un electrón de la banda de valencia hacia la banda de conducción, creando en ambas un electrón un la banda de conducción y un hueco en la banda de valencia (par electrón-hueco). Esta razón es igual a la concentración de pares electrón-hueco producidos en 1 segundo .
𝜌=𝑞 𝑁 𝑑 + − 𝑁 𝑎 − −𝑛+𝑝 +𝑞 𝑝 𝑡 − 𝑛 𝑡
𝜌≈𝑞 𝑁 𝑑 + − 𝑁 𝑎 − −𝑛+𝑝
𝑝≈ 𝑛 𝑖 2 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑛
𝑛≈ 𝑁 𝑑 + − 𝑁 𝑎 −

56. Ecuaciones de continuidad
Razón de recombinación (R).- Cuando un electrón de la banda de conducción cae hacia un espacio vacante en la banda de valencia , los pares electrón-hueco son destruidos. A este proceso se le llama Recombinación R que es igual a la concentración de pares electrón-hueco recombinados en 1 segundo.
En un semiconductor uniforme
En estado estacionario
La razón de recombinación es
Donde 𝑝 𝑛 es la concentración de portadores minoritarios (huecos) en un semiconductor tipo n, 𝑝 𝑛𝑜 es la concentración de huecos en equilibrio y 𝜏 𝑝𝑙 es el tiempo de recombinación o tiempo de vida de un hueco
Para un semiconductor no uniforme
Ecuaciones de continuidad
𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑑𝑛 𝑑𝑡 =𝐺−𝑅
𝐺=𝑅
𝑅= 𝑝 𝑛 − 𝑝 𝑛𝑜 𝜏 𝑝𝑙
𝑝 𝑛 = 𝑝 𝑛𝑜 +𝐺 𝜏 𝑝𝑙
𝜕𝑛 𝜕𝑡 = 1 𝑞 𝛻 ⋅ 𝐽 𝑛 +𝐺−𝑅
𝜕𝑝 𝜕𝑡 = 1 𝑞 𝛻 ⋅ 𝐽 𝑝 +𝐺−𝑅

57. Note que en un semiconductor no uniforme, el exceso de concentración de electrones o huecos debe existir aún cuando la razón de generación sea cero, los portadores adicionales vienen de fuera (por ejemplo, los contactos) -
Estado estacionario
4 𝑒 − dejaron la b de valencia
Volumen incrementado dos 𝑒 − recombinados

58. 𝜕𝑝 𝜕𝑡 =− 1 𝑞 𝛻 ⋅ J p +G−R 0=− 1 𝑞 𝛻 ⋅ J p →0=− 1 𝑞 dj dx
Ejemplo Encuentre el perfil de campo eléctrico en un semiconductor tipo P con una movilidad de huecos μ=100 cm 2 Vs y una concentración de huecos p 0 = c m −3 con una densidad de corriente j=1 A cm 2 . La región tipo P es cercana a una región altamente dopada con p b = c m −3 con p b = c m −3 . (Una región altamente dopada es llamada una región p + ). Depreciando la corriente de difusión y suponiendo que los huecos tienen una velocidad de arrastre 𝑣 𝑝 = 𝜇 𝑝 𝐸 donde 𝐸 es el campo eléctrico aplicado. El semiconductor tiene una permisividad dieléctrica 𝜖 𝑗 = 10 −10 E m Solución La concentración de huecos debe ser una función continua de la distancia. Esto varía desde p= cm −3 en la región de frontera p + hasta c m −3 lejos de la frontera. Estas variaciones están descritas por la ecuación de continuidad donde ponemos G=0, R=0, 𝜕𝑝 𝜕𝑡 =0 y 𝛻 ⋅ j = dj dx
𝜕𝑝 𝜕𝑡 =− 1 𝑞 𝛻 ⋅ J p +G−R
0=− 1 𝑞 𝛻 ⋅ J p →0=− 1 𝑞 dj dx
pero j=qp μ p E
𝛻 p =0, 𝛻 n =0

59. 𝛻 ⋅ 𝐸 = 𝜌 𝜖 𝑦 𝜌=𝑞 𝑝− 𝑝 0 [𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙]
Así que d dx qp μ p E =0
qp μ p E =𝑐𝑡𝑒
Tenemos 2 incógnitas 𝜌 y E , pero la ecuación de Poisson dice
𝛻 ⋅ 𝐸 = 𝜌 𝜖 𝑦 𝜌=𝑞 𝑝− 𝑝 0 [𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙]
𝑑 E 𝑑𝑥 = 𝑞 𝑝− 𝑝 0 𝜖 𝑠
Sustiyendo 𝑝= 𝑗 qp μ p 𝐸
𝑑 E 𝑑𝑥 = 𝑞 𝜖 𝑠 𝑗 qp μ p 𝐸 − 𝑝 Ec. Diferencial con C.I E 0 = 𝑗 q μ p P p
Introduciendo un campo adimensional 𝑓= 𝐸 𝐸 0 y coordenadas adimensionales 𝑡= 𝑥 𝑥 0
𝐸 0 = 𝑗 q μ 0 P 0 y 𝑥 0 = 𝜖 𝑠 𝐸 0 q P 0
𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 1−𝑓 𝑓
𝑓 𝑑𝑓 1−𝑓 =𝑑𝑡

60. Integrando Para valores dados de parámetros 𝐸 0 =6242 V m , x 0 =9x 10 −9 m El perfil del campo queda
𝑓 𝑏 −𝑓− ln 1−𝑓 1− 𝑓 𝑏 =𝑡
𝑓 𝑏 = 𝐸 0 𝐸 0 10 20 40 60
Distancia (nm)
Campo eléctrico V cm

61. 𝑝 𝑛 = 𝑝 𝑛𝑜 +𝐺 𝜏 𝑝𝑙 ∆p=𝐺 𝜏 𝑝𝑙 = 10 20 x 10 −6 = 10 14 cm −3
Ejemplo La razón de generación G, en un semiconductor tipo n es uniforme e igual a cm −3 s −1 . El semiconductor es dopado con donadores superficiales con concentración 𝑁 𝑑 = cm −3 . El tiempo de vida de un hueco es de 1μs. ¿Cuál es la concentración de electrones en el estado estable? Solución Los electrones y los huecos son generados en pares, el exceso de concentración de electrones y huecos ∆n y ∆p son iguales . De la ecuación Suponiendo que todos los donadores superficiales están ionizados tenemos
𝑝 𝑛 = 𝑝 𝑛𝑜 +𝐺 𝜏 𝑝𝑙
∆p=𝐺 𝜏 𝑝𝑙 = x 10 −6 = cm −3
𝑛=𝑁 𝑑 +∆n=1.1x cm −3

62. 𝐷 𝑛 𝜕 2 𝑛 𝑛 𝜕 𝑥 2 + μ 𝑛 𝐸 𝜕 𝑛 𝑛 𝜕𝑥 + μ 𝑛 𝑛 𝑛 𝜕𝐸 𝜕𝑥 +𝐺−𝑅=0
Semiconductor Cuasi neutral
Cuando los electrones y huecos son generados en pares en un semiconductor uniforme, el semiconductor permanece neutral o cuasi neutral. Un ejemplo sería una pieza de semiconductor tipo n donde los portadores extras son generados por luz. Esta situación ocurre en un diodo semiconductor, en un transistor unión bipolar, en una celda solar y en otros dispositivos.
Aplicamos la ecuación básica de un semiconductor a un semiconductor cuasi neutral. Por simplicidad, consideremos una situación de estado estable.
Sustituyendo en la ecuación para densidad de corriente
1 𝑞 𝜕 𝑗 𝑛 𝜕𝑡 +G−R=0
1 𝑞 𝜕 𝑗 𝑝 𝜕𝑡 +G−R=0
𝐷 𝑛 𝜕 2 𝑛 𝑛 𝜕 𝑥 2 + μ 𝑛 𝐸 𝜕 𝑛 𝑛 𝜕𝑥 + μ 𝑛 𝑛 𝑛 𝜕𝐸 𝜕𝑥 +𝐺−𝑅=0
𝐷 𝑝 𝜕 2 𝑝 𝑛 𝜕 𝑥 2 − μ 𝑝 𝐸 𝜕 𝑝 𝑛 𝜕𝑥 − μ 𝑝 𝑝 𝑛 𝜕𝐸 𝜕𝑥 +𝐺−𝑅=0

63. 𝐷 𝑎 𝜕 2 𝑝 𝑛 𝜕 𝑥 2 − μ 𝑎 𝐸 𝜕 𝑝 𝑛 𝜕𝑥 +𝐺−𝑅=0
Bajo la suposición que el semiconductor es un cuasi metal tenemos
Ya que 𝜕 𝑛 𝑛 𝜕𝑥 ≈ 𝜕 𝑝 𝑛 𝜕𝑥 y 𝜕 2 𝑛 𝑛 𝜕𝑥 ≈ 𝜕 2 𝑝 𝑛 𝜕𝑥 las ecuaciones se simplifican
Donde
Cuando 𝑛 𝑛 ≫ 𝑝 𝑛 , 𝐷 𝑎 ≈ 𝐷 𝑝 , μ 𝑎 ≈ μ 𝑝
𝑛 𝑛 − 𝑛 𝑛0 ≈ 𝑝 𝑛 − 𝑝 𝑛0
𝐷 𝑎 𝜕 2 𝑝 𝑛 𝜕 𝑥 2 − μ 𝑎 𝐸 𝜕 𝑝 𝑛 𝜕𝑥 +𝐺−𝑅=0
𝐷 𝑎 = μ 𝑝 𝑝 𝑛 D 𝑛 + μ 𝑛 𝑛 𝑛 D 𝑝 μ 𝑛 𝑛 𝑛 + μ 𝑝 𝑝 𝑛 Coeficiente de Difusión ambipolar
μ 𝑎 = μ 𝑝 μ 𝑛 ( 𝑛 𝑛 − 𝑝 𝑛 ) μ 𝑝 𝑝 𝑛 + μ 𝑛 𝑛 𝑛 Movilidad ambipolar
𝐷 𝑝 𝜕 2 𝑝 𝑛 𝜕 𝑥 2 − μ 𝑝 𝐸 𝜕 𝑝 𝑛 𝜕𝑥 +𝐺−𝑅=0
Ecuación de Continuidad para portadores minoritarios
huecos en una muestra tipo n bajo condiciones de estado
estable y cuasi neutral

64. 𝑗 𝑡 = 𝐽 𝑛 + 𝐽 𝑝 +𝜖 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 Densidad total de corriente
Densidades de desplazamiento y corriente total
Las ecuaciones de continuidad dan paso a una útil ecuación para semiconductor
De ρ=𝑞 𝑁 𝑑 + − 𝑁 𝑎 − −𝑛+𝑝
Derivando la ecuación de Poisson con respecto al tiempo encontramos
Integrando sobre el espacio, obtenemos
𝑞 𝜕 𝜕𝑡 𝑝−𝑛 + 𝛻 ⋅ 𝐽 𝑛 + 𝐽 𝑝 =0
𝑞 𝜕 𝜕𝑡 𝑝−𝑛 = 𝜕ρ 𝜕𝑡
𝜕ρ 𝜕𝑡 = 𝜖 𝑠 𝜕 𝛻 ⋅ 𝐸 𝜕𝑡
𝑗 𝑡 = 𝐽 𝑛 + 𝐽 𝑝 +𝜖 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 Densidad total de corriente
𝜖 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 Densidad de desplazamiento de corriente

65. La corriente total es la integral de la densidad de corriente sobre una sección transversal de la muestra
Para una muestra con sección transversal constante S y una densidad de corriente uniforme obtenemos
𝐼= 𝑗 𝑑 𝑠 𝑠
I=jS