1. ارائه کننده : امیرحسین کوفی‌گر
مديريت و کنترل پروژه
ارائه کننده : امیرحسین کوفی‌گر
نيمسال اول 95-94 ,

2. فصل اول
کلیات ,

3. سطوح برنامه‌ریزی برنامه‌ریزی بلند مدت یا استراتژیک <==== برنامه
(Strategic or Long Term Planning)
افق زمانی 10 تا 25 سال - تصمیمات کیفی
برنامه‌ریزی میان مدت یا تاکتیکی <==== طرح
(Tactical or Intermediate Planning)
افق زمانی 5 تا 10 سال - تصمیمات کیفی
برنامه‌ریزی کوتاه مدت یا اجرایی <==== پروژه
(Operating or Short Term Planning)
افق زمانی از چند هفته تا چند سال - تصمیمات کمی ,

4. پروژه (Project)
تعریف پروژه از منظر سازمان بین‌المللی استاندارد: (ISO 10006)
پروژه فرآیندی است منحصر به فرد، متشکل از مجموعه فعالیت‌هایی هماهنگ و کنترل شده همراه با تاریخ‌های شروع و پایان که جهت دستیابی به هدفی منطبق با الزامات معینی انجام می‌گیرد و دارای محدودیت‌های زمان اجرا، هزینه و منابع است.
تعریف پروژه از منظر استاندارد مدیریت پروژه امریکا: (PMBOK)
پروژه تلاشی است موقتی که به منظور ایجاد محصول، خدمت یا نتیجه‌ای یکتا تعهد می‌شود. ,

5. Project: A temporary endeavor undertaken to create a unique product, service, or result. (PMBOK)
Program: A group of related projects, subprograms, and program activities managed in a coordinated way to obtain benefits not available from managing them individually. (PMBOK)
Portfolio: A Portfolio is a collection of projects and/or programs and other work grouped together to facilitate effective management of that work to meet strategic business objectives. The projects or programs of the Portfolio may not necessarily be interdependent or directly related. (OPM3) ,

6. Projects and Programs are part of a Project Portfolio
(Source: OPM3) ,

7. Portfolio Relationships
(Source: The Standard for Portfolio Management) ,

8. فعالیت (Activity)
فعالیت، کوچک‌ترین واحد عملیاتی و اجرایی ساختار تقسیم کارهای پروژه است و مشخصه‌های آن شامل مقدار فیزیکی، زمان، منابع (انسانی، سرمایه‌ای و مصرفی) و کیفیت می‌باشد.
تعریف فعالیت از منظر سازمان بین‌المللی استاندارد: (ISO 10006) فعالیت، کوچک‌ترین جزء تعریف شده کار در فرآیند پروژه است. ,

9. مدیریت پروژه (Project Management)
فرآیند دستیابی به اهداف و مقاصد از طریق برنامه‌ریزی، سازماندهی، هماهنگی و هدایت، رهبری، کنترل و اجرا را مدیریت پروژه گویند.
تعریف مدیریت پروژه از منظر سازمان بین‌المللی استاندارد: (ISO 10006)
طرح‌ریزی، سازماندهی، پایش، کنترل و گزارش‌دهی روی تمامی جوانب یک پروژه و ایجاد انگیزه برای تمامی افراد درگیر در آن در جهت دستیابی به اهداف پروژه را مدیریت پروژه گویند. ,

10. تعریف مدیریت پروژه از منظر استاندارد مدیریت پروژه امریکا: (PMBOK)
مدیریت پروژه کاربرد دانش، مهارت‌ها، ابزارها و تکنیک‌های مرتبط با فعالیت‌های پروژه در راستای رسیدن به اهداف پروژه می‌باشد.
فرآیندهای مدیریت پروژه از منظر استاندارد دانش مدیریت پروژه امریکا:
(PMBOK)
پنج فرآیند شامل فرآیندهای آغازین، فرآیندهای برنامه‌ریزی، فرآیندهای اجرایی، فرآیندهای کنترلی و فرآیندهای اختتامی. ,

11. از نظر اجرا نوع فعالیت احتمالی معین از نظر زمان
احتمالی معین
معین احتمالی
از نظر زمان
C PM
GE RT
PE RT ,

12. چگونه یک پروژه را شروع کنیم؟
فصل دوم
چگونه یک پروژه را شروع کنیم؟ ,

13. چرخه زیست تیم مدیریت پروژه
مرحله شکل‌گیری
مرحله درگیری
مرحله انسجام
مرحله تکامل
مرحله جدایی ,

14. در مرحله شناخت پروژه مطالعات زیر انجام می‌گیرد:
مطالعات نظری
مطالعات پیشینه اقدامی
مطالعات وضع موجود و محیط
شناخت مشخصات نیازمندی‌ها ,

15. مدیریت ریسک پروژه (Project Risk Management)
تعریف مدیریت ریسک از منظر استاندارد مدیریت پروژه امریکا: (PMBOK:2013)
مدیریت ریسک، فرآیند سیستماتیک شناسایی و تجزیه و تحلیل واکنش نسبت به ریسک پروژه، برای بیشینه نمودن نتایج وقایع مثبت و کمینه نمودن احتمال وقوع یا اثر پیامدهای ناگوار بر اهداف پروژه است.
انواع ریسک‌ها
ریسک کیفیتی
ریسک زمان‌بندی
ریسک هزینه ,

16. فرآیندهای اصلی مدیریت ریسک
فرآیند شناسایی ریسک
تحلیل ریسک
فرآیند واکنش به ریسک
فرآیند کنترل واکنش به ریسک ,

17. چگونه یک پروژه را برنامه‌ریزی کنیم؟
فصل سوم
چگونه یک پروژه را برنامه‌ریزی کنیم؟ ,

18. ساختار (نمودار) سازمانی (Organization Chart)
ساختار سازمانی وظیفه‌ای
ساختار سازمانی پروژه‌ای
ساختار سازمانی ماتریسی
ساختار اجزای کار (WBS) یا ساختار اجزای پروژه (PBS)
(Work Breakdown Structure)
(Project Breakdown Structure)
تقسیم پروژه به اقلام تحویل شدنی را ساختار اجزای کار یا ساختار اجزای پروژه گویند. ,

19. شیوه‌های تهیه ساختار اجزای کار (WBS)
تهیه ساختار اجزای کار بر اساس رویکرد مرحله محور
(Phase Orientation Approach)
تهیه ساختار اجزای کار بر اساس رویکرد کارکرد محور
(Function Orientation Approach)
تهیه ساختار اجزای کار بر اساس رویکرد محصول (تولید) محور
(Production Orientation Approach)
تهیه ساختار اجزای کار بر اساس رویکرد سازمان محور
(Organization Orientation Approach) ,

20. شبکه (Network) فعاليت (Activity)
شبکه، نمايش (مدل) گرافيک يک پروژه است که فعاليت‌هاي گوناگون پروژه و ارتباط بين آن‌ها را نشان مي‌دهد.
فعاليت (Activity)
آن قسمت يا جزئي از پروژه است که مقداري از منابع براي انجامش به کار گرفته شده، داراي يک نقطه شروع و يک نقطه پايان قابل تعريف باشد. نقطه شروع و پايان فعاليت نمي‌توانند يکسان باشند؛ به عبارت ديگر، مدت زمان لازم براي انجام فعاليت نمي‌تواند صفر باشد.
در شبکه برداري، هر فعاليت با يک بردار نشان داده مي‌شود. ,

21. فعاليت مجازي (Dummy Activity)
فعاليت مجازي (موهوم) وجود خارجي ندارد و يک فعاليت واقعي نيست. چنين فعاليتي، هيچ‌گونه منبع، مدت زمان و هزينه‌اي مصرف نمي‌کند و هدف از به کار بردن آن، نمايش دادن تقدم‌ها و تأخرهاست. گاهي اوقات، مشکلاتي در رسم شبکه در رابطه با ايجاد ارتباط بين فعاليت‌ها پديد مي‌آيد که براي رفع اين مشکلات از فعاليت مجازي استفاده مي‌شود. ,

22. فعاليت پيشين يا پيش‌نياز (Predecessor Activity)
فعاليتي مانند A را در نظر بگيريد. به فعاليت‌هاي قبلي يا پيشين فعاليت A که بلافاصله و بي‌درنگ پس از اجراي آن‌ها مي‌توانيم فعاليت A را اجرا کنيم، فعاليت پيش‌نياز گويند.
فعاليت پسين يا پس‌نياز (Successor Activity)
فعاليتي مانند A را در نظر بگيريد. به فعاليت‌هاي بعدي يا پسين فعاليت A که بلافاصله و بي‌درنگ پس از اجراي فعاليت A قابل اجرا هستند، فعاليت پس‌نياز گويند. ,

23. گره، واقعه يا رويداد (Node or Event)
گره، بدون صرف زمان و منابع وقوع مي‌يابد و نشان‌دهنده ابتدا يا انتهاي فعاليت است. به عبارت ديگر، نقطه شروع هر فعاليت بايد يک گره يا واقعه، و نقطه پايان آن نيز گره يا واقعه ديگري باشد. در شبکه برداري، هر دايره نمايانگر يک واقعه يا گره است. A 1 2 ,

24. گره شروع پروژه گره پايان پروژه
گره شروع پروژه واقعه‌اي است که برداري به آن وارد نشده، اما يک يا چند بردار از آن خارج شده است. به دليل اين که فعاليتي پيش از اين گره وجود نداشته و همه فعاليت‌ها پس از اين گره قرار دارند، به آن گره شروع پروژه گفته مي‌شود.
گره پايان پروژه
گره‌اي است که يک يا چند بردار به آن وارد، اما برداري از آن خارج نشده باشد. به دليل اين که فعاليتي پس از اين گره وجود نداشته و کليه فعاليت‌ها قبل از اين گره قرار دارند، به آن گره پايان پروژه گفته مي‌شود. ,

25. گره جوششي يا انفجاري (Burst Node)
گره يا واقعه‌اي است که حداکثر يک بردار به آن وارد شده اما بيش از يک بردار از آن خارج شده باشد. گره پايان پروژه نمي‌تواند جوششي باشد. 2 5 1 3 3 4 6 4 ,

26. گره پوششي يا فراگير (Merge Node)
به گره يا واقعه‌اي گفته مي‌شود که بيش از يک بردار به آن وارد و حداکثر يک بردار از آن خارج شده باشد. گره شروع پروژه نمي‌تواند پوششي باشد. 7 5 7 8 10 11 6 9 ,

27. گره مرکب (Complex Node)
گره يا واقعه‌اي است که بيش از يک بردار به آن وارد و بيش از يک بردار از آن خارج شده باشد. هيچ‌يک از گره‌هاي شروع و پايان پروژه نمي‌توانند مرکب باشند. 4 7 6 8 5 9 ,

28. قوانين رسم شبکه برداري
الف) قوانین منطقی
1- پيش از رسم بردار مربوط به هر فعاليت، بايد بردار مربوط به کليه فعاليت‌هاي ماقبل که پيش‌نياز فعاليت مورد نظر هستند، رسم شده باشد.
2- هر بردار فقط و فقط نشان‌دهنده یک فعالیت است. همچنین وضعيت تقدم يا تأخر انجام فعاليت با آن بردار معرفي مي‌شود. به عبارت ديگر، شکل ظاهري بردار از جمله طول، پهنا، زاويه و ... آن، ارزش و معني خاصي ندارند. ,

29. 1- شبکه بايد فقط داراي يک گره شروع و يک گره پايان باشد.
ب) قوانین رایانه‌ای
1- شبکه بايد فقط داراي يک گره شروع و يک گره پايان باشد. ,

30. http://koofigar.mihanblog.com , koofigar_iau@yahoo.com

31. 2- مابین هر دو گره تنها با يک فعالیت (بردار) نشان داده می‌شود
2- مابین هر دو گره تنها با يک فعالیت (بردار) نشان داده می‌شود. به بيان ديگر اگر دو يا چند بردار از يک گره خارج شده باشند، ختم آن‌ها نمي‌تواند يک گره واحد باشد. در چنين مواقعي، از فعاليت مجازي استفاده می‌شود. A C 4 5 6 B A C A C 4 6 7 4 6 7 B B 5 5 ,

32. 3- هيچ دو يا چند گره‌اي نبايد شماره يکسان داشته باشند.
بهتر است گره‌ها بايد به صورتي شماره‌گذاري شوند که همواره شماره گره پايه هر فعاليت از شماره گره پايان آن کوچکتر باشد.
در صورت امکان از تقاطع بردارها احتراز شود. ,

33. اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه
ايجاد حلقه (Loop) در شبکه
شکل زير را در نظر بگيريد.
اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه 3 B E A 1 2 5 D C F 4
براي شروع فعاليت C بايد حتماً فعاليت B پايان پذيرد. براي شروع فعاليت B لازم است D خاتمه يافته باشد و براي آغاز اجراي D بايد فعاليت C به اتمام رسيده باشد. يعني، شروع فعاليت C به ختم خودش وابسته است. ,

34. اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه
وابستگي‌هاي غير ضروري
شکل زير را در نظر بگيريد.
اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه 1 4 A C 3 D B 2 5
فرض كنيد عمل C فقط وابسته به A باشد ولي عمل D به هر دو عمل A و B وابستگي داشته باشد.
يك وابستگي ناخواسته بين B و C ايجاد شده است. ,

35. اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه
وابستگي‌هاي غير ضروري
اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه A C 1 3 4 B D 2 5 6 ,

36. اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه با حداقل فعاليت‌هاي مجازي
وابستگي‌هاي غير ضروري
شکل زير را رسم نماييد.
اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه
پيش‌نياز
فعاليت
رديف
--- A 1 B 2 C 3 D 4
A , B E 5
B , C F 6
با حداقل فعاليت‌هاي مجازي ,

37. اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه
فعاليت‌هاي موهومي اضافي
شکل زير را در نظر بگيريد.
اشتباهات عمومي در ترسيم شبكه 2 4 1 5 7 3 6 ,

38. مثال : فعالیت A اولین فعالیت است.
فعالیت‌های B و C می‌توانند به طور موازی و بلافاصله پس از فعالیت A انجام شوند.
فعالیت‌های D و E و F بعد از B انجام می‌گردند.
فعالیت G بعد از E قابل انجام است.
فعالیت H بعد از D اجرا می‌شود ولی نمی‌تواند شروع شود مگر این که E کامل شود.
فعالیت‌های I و J بعد از فعالیت G اجرا می‌شوند. ,

39. ادامه
فعالیت‌های F و J قبل از فعالیت K به اتمام می‌رسند و اجرای فعالیت K منوط به اتمام فعالیت‌های F و J می‌باشد.
انجام فعالیت L منوط به اتمام فعالیت‌های I و H می‌باشد.
انجام فعالیت M منوط به اتمام فعالیت‌های L و K می‌باشد.
فعالیت N (آخرین فعالیت پروژه) پس از اتمام فعالیت‌های M و C قابل اجرا است. ,

40. وابستگي‌ها 1- وابستگي طبيعي
نوعي وابستگي بين دو فعاليت است که بر اساس آن، فعاليت دوم به لحاظ طبيعي، فني و تکنيکي، به فعاليت اول وابسته است.
عمليات قالب‌بندي و بتن‌ريزي
2- وابستگي غيرطبيعي (امکاناتي)
نوعي از وابستگي است که يک فعاليت به لحاظ محدوديت منابع نمي‌تواند با فعاليت يا فعاليت‌هاي ديگر به طور همزمان انجام شود.
تعداد در دسترس منبع X : 5 واحد ، فعاليت A : 3 واحد
فعاليت B : 4 واحد ,

41. وابستگي‌هاي ربطي
اين نوع وابستگي که نوعي وابستگي طبيعي است، وقتي مطرح مي‌شود که شروع يا پايان فعاليتي با شروع يا پايان فعاليت ديگر رابطه زماني داشته باشد.
چهار حالت ممکن بين هر دو فعاليت از پروژه وجود دارد:
1- شروع به شروع (SS) (Start to Start): شروع فعاليت دوم با شروع فعاليت اول رابطه زماني دارد.
2- شروع به پايان (SF) (Start to Finish): پايان فعاليت دوم با شروع فعاليت اول رابطه زماني دارد. ,

42. پيش‌نياز مدت (روز) فعاليت رديف
3- پايان به شروع (FS) (Finish to Start): شروع فعاليت دوم با پايان فعاليت اول رابطه زماني دارد.
4- پايان به پايان (FF) (Finish to Finish): پايان فعاليت دوم با پايان فعاليت اول رابطه زماني دارد.
پيش‌نياز
مدت (روز)
فعاليت
رديف
--- 25 A 1
ASS+3 30 B 2
BFF+1 6 C 3 ,

43. در وابستگي ربطي، به فاصله زماني که شروع يا پايان يک فعاليت با شروع يا پايان فعاليت ديگر دارد، تأخير (Lag) مي‌گويند.
مثال 1 : SS+%25
مثال 2 : FS-%10
فعاليت
شروع
خاتمه A 25 B 3 33 C 28 34 ,

44. روش مسير بحراني (CPM) تعاريف
برآورد مدت زمان اجراي فعاليت (i-j) : Dij (Duration)
زودترين زمان وقوع گره i : Ei (Earliest event time)
ديرترين زمان وقوع گره i : Li (Latest event time)
زودترين زمان شروع فعاليت (i-j) : ESij (Earliest Start time)
زودترين زمان پايان فعاليت (i-j) : EFij (Earliest Finish time)
ديرترين زمان شروع فعاليت (i-j) : LSij (Latest Start time)
ديرترين زمان پايان فعاليت (i-j) : LFij (Latest Finish time) ,

45. فرجه يا شناوري کل فعاليت (i-j) : TFij (Total Float)
فرجه يا شناوري آزاد فعاليت (i-j) : FFij (Free Float)
فرجه يا شناوري اطمينان فعاليت (i-j) : SFij (Safety Float)
فرجه يا شناوري مستقل فعاليت (i-j) : IFij (Independent Float)
محاسبات روش مسير بحراني، از دو نوع حرکت محاسباتي ”رفت“ و ”برگشت“ تشکيل شده است. ,

46. حرکت رفت يا پيشرو (Forward)
محاسباتي است که از گره شروع پروژه آغاز مي‌شود و گره به گره و فعاليت به فعاليت به سمت گره پايان پروژه پيش مي‌رود و در آن گره خاتمه مي‌پذيرد. در محاسبات حرکت رفت، بر اساس زمان تعيين شده براي وقوع گره شروع، زودترين زمان‌هاي ممکن براي وقوع هر يک از گره‌هاي شبکه و زودترين زمان‌هاي شروع و پايان هر يک از فعاليت‌ها تعيين مي‌شود. ,

47. حرکت برگشت يا پسرو (Backward)
محاسباتي است که از گره پايان آغاز مي‌شود و به سمت گره شروع پروژه پيش مي‌رود و در آن گره اتمام مي‌يابد. در اين حرکت محاسباتي، بر اساس زمان مشخص شده براي وقوع گره پاياني، ديرترين زمان‌هاي ممکن براي وقوع هر گره و ديرترين زمان‌هاي شروع و پايان هر يک از فعاليت‌هاي شبکه تعيين مي‌گردد. حرکت برگشت اغلب پس از حرکت رفت آغاز مي‌شود. ,

48. محاسبات مسير پيشرو
محاسبات حرکت رفت، به منظور تعيين زودترين زمان‌هاي شروع و پايان فعاليت‌ها و زودترين زمان وقوع گره‌هاي يک شبکه انجام مي‌شود.
قانون اول: زودترين زمان وقوع گره شروع پروژه را برابر با صفر بگيريد (يعني E1=0، مشروط بر آن که شماره 1 به گره شروع تخصيص يافته باشد).
قانون دوم: زودترين زمان شروع فعاليت‌هاي خروجي از گره شروع پروژه را مساوي با زودترين زمان وقوع اين گره قرار دهيد.
قانون سوم: زودترين زمان ختم فعاليت (i-j) برابر است با زودترين زمان شروع فعاليت به علاوه زمان انجام فعاليت. EFij=ESij+Dij ,

49. قانون چهارم: زودترين زمان وقوع گره i يا شروع فعاليت (i-j) (به طوري که گره j بعد از گره i باشد) برابر با حداکثر مقدار مربوط به زودترين زمان پايان کليه فعاليت‌هاي پيش‌نياز آن است؛ يعني، i j
Ei , ESij = Max (EFki k) A ,

50. مثال : Ei Ej ESij Dij EFij i j 4 1 2 3 6 7 5 A (2) H (2) D (4) B (3)
G (2)
C (6) 5 ,

51. مثال : 3 4 5 1 2 6 C (4) D (5) A (2) B (3) F (6) E (7),

52. محاسبات مسير پسرو
محاسبات حرکت برگشت، به منظور تعيين ديرترين زمان وقوع هر گره و ديرترين زمان‌هاي شروع و پايان هر يک از فعاليت‌هاي شبکه انجام مي‌شود. قانون اول: ديرترين زمان مجاز براي وقوع گره پاياني را برابر با مقدار مورد نظر (از پيش تعيين شده) يا برابر با زودترين زمان وقوع آن گره در نظر بگيريد. Ts
Ln= En ,

53. قانون دوم: ديرترين زمان وقوع گره j يا ختم فعاليت (i-j) را برابر با کوچکترين مقدار ديرترين زمان‌هاي شروع فعاليت‌هاي بعد از فعاليت (i-j) بگيريد؛ يعني:
طبق اين قانون، ديرترين زمان پايان کليه فعاليت‌هايي که به يک گره وارد مي‌شوند، برابر با ديرترين زمان وقوع آن گره است. i j k
Lj , LFij = Min (LSjk k) A ,

54. قانون سوم: ديرترين زمان شروع فعاليت (i-j) برابر با ديرترين زمان ختم فعاليت منهاي مدت زمان اجراي آن است؛ يعني:
LSij=LFij-Dij i j
LSij
Dij
LFij Li Lj ,

55. مثال : L6=E6=19 3 4 5 1 2 6 C (4) D (5) A (2) B (3) F (6) E (7),

56. TFij=LSij-ESij=LFij-EFij
شناوري (فرجه) کل (TF) (Total Float)
شناوري يا فرجه کل فعاليت (i-j) حداکثر زماني است که اجراي آن فعاليت مي‌تواند به تعويق بيفتد، بدون آن که زمان ختم پروژه دچار تأخير گردد و به صورت زير محاسبه مي‌شود:
TFij=LSij-ESij=LFij-EFij
TFij=Lj-Ei-Dij
فرجه يا شناوري کل گره i مدت زماني است که وقوع آن گره مي‌تواند دچار تأخير گردد، مشروط بر آن که زمان ختم پروژه تغيير نکند.
TFi=Li-Ei ,

57. FFij=ESjk-EFij=Ej-Ei-Dij=Ej-EFij
شناوري (فرجه) آزاد (FF) (Free Float)
حداکثر زماني است که مي‌توان يک فعاليت را به تأخير انداخت، بدون اين که در زمان‌بندي فعاليت مابعد تغييري ايجاد شود. در اين حالت فعاليت بعدي فعاليت (i-j) در زودترين زمان ممکن خود شروع مي‌شوند.
FFij=ESjk-EFij=Ej-Ei-Dij=Ej-EFij
شناوري (فرجه) مستقل (IF) (Independent Float)
فرجه يا شناوري مستقل، حداکثر زماني است که مي‌توان يک فعاليت را به تأخير انداخت، بدون اين که در زمان‌بندي فعاليت‌هاي مابعد تأثيري بگذارد، اگر فعاليت‌هاي ماقبل آن در ديرترين زمان‌هاي ممکن اجرا شده باشند. ,

58. IFij=Max {0,Ej-(Li+Dij)}
شناوري (فرجه) اطمينان (SF) (Safety Float)
حداکثر زماني است که مي‌توان يک فعاليت را به تأخير انداخت، بدون اين که کل پروژه دچار تغيير شود، اگر فعاليت‌هاي ماقبل در ديرترين زمان تکميل شوند.
SFij=Lj-(Li+Dij) ,

59. به طور کلي بين شناوري‌ها روابط زير برقرار است:
1) FFij ≤ TFij
2) IFij ≤ FFij ≤ TFij
3) IFij ≤ SFij ≤ TFij ,

60. Dij IFij+Dij Li FFij+Dij Ej SFij+Dij Lj Ei TFij+Dij i j,

61. ثبت و نمايش نتايج محاسبات روش مسير بحراني
Code
Dij
ESij
EFij
LSij
LFij
TFij
FFij
IFij
SFij ,

62. واقعه كليدي (Milestone)
به شروع يا پايان فعاليت‌هاي يك پروژه، واقعه يا گره گفته مي‌شود. در پروژه‌هاي واقعي و به خصوص پروژه‌هاي بزرگ، وقايع بسيار زيادي وجود دارد. برخي از اين وقايع، از اهميت و حساسيت فوق‌العاده‌اي برخوردار هستند. به هر يك از اين وقايع، واقعه كليدي گفته مي‌شود. ,

63. طول مسير (Path Duration)
به گروهي از بردارهايي كه اولين بردار آن‌ها از گره شروع پروژه خارج و آخرين بردار آنها به گره پايان پروژه وارد شود، مسير گفته مي‌شود.
طول مسير (Path Duration)
مجموع مدت زمان‌هاي اجراي فعاليت‌هاي تشكيل دهنده يك مسير را طول آن مسير (PD) مي‌گويند.
شناوري مسير (Path Float)
شناوري يك مسير از شبكه (PF)، برابر با كل مدت زمان لازم براي اجراي پروژه منهاي طول آن مسير است.
If E1=0 ==> PFi=Ln-PDi ,

64. مثال : رديف مسير طول مسير (روز) شناوري مسير (روز) 2 1 4 5 3 1 1-2-5 107 2 3 1 3 1 4 5 4 2 5 3
رديف
مسير
طول مسير (روز)
شناوري مسير (روز) 1
1-2-5 10 2 7 3 9 4
1-3-5 ,

65. فعاليت بحراني (‍Critical Activity)
فعاليت‌هايي كه تفاوت زودترين و ديرترين زمان‌هاي شروع (زودترين و ديرترين زمان‌هاي ختم) آن‌ها برابر صفر باشد. به عبارت ديگر، فعاليت‌هايي بحراني هستند كه داراي شناوري كل صفر باشند.
گره‌هايي كه اين خاصيت را داشته باشند، گره بحراني (Critical Node) نام دارد.
مسير بحراني (Critical Path)
مسيري كه خاصيت فوق را داشته باشد، مسير بحراني ناميده مي‌شود. مي‌توان گفت مسيري كه شامل فعاليت‌ها و گره‌هاي بحراني باشد، مسير بحراني است. ,

66. هر شبكه داراي حداقل يك مسير بحراني است.
فعاليت بحراني، گره بحراني و مسير بحراني، فعاليت، گره و مسيري هستند كه داراي حداقل شناوري نسبت به ساير فعاليت‌ها، گره‌ها و مسيرهاي شبكه باشند.
مسير بحراني در يك شبكه به مسيري گفته مي‌شود كه به لحاظ زماني نسبت به ساير مسيرهاي آن شبكه از اهميت بيشتري برخوردار باشد.
هر شبكه داراي حداقل يك مسير بحراني است.
مسيري بحراني است كه حداكثر طول را در شبكه داشته باشد.
به مسيري بحراني گفته مي‌شود كه داراي حداقل شناوري باشد.
مسيري از شبكه بحراني است كه كليه فعاليت‌هاي تشكيل دهنده آن بحراني باشد. ,

67. شبكه گرهي
در شبكه گرهي هر گره نشان‌دهنده يك فعاليت است. بردارها نيز صرفاً روابط بين فعاليت‌ها (وابستگي‌ها) را نشان مي‌دهند. يك گره در اين نوع شبكه، شامل شروع، انجام و پايان فعاليت متناظر با آن است. در شبكه‌هاي گرهي از فعاليت‌هاي مجازي استفاده نمي‌شود. اگر نمودار شبکه گرهي فاقد گره‌هاي شروع و پايان باشد، شبکه با ايجاد دو گره شروع و پايان تکميل مي‌گردد. ,

68. رديف كد فعاليت پيش‌نياز1 A
--- 2 B 3 C 4 D
B , C 5 E 6 F 7 G
E , F 8 H ,

69. نام و كد فعاليت B D E A C F G H B D E A C F G H EF ES LF D LS,

70. نام و كد فعاليت EF LF D ,

71. نام و كد فعاليت نام و كد فعاليت نام و كد فعاليتEF D
نام و كد فعاليت ES LF FF TF LS EF
نام و كد فعاليت ES LF FF TF D LS EF
نام و كد فعاليت ES LF TF D LS ,

72. محاسبات مسير پيشرو
قانون اول: زودترين زمان وقوع گره شروع پروژه را برابر با صفر بگيريد.
ES1=0
قانون دوم: زودترين زمان ختم يك فعاليت برابر است با زودترين زمان شروع فعاليت به علاوه زمان انجام فعاليت.
EFi=ESi+Di
قانون سوم: زودترين زمان شروع یک فعاليت برابر با حداکثر مقدار مربوط به زودترين زمان پايان کليه فعاليت‌هاي پيش‌نياز آن است.
ESj = Max (EFi) i ,

73. محاسبات مسير پسرو
قانون اول: ديرترين زمان اتمام فعاليت‌هاي منتهي به گره پاياني شبكه را برابر با ديرترين زمان اتمام پروژه يا برابر با مقدار مورد نظر (از پيش تعيين شده) در نظر بگيريد.
قانون دوم: ديرترين زمان شروع يك فعاليت برابر با ديرترين زمان ختم فعاليت منهاي مدت زمان اجراي آن است؛ يعني:
LSj=LFj-Dj
قانون سوم: ديرترين زمان ختم يك فعاليت را برابر با کوچکترين مقدار ديرترين زمان‌هاي شروع فعاليت‌هاي بعد از آن فعاليت بگيريد؛ يعني:
LFi = Min (LSj) j ,

74. شناوري‌ها در شبکه‌هاي گرهي
شناوري کل : TFj=LSj-ESj=LFj-EFj
شناوري آزاد : FFj=ESk-EFj
شناوري مستقل : IFj=Max {0,ESK-(LFj+Dj)}
شناوري اطمينان : SFj=LFj-Dj-LFi i j k ,

75. رديف كد فعاليت زمان اجرا پيش‌نياز1 A 3
--- 2 B 11 C 20 4 D 10 5 E 12 6 F 7 G 8 H
C , E , F 9 I J
E , I K
G , J ,

76. شبکه‌هاي همپوش (PN)
شبكه‌هاي همپوش يا شبكه‌هاي ”تقدم و تأخري“ در واقع همان شبكه‌هاي گرهي با نمايش نوع وابستگي بين فعاليت‌ها است.
انواع وابستگي‌ها در شبكه‌هاي همپوش:
SSij: نوعي وابستگي و يك محدوديت زماني شروع به شروع است و برابر با حداقل زماني است كه بايد از شروع فعاليت پيش‌نياز (i) گذشته باشد تا بتوان فعاليت مابعد (j) را شروع كرد.
فعاليت i
فعاليت j SS ,

77. فعاليت i فعاليت j فعاليت i فعاليت j
FSij: نوعي وابستگي زماني پايان به شروع است و برابر با حداقل زماني است كه بايد از خاتمه فعاليت پيش‌نياز (i) گذشته باشد تا بتوان فعاليت مابعد (j) را شروع كرد.
FFij: يك محدوديت زماني پايان به پايان است به طوري كه فعاليت پيش‌نياز (i) حداقل بايد n واحد زماني زودتر از اتمام فعاليت مابعد (j) خاتمه يابد. FS
فعاليت i
فعاليت j FF
فعاليت i
فعاليت j ,

78. SFij: يك محدوديت زماني شروع به پايان است به طوري كه فعاليت مابعد (j) حداقل واحد زماني بعد از شروع فعاليت پيش‌نياز (i) پايان مي‌يابد.
در اين نوع شبكه، همانند شبكه‌هاي گرهي، گره‌ها نشانگر فعاليت و بردارها تقدم و تأخر و نوع وابستگي را نشان مي‌دهند.
فعاليت i
فعاليت j SF ,

79. شبکه تقدمي نوع اول
در اين نوع از شبكه تقدمي، ابتدا شبكه گرهي رسم مي‌گردد و سپس نوع وابستگي ربطي بين هر دو فعاليت و ميزان تأخير مربوط بر روي برداري كه رابطه آن دو فعاليت را نشان مي‌دهد، نوشته مي‌شود. ,

80. رديف كد فعاليت پيش‌نياز1 A
--- 2 B 3 C
ASS+1 4 D
BFS+0.5 , CSS+2 5 E
DFS+1 6 F
B , CFS-0.5 7 G
EFF+1 , FFF+1 8 H ,

81. FS+0.5 FS+1 B D E FF+1 SS+2 SS+1 FS-0.5 FF+1 A C F G H,

82. شبکه تقدمي نوع دوم
در شبكه تقدمي نوع دوم، گره‌ها به صورت مربع يا مستطيل رسم مي‌شوند و داراي دو ناحيه شروع و پايان هستند. براي مثال چنانچه شروع فعاليتي با فعاليت بعدي ارتباط زماني داشته باشد، بردار خروجي از گره متناظر با اين فعاليت، از ناحيه شروع خارج مي‌گردد و به همين ترتيب بر اساس نوع وابستگي بردارها از ناحيه شروع يا پايان خارج و يا به نواحي مذكور وارد مي‌شوند. i
ناحيه شروع فعاليت i
ناحيه پايان فعاليت i ,

83. ناحيه شروع فعاليت i ناحيه پايان فعاليت i i i i j j,

84. مثال : 1- كارهاي B و C نمي‌توانند قبل از پايان كار A آغاز شوند.
2- كارهاي B و C مي‌توانند همزمان آغاز شوند ولي لازم است كار B حداقل دو روز قبل از تكميل C تكميل شود.
3- كار D مي‌تواند حداقل 7 روز بعد از شروع كار C و حداقل 4 روز بعد از آغاز B آغاز شود ولي اين كار نمي‌تواند قبل از تكميل كار C تكميل شود. همين‌طور كار D نمي‌تواند زودتر از يك روز بعد از تكميل B تكميل شود.
4- حداقل دو روز فاصله زماني بين تكميل كار D و آغاز كار E الزامي است. ,

85. SS=4 B FS=0 FF=1 A D E FS=2 FF=2 FS=0 C FF=0 SS=7,

86. SBSD=4 B D FBFD=1 FDFE=2 FASB=0 A FBFC=2 E SCSD=7 FCFD=0 FASC=0 C,

87. محاسبات مسير پيشرو
حالت الف:‌ چنانچه شروع فعاليت مورد نظر (j) با شروع يا پايان فعاليت يا فعاليت‌هاي قبل از خود (i) رابطه زماني داشته باشد، زودترين زمان شروع و پايان آن فعاليت از رابطه زير به دست مي‌آيد:
ESi+SSij
ESj = Max
EFi+FSij ESj=ESi+SiSj
ESj=EFi+FiSj
EFj= ESj+Dij
Dij i j ,

88. مثال :
با توجه به شکل زير، زودترين زمان شروع و پايان فعاليت D را محاسبه کنيد. A 11 3 B
FS+1 D 10 6 5
SS+2 C
زودترين زمان شروع 14 4
مدت زمان اجرا ,

89. EFA+FSAD=(11+3)+0=14
ESD = Max EFB+FSBD=(10+6)+1= =17
ESC+SSCD=14+2=16
EFD= ESD+DD=17+5=22
حالت ب:‌ هرگاه پايان فعاليت مورد نظر (j) با شروع يا پايان فعاليت‌هاي قبل (i) رابطه زماني داشته باشد، زودترين زمان شروع و پايان آن به صورت زير است:
ESi+SFij EFj=ESi+SiFj
EFj = Max EFj=EFi+FiFj
EFi+FFij ESj= EFj-Dij ,

90. مثال :
با توجه به شکل زير، زودترين زمان شروع و پايان فعاليت C را محاسبه کنيد. A 23 9
SF+4 C 6
FF-1 B
زودترين زمان پايان 21 12
مدت زمان اجرا ,

91. ESA+SFAC=(23-9)+4=18
EFC = Max =20
EFB+FFBC=21-1=20
ESC= EFC-DC=20-6=14
حالت ج:‌ در اين حالت، شروع فعاليت مورد نظر (j) با شروع يا پايان بعضي از فعاليت‌هاي قبل (i) و پايان آن با شروع يا پايان فعاليت‌هاي قبل رابطه زماني دارد. در چنين حالتي زودترين زمان‌هاي شروع و پايان فعاليت به اين صورت به دست مي‌آيند: ,

92. ESj = Max EFi+FSij EFj=ESj+Dj ESi+SFij-Dj EFi+FFij-Dj
ESi+SSij
ESj = Max EFi+FSij EFj=ESj+Dj
ESi+SFij-Dj
EFi+FFij-Dj
ESi+SSij+Dj
EFj = Max EFi+FSij+Dj ESj=EFj-Dj
ESi+SFij
EFi+FFij ,

93. مثال :
با توجه به شکل زير، زودترين زمان شروع و پايان فعاليت D را محاسبه کنيد. A 5 ES 5
FS-1 B 3
FF+2 D 3 D 3 EF
SS+2 C 6 6 ,

94. ESD = Max EFB+FFBD-DD =3+2-3=2 =4 ESC+SSCD=0+2=2
EFA+FSAD=5-1=4
ESD = Max EFB+FFBD-DD =3+2-3=2 =4
ESC+SSCD=0+2=2
EFD= ESD+DD=4+3=7
EFA+FSAD+DD=5-1+3=7
EFD = Max EFB+FFBD =3+2= =7
ESC+SSCD+DD=0+2+3=5
ESD= EFD-DD=7-3=4 ,

95. مثال :
محاسبات مسير پيشرو را براي پروژه‌اي با شبکه زير انجام دهيد و مسير يا مسيرهاي بحراني را تعيين کنيد.
FS-2 A 5 C 4
FF+2 F 4
FF+3 D 6 G 5 I 4
SS+2 B 7
FS+1 E 1
FS+7 H 2 J 2 ,

96. محاسبات مسير پسرو
حالت الف:‌ در اين حالت، پايان فعاليت مورد نظر (i) با شروع يا پايان فعاليت يا فعاليت‌هاي بعد از خود (j) رابطه زماني دارد. ديرترين زمان شروع و پايان فعاليت (i) از رابطه زير به دست مي‌آيد:
LSj-FSij
LFi = Min
LFj-FFij LFi=LSj-FiSj
LFi=LFj-FiFj
LSi= LFi-Dij
Dij i j ,

97. مثال :
با توجه به شکل زير، ديرترين زمان شروع و پايان فعاليت A را محاسبه کنيد. B 13 6
FF+3 A 4
FS-1 C
ديرترين زمان پايان 17 4
مدت زمان اجرا ,

98. LFB-FFAB=13-3=10
LFA = Min =10
LSC-FSAC=(17-4)+1=14
LSA= LFA-DA=10-4=6
حالت ب:‌ در اين حالت، شروع فعاليت (i) با شروع يا پايان فعاليت‌هاي مابعد خود (j) رابطه زماني دارد. ديرترين زمان شروع و پايان آن به صورت زير است:
LSj-SSij LSi=LSj-SiSj
LSi = Min LSi=LFj-SiFj
LFj-SFij LFi= LSi+Dij ,

99. مثال :
با توجه به شکل زير، ديرترين زمان شروع و پايان فعاليت A را محاسبه کنيد. B
SS+2 9 4
SF+4 A C 2 11 5
SS+1 D
ديرترين زمان پايان 12 7
مدت زمان اجرا ,

100. LSB-SSAB=(9-4)-2=3
LSA = Min LFC-SFAC=11-4= =3
LSD-SSAD=(12-7)-1=4
LFA= LSA+DA=3+2=5
حالت ج:‌ چنانچه شروع و پايان فعاليت مورد نظر (i) با شروع و پايان فعاليت‌هاي بعد از خود رابطه زماني داشته باشد، ديرترين زمان شروع و پايان آن با يکي از اين دو صورت به دست مي‌آيد: ,

101. LFi = Min LFj-FFij LSi=LFi-Di LSj-SSij+Di LFj-SFij+Di
LSj-FSij
LFi = Min LFj-FFij LSi=LFi-Di
LSj-SSij+Di
LFj-SFij+Di
LSj-FSij-Di
LSi = Min LFj-FFij-Di LFi=LSi+Di
LSj+SSij
LFj+SFij ,

102. مثال :
با توجه به شکل زير، ديرترين زمان شروع و پايان فعاليت A را محاسبه کنيد. B
SS+1 14 3
FS-2 A C 6 21 5
FF+3 D
ديرترين زمان پايان 18 4
مدت زمان اجرا ,

103. LFA = Min LSC-FSAC =(21-5)+2=18 =15 LFD-FFAD=18-3=15
LSB-SSAB+DA=(14-3)-1+6=16
LFA = Min LSC-FSAC =(21-5)+2= =15
LFD-FFAD=18-3=15
LSA= LFA-DA=15-6=9
LSB+SSAB=(14-3)+1=12
LSA = Min LSC-FSAB -DA=(21-5)+2-6=12 =9
LFD-FSAD -DA=18-3-6=9
LFA= LSA+DA=9+6=15 ,

104. مثال :
محاسبات مسير پسرو را براي پروژه‌اي با شبکه زير انجام دهيد. (ديرترين زمان ختم پروژه را برابر 22 در نظر بگيريد)
FS-2 A 5 C 4
FF+2 F 4
FF+3 D 6 G 5 I 4
SS+2 B 7
FS+1 E 1
FS+7 H 2 J 2 ,

105. برنامه‌ريزي منابع (تخصيص منابع / تسطيح منابع)
روش‌هاي تخصيص منابع محدود :
برنامه‌ريزي چند منبع- چند پروژه (Multi Project Multi Resource)
روش ويست (Wiest)
روش رياضي ,

106. برنامه‌ريزي منابع (تخصيص منابع / تسطيح منابع)
روش‌هاي تخصيص منابع نامحدود (تسطيح) :
روش برگس (Burgess Leveling)
روش ويست (Wiest Leveling)
روش حداقل گشتاور (Minimum Moment Algorithm) ,

107. فرضیات روش M.P.M.R
پروژه مورد نظر باید به وسیله یک شبکه CPM (برداری یا گرهی) تعریف شده باشد.
مقادیر حداکثر منابع قابل دسترسی در مقاطع زمان اجرای پروژه مشخص شود.
مقدار منابع لازم برای هر فعالیت باید معین و در طول زمان اجرا در فعالیت ثابت باشد.
انقطاع امور اجرای فعالیت‌ها مجاز نمی‌باشد. ,

108. مجموعه فعاليت‌هاي واجد شرايط
EAS : Eligible Activity Set
مجموعه فعاليت‌هاي واجد شرايط
OSS : Ordered Scheduling Set
مجموعه فعاليت‌هاي مرتب شده
و آماده زمان‌بندي ,

109. مجموعه فعالیت‌های واجد شرایط (EAS)
فعالیت‌هایی هستند که برنامه‌ریزی نشده‌اند ولی به فعالیت‌های پیش‌نیاز آن‌ها تخصیص منبع صورت گرفته است.
مجموعه فعالیت‌های آماده شروع و ترتیب‌بندی (OSS)
این مجموعه، زیرمجموعه EAS بوده و دارای دو شرط زیر است:
ES≤T : زودترین زمان شروع فعالیت‌ها بایستی از دوره زمانی دستورالعمل (T) کمتر یا حداکثر مساوی آن باشد.
بر اساس دیرترین زمان‌های شروع (LS) از مقدار کوچک به بزرگ مرتب می‌شود. اگر LS چند فعالیت یکسان باشد اولویت با Duration کمتر است. ,

110. 4 1 2
مثال : 1 2 2 5 4 3 3 4 5 8 8 5 1 3 6 7
تعداد در دسترس منبع A : 8
تعداد در دسترس منبع B : 6
7-8
5-8
6-7
3-7
0-6
4-5
2-5
3-4
0-3
1-2
0-1
نام فعالیت 4 5 3 2 6
تعداد منبع مورد نیاز A
تعداد منبع مورد نیاز B ,

111. فعاليت‌هایی که برنامه‌ریزی تعداد منبع باقيمانده برای T+1
زمان جاري
(T)
مجموعه EAS
مجموعه OSS
فعاليت‌هایی که برنامه‌ریزی
می‌شوند
تعداد منبع باقيمانده برای T+1
فعاليت‌ها ES LS D A B 1
(0-1)
(0-3)
(0-6) 6 7 2 2
(0-1)
(0-6)
(3-4)
(3-7) 1 3 6 7 4 5 8
---- 3
(0-1)
(0-6)
(3-4)
(3-7) 1 6 7 4 2 5 8 ,

112. دستورالعمل روش برگس محاسبات روش CPM را انجام دهید.
فعالیت‌ها را به ترتیب افزایش شماره رویداد پایانی (صعودی) مرتب نمایید. در صورتی که دو فعالیت دارای یک شماره رویداد پایانی باشند، به ترتیب افزایش رویداد آغازین از بالا به پایین مرتب کنید.
از آخرین فعالیت در پایین جدول شروع نموده و فعالیت‌ها به ترتیبی برنامه‌ریزی می‌شود که Z در آن حداقل باشد. در صورتی که Z برای چند حالتِ حداقل، مساوی شد، وضعیتی را انتخاب می‌کنیم که فعالیت از حداکثر شناوری استفاده کند. (موقعیت فعالیت‌های بحرانی ثابت است) ,

113. دستورالعمل روش برگس (ادامه)
عملیات مربوط به مراحل دوم و سوم را به ترتیب برای سایر فعالیت‌ها تکرار کنید تا دیگر نتوانید گزینه‌ای را بیابید که مقدار Z آن کمتر از مقدار Z آخرین گزینه قابل قبول باشد.
تغییر در شماره‌گذاری شبکه ممکن است باعث بهبود Z شود. ,

114. مثال : D(3) 1 3 A(1) F(2) C(2) B(4) E(3) G(3) 2 4 5 فعالیت A B C D E F2 4 5
فعالیت A B C D E F G
مدت زمان مورد نیاز 1 4 2 3
میزان منبع لازم ,

115. فعالیت ها زمان اجرا 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0-1 0-2 1-2 1-3 2-4 3-4 4-5ES LS D r
زمان اجرا 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0-1
0-2
1-2
1-3
2-4
3-4
4-5 16 49 25 2 2 4 4 5 7 3 5 1 5 1 25 49 9 25 1 25 1 ,

116. موازنه هزينه و زمان
در بسياري از موارد، مدت زمان مد نظر يا قابل قبول مسئولين براي اجراي پروژه، كمتر از مدت زمان تكميل پروژه طبق برنامه زمان‌بندي اوليه حاصل از محاسبات به روش مسير بحراني است. بنابراين، در اين حالت كه محدوديت زماني وجود دارد، برنامه زمان‌بندي اوليه قابل قبول نبوده و بايد به دنبال راه‌كاري براي دستيابي به برنامه قابل قبول بود. ,

117. دلايل محدوديت زماني شرايط اقتصادي، سياسي، اجتماعي و نظامي
تغيير اولويت‌هاي اقتصادي و اجتماعي
امكانات و منابع
نظريات و تصميم‌هاي مسئولين پروژه
تأخير
شايان ذكر است در قراردادهاي اجرايي، تأخير در ختم پروژه داراي جريمه است و تعجيل در آن مشمول پاداش مي‌شود. بنابراين گاهي اوقات تأكيد بر اتمام پروژه تا موعد مقرر، به منظور جلوگيري از پرداخت جريمه است. ,

118. روش‌هاي كاهش مدت زمان اجراي پروژه
اگر محدويت زماني وجود داشته باشد، برنامه زمان‌بندي اوليه كه متضمن اجراي پروژه در مدت زمان عادي است، قابل قبول نيست. براي اين كه برنامه به يك برنامه زمان‌بندي قابل قبول تبديل گردد، بايد به نحوي تغيير يابد تا مدت زمان اجراي پروژه كاهش پيدا كند.
روش‌هاي تسريع در انجام فعاليت‌هاي پروژه:
 افزايش منابع  افزايش بهره‌وري
 افزايش ساعات كار  تغيير روش اجرا
 اجراي موازي بخشي از فعاليت‌هاي بحراني با استفاده از فناوري‌هاي نوين ,

119. هزينه‌هاي پروژه
هزينه‌هاي يك پروژه، به دو نوع هزينه مستقيم و غيرمستقيم تقسيم مي‌شود. بنابراين، مجموع اين دو نوع هزينه، برابر با هزينه‌هاي كل پروژه است.
هزينه‌هاي مستقيم پروژه (Direct Project Cost)
هزينه‌هاي مستقيم پروژه، برابر با مجموع هزينه‌هاي مستقيم فعاليت‌ها است. اين هزينه‌ها مربوط به نيروي انساني، ماشين‌آلات و تجهيزات و مواد و مصالح مصرفي است كه به طور مستقيم براي انجام فعاليت به كار مي‌روند.
اگر فعاليتي با پيمانكار انجام شود، هزينه‌هاي مستقيم برابر با مبلغي است كه به پيمانكار داده مي‌شود. ,

120. هزينه‌هاي غيرمستقيم پروژه (Indirect Project Cost)
هزينه‌هاي غيرمستقيم پروژه كه به آن هزينه‌هاي بالاسري نيز گفته مي‌شود، به كل پروژه مربوط است و به يك فعاليت اختصاص ندارد. هزينه‌هاي مربوط به اجاره، سود بانكي وام‌هاي اخذ شذه براي اجراي پروژه، آب، برق، گاز، تلفن، حقوق و دستمزد نيروهاي انساني ستادي پروژه، جريمه تأخير در اجراي پروژه از جمله مهمترين هزينه‌هاي غيرمستقيم پروژه مي‌باشند.
هزينه‌هاي كل پروژه (Total Project Cost)
اگر هزينه‌هاي مستقيم پروژه با C و هزينه‌هاي غيرمستقيم پروژه با IC نشان داده شود، هزينه‌هاي كل پروژه (TC) با رابطه زير محاسبه مي‌شود:
TC=C+IC ,

121. هزينه‌هاي مستقيم را مي‌توان در دو وضعيت عادي يا فشرده به دست آورد.
هزينه عادي فعاليت (Normal Activity Cost)
جمع هزينه‌هاي مستقيم يك فعاليت در شرايطي كه در مدت زمان معمولي خود اجرا شود، هزينه عادي فعاليت گويند. هزينه در مدت زمان عادي حداقل است.
هزينه فشرده (ضربتي) فعاليت (Crash Activity Cost)
جمع هزينه‌هاي مستقيم يك فعاليت هنگامي كه در مدت زمان فشرده خود اجرا شود. مانند هزينه نيروي انساني در ساعات اضافه‌كاري ,

122. زمان عادي فعاليت (Normal Activity Time)
كوتاه‌ترين مدت زمان اجراي فعاليت با حداقل هزينه‌هاي مستقيم است.
زمان فشرده (ضربتي) فعاليت (Crash Activity Time)
حداقل زمان لازم براي انجام فعاليت با به كار گرفتن منابع اضافي را مدت زمان فشرده آن فعاليت مي‌گويند. ,

123. هزينه جمع كل هزينه‌ها زمان اقتصادي هزينه‌هاي غيرمستقيم
هزينه‌هاي مستقيم
زمان ,

124. هزينه‌هاي مستقيم حالت مركب حالت مقعر هزينه فشرده حالت خطي هزينه عاديCd
هزينه فشرده
حالت خطي CD
هزينه عادي
حالت محدب d D
زمان
زمان فشرده
زمان عادي ,

125. هزينه‌هاي مستقيم هزينه فشرده α هزينه عادي زمان زمان فشرده زمان عادي Cd
Cs=tanα= Cd
Cd -CD
هزينه فشرده
D-d α CD
هزينه عادي d D
زمان
زمان فشرده
زمان عادي ,

126. هزينه عادي - هزينه فشرده
منحني هزينه- زمان فعاليت مي‌تواند حالت‌هاي خطي (Linear)، محدب (Convex)، مقعر (Concave) و مركب (Complex) را داشته باشد.
شيب هزينه فعاليت (Activity Slope Cost)
ميزان افزايش هزينه‌هاي مستقيم فعاليت به ازاي يك واحد كاهش زمان اجراي فعاليت را شيب هزينه گويند.
شيب هزينه=
هزينه عادي - هزينه فشرده
زمان فشرده - زمان عادي ,

127. دستورالعمل ابتکاري بررسي حساسيت هزينه و زمان
1- با رسم شبکه، محاسبات بر اساس زمان عادي انجام مي‌گيرد.
2- ضرايب هزينه (شيب‌هاي هزينه) محاسبه مي‌گردد.
3- در مسير يا مسيرهاي بحراني، فعاليت مشترک يا از هر مسير يک فعاليت که کمترين جمع شيب هزينه را دارد، براي کاهش زمان انتخاب مي‌شود.
4- کاهش زمان از فعاليت‌هاي مسير يا مسيرهاي بحراني به ميزاني که مسير يا مسيرهاي فعلي همچنان بحراني باشند، صورت مي‌گيرد. براي اين کاهش، زمان اتمام پروژه و هزينه‌هاي مربوطه محاسبه مي‌شود. لازم به ذکر است فقط مسير بحراني فعلي نبايد از مسير يا مسيرهاي بحراني حذف شود. اگر مسير يا مسيرهاي ديگر بحراني شود، اشکالي به وجود نخواهد آورد. ,

128. مثال: شبکه فعالیت‌های پروژه‌ای به صورت زیر است.
زمان انجام فعالیت‌ها بر مبنای ماه است.
هزینه‌های غیر مستقیم پروژه ماهانه 4
واحد پولی می‌باشد.
هزینه‌ها و زمان‌های عادی و فشرده
فعالیت‌ها در جدول صفحه
بعد داده شده است. 2 1 4 3 ,

129. شيب هزينه زمان هزينه نام فعاليت فشرده معمولي 2 4 5 10 8 1-2 1 6 1-3
---
2-3 3 15
2-4
3-4 ,

130. زمان فشرده شیب هزینه زمان عادی 2 (5,2,3) (5,4,2) (1,1,∞) 1 4 (6,4,1)
(2,1,4) 3 ,

131. فعالیت‌هایی که از حداقل زمان خود استفاده کرده‌اند
مسیر (های) بحرانی
هزینه کل
هزینه
میزان افزایش یا کاهش
فعالیت انتخابی برای کاهش
زمان پروژه
دور الگوریتم
غیر مستقیم
مستقیم
زمان
---
1-2-4 74 40 34 10 1
1-2
1-2-4 72 36 2 1 9
---
1-2-4
1-3-4 71 32 39 3 1
2-4 8
---
1-2-4 71 28 43 4 1
2-4
1-3 7
3-4
2-4
1-2-4
1-3-4 74 24 50 7 1 6 5 ,

132. نتايج حاصل از بررسي هزينه و زمان
1- براي کاهش زمان اتمام پروژه بايستي تخصيص منابع بيشتري براي فعاليت‌هايي که در مسير بحراني قرار دارند، صورت گيرد.
2- در زمان عادي، هزينه‌هاي مستقيم پروژه، حداقل و هزينه‌هاي غيرمستقيم، حداکثر خواهد بود.
3- در زمان فشرده، هزينه‌هاي مستقيم پروژه، حداکثر، و هزينه‌هاي غيرمستقيم، حداقل خواهد بود. ,

133. چگونه یک پروژه با ماهیت احتمالی را برنامه‌ریزی کنیم؟
فصل چهارم
چگونه یک پروژه با ماهیت احتمالی را برنامه‌ریزی کنیم؟ ,

134. برنامه‌ريزي و زمان‌بندي پروژه‌ها با زمان‌هاي احتمالي
روش پرت (PERT) يا ”روش ارزيابي و بازنگري پروژه‌ها“ در مواقعي مورد استفاده قرار مي‌گيرد كه به طور يقين نمي‌توان زمان انجام فعاليت را مشخص نمود ليكن كليه فعاليت‌هاي موجود در شبكه، قطعي هستند.
دو رويكرد براي تعيين زمان تكميل فعاليت‌هاي يك پروژه به كار گرفته مي‌شود.
1- تشخيص و تخمين
2- روش احتمالي
در روش احتمالي، با حدس و گمان مدت زمان فعاليت‌ها بيان مي‌شود. ,

135. برنامه‌ريزي و زمان‌بندي پروژه‌ها با زمان‌هاي احتمالي
در اين روش، برآوردكنندگان زمان انجام فعاليت‌ها، به جاي اعلام يك مدت زمان معين، چندين زمان ارائه مي‌كنند.
اگر همه چيز بر وفق مراد باشد، زودترين و يا خوش‌بينانه‌ترين زمان (Optimistic Time) اجراي فعاليت برابر Ta مي‌باشد. اما در محتمل‌ترين زمان (Most Likely Time)، زمان اجراي فعاليت برابر Tm خواهد بود. در بدبينانه‌ترين زمان (Pessimistic Time)، زمان انجام فعاليت بيش از مدت Tb به طول نخواهد انجاميد. ,

136. مدت زمان خوش‌بينانه براي يك فعاليت، تقريباً حداقل مدت زماني است كه براي انجام آن فعاليت لازم است. a، حد پايين دامنه تغييرات متغير تصادفي مدت زمان اجراي فعاليت است به طوري كه بايد حداكثر در 5% از موارد، مدت زمان واقعي انجام فعاليت از آن كمتر باشد.
محتمل‌ترين مدت زمان براي يك فعاليت، برابر با مدت زماني است كه در اغلب موارد، انجام آن فعاليت صرف مي‌كند. به عبارت ديگر، مدت زماني است كه در توزيع فراواني مدت زمان انجام فعاليت داراي حداكثر فراواني (نما) باشد. ,

137. سيستم سه زمانه در دامنه صفر تا صد درصد
مدت زمان بدبينانه براي يك فعاليت، حداكثر مدت زماني است كه براي انجام آن فعاليت لازم است. b، حد بالاي دامنه تغييرات متغير تصادفي مدت زمان اجراي فعاليت است و حداكثر در 5% از موارد، مدت زمان واقعي انجام فعاليت مي‌تواند از آن بيشتر باشد.
سيستم سه زمانه در دامنه صفر تا صد درصد
فرض بر آن است كه زمان قطعي انجام فعاليت در فاصله بين دو زمان خوش‌بينانه و بدبينانه در حدود صفر تا صد درصد قرار مي‌گيرد. چنانچه فاصله بين اين دو زمان، شش برابر انحراف معيار باشد، تقريباً 99/7% مساحت زير منحني در دو محدوده زمان خوش‌بينانه و بدبينانه قرار مي‌گيرد. ,

138. براي يافتن ميانگين (µ) ، توزيع مدت زمان اجراي هر فعاليت ميانگين وزني سه نوع زمان a ، m و b محاسبه مي‌گردد. طبق تجربيات به دست آمده، اوزان هر يك از اين زمان‌ها به ترتيب برابر با ( ) ، ( ) و ( ) در نظر گرفته مي‌شود. (a,m,b) ,

139. سيستم سه زمانه در دامنه 5 تا 95 درصد
نتايج مطالعات نشان مي‌دهد در صورتي كه a (Ta) و b (Tb) در محدوده 5% تا 95% قرار گيرند، فاصله بين دو زمان 2¸3 انحراف معيار خواهد بود.
مقدار ميانگين از همان فرمول قبلي محاسبه مي‌گردد. ,

140. محاسبات شبكه
محاسبات شبكه بر مبناي زمان ميانگين صورت مي‌گيرد. بر اساس قضيه حد مركزي:
ميانگين زمان اتمام پروژه برابر حاصل جمع ميانگين فعاليت‌ها در مسير بحراني (طولاني‌ترين زمان مسير) است
واريانس زمان اتمام پروژه برابر حاصل جمع واريانس فعاليت‌هاي مسير بحراني خواهد بود. ,

141. قضيه حد مركزي
هر گاه چند متغير تصادفي xi با ميانگين µi و واريانس σ2i به ازاي i=1,2,3,…,n داراي مشخصات زير باشند:
- احتمالي باشند؛
- داراي تابع چگالي احتمال fi(xi) باشند؛
- مستقل از يكديگر باشند؛
- به طور متوالي واقع شوند؛
آنگاه متغير Y=∑xi احتمالي بوده و ميانگين و واريانس آن به صورت زير خواهد بود:
µY=∑µi σ2Y=∑σ2i ,

142. مقدار n در شبكه‌ها، n ≥ 4 منظور مي‌شود.
هنگامي كه n عدد بسيار بزرگي باشد، يعني به سمت بي‌نهايت ميل كند، آنگاه متغير Y نيز داراي توزيع نرمال خواهد بود، يعني:
Y ~ N(µY , σ2Y)
مقدار n در شبكه‌ها، n ≥ 4 منظور مي‌شود. ,

143. http://koofigar.mihanblog.com , koofigar_iau@yahoo.com

144. http://koofigar.mihanblog.com , koofigar_iau@yahoo.com

145. Zα=- Z1- α P(Z< Zα)= α P(Z> Zα)= 1-α
Zα نقطه‌اي بر روي منحني تابع چگالي احتمال N(0,1) مي‌باشد که مساحت زير منحني در سمت چپ اين نقطه برابر α باشد.
Zα=- Z1- α
P(Z< Zα)= α
P(Z> Zα)= 1-α ,

146. S=0.975 جنس α : مساحت جنس Zα : عدد 1.96 Z0.975=1.96,

147. درون‌يابي
Z0.95=?
Z0.9495= Z0.9505=1.65
مقادير a، b، c و d نشان‌دهنده تفاوت دو مقدار مي‌باشند. α Z
0.9495
1.64
0.95 X
0.9505
1.65 a c b d ,

148. Z0.95 = 1.645 ,

149. نکات
مسير بحراني: اگر چند مسير بحراني باشند (مسيرها داراي يک زمان اتمام باشند) مسيري که انحراف معيار آن از بقيه بيشتر است به عنوان مبناي محاسبات منظور مي‌شود.
خطا در روش پرت: چنانچه تفاوت زماني دو مسيري که بزرگترين طول مسير را دارند از بزرگترين انحراف معيار دو مسير کمتر باشد، بايستي مسئله را با روش بروز خطا و از روش‌هاي شبيه‌سازي حل نمود.
احتمال اتمام پروژه و وقوع وقايع: احتمال زمان اتمام پروژه به صورت زير نوشته و به آن احتمال وقوع گره تا زمان مورد نظر گفته مي‌شود:
P(T≤زمان مورد نظر) ,

150. تعيين حد بالاي اطمينان: دراين حالت مقدار احتمال معلوم و از پيش تعيين شده است. هدف در اين حالت، معمولاً تعيين مدت زمان (T) براي زمان اتمام پروژه مي‌باشد.
واريانس رويدادهايي که در يک تاريخ معين و غير قابل تغيير اتفاق مي‌افتند و يا قطعيت پيدا کرده‌اند، برابر صفر در نظر گرفته مي‌شوند. در اين موارد واريانس گره‌هاي ماقبل نيز صفر در نظر گرفته مي‌شود.
براي اطمينان نزديک به يقين مقدار Z را بايد بيش از 3 در نظر گرفت.
در يک شبکه پرت اصلاً نمي‌توان گفت يک مسير بحراني است يا بعضي از مسيرها به هيچ وجه نمي‌توانند بحراني باشند، بنابراين منظور از مسير طولاني يا بحراني مسيري است که انتظار مي‌رود طولاني يا بحراني باشد. ,

151. نکات در محاسبات مسير رفت
واريانس زمان وقوع گره شروع پروژه، برابر با صفر در نظر گرفته مي‌شود.
واريانس گره‌اي که فقط بردار يک فعاليت به آن ختم شده، برابر با مجموع واريانس گره ابتداي آن فعاليت و مقدار واريانس مدت زمان اجراي فعاليت مزبور است.
به منظور تعيين واريانس يک گره پوششي، واريانس آن فعاليتي در نظر گرفته مي‌شود که بر روي طولاني‌ترين مسير واقع است. در مورد مسيرهايي که طول مدت زمان يکساني دارند، از بين آن‌ها مسيري انتخاب مي‌گردد که داراي بيشترين مقدار واريانس باشد. ,

152. نکات در محاسبات مسير برگشت
واريانس زمان وقوع گره پايان پروژه، برابر با صفر در نظر گرفته مي‌شود.
اگر فقط يک بردار از گره‌اي خارج شده باشد، واريانس زمان وقوع آن گره، برابر با واريانس گره انتهاي بردار به علاوه واريانس مدت زمان اجراي فعاليت متناظر با آن بردار است.
به منظور تعيين واريانس يک گره جوششي، واريانس فعاليتي تعيين‌کننده است که بر روي مسيري باشد که ميانگين به دست آمده از آن مسير براي گره مورد نظر حداقل است. چنانچه ميانگين به دست آمده از دو يا چند مسير (فعاليت) براي گره گفته شده يکسان و حداقل باشد، فعاليتي انتخاب مي‌گردد که داراي بيشترين مقدار واريانس باشد. ,

153. در روش پرت مي‌توان شناوري (فرجه) هر گره (واقعه) را محاسبه کرد.
شناوري يک گره، ديرترين ميانگين زمان وقوع گره (µL) منهاي زودترين ميانگين زمان وقوع آن (µE) است.
Floatگره (Slackگره) = µL - µE
(µA , σA)
(µE1 , σE1) (µE2 , σE2)
(µL1 , σL1) (µL2 , σL2) A 1 2 ,

154. مثال : 3 1 2 5 6 4 ,

155. محاسبات زمان (ماه) کد فعاليت انحراف معیار میانگین بدبینانه محتمل‌ترین
خوش‌بینانه
1/3 2 3 1
1-2
2/3 4 6
2-3
2-4
3-5 5
4-5
5-6 ,

156. چون می‌باشد، لذا خطا قابل اغماض بوده و می‌توان از روابط روش پرت استفاده کرد. بنابراین میانگین و انحراف معیار شبکه به ترتیب 12 و 0.9 در نظر گرفته می‌شود. ,

157. الف) احتمال این که پروژه در کمتر یا مساوی 14 ماه تمام شود، چقدر است؟
ب) با احتمال 95% پروژه حداکثر پس از چند ماه به اتمام خواهد رسید؟ ,

158. در توزیع نرمال استاندارد، می‌دانیم:
ج) احتمال این که بتوان پروژه را در فاصله زمانی بین 10 تا 13 ماه به اتما رسانید، چقدر است؟
در توزیع نرمال استاندارد، می‌دانیم: ,

159. برنامه‌ريزي و زمان‌بندي پروژه‌ها با ماهيت فعاليت‌هاي احتمالي
روش گرت (GERT) يا ”روش مرور و ارزيابي گرافيكي“ اين امكان را براي برنامه‌ريزان پروژه فراهم مي‌سازد كه از فعاليت‌هاي غيرقطعي استفاده كنند. در روش گرت، وقوع فعاليت‌ها احتمالي در نظر گرفته مي‌شود و براي وقوع هر فعاليت، درصد احتمالي اختصاص مي‌يابد. فعاليت‌هايي كه پيش‌بيني مي‌شود وقوع آن‌ها قطعي باشد، داراي احتمال 1 يا 100% خواهند بود.
پيش از پرداختن به مطالب اصلي روش گرت، مقدماتي در مورد تحليل گراف جريان بيان مي‌گردد. ,

160. هر یک از فعالیت‌های گراف از سه مشخصه تشکیل یافته است که شامل احتمال اجرا شدن فعالیت، تابعی از زمان برای تکمیل فعالیت و کد فعالیت می‌باشد.
Pij : احتمال اجرا شدن فعالیت
f(x) : تابعی از زمان برای تکمیل فعالیت
(f(x) و Pij و کد فعالیت) i j ,

161. رسم گراف گرت
رسم گراف گرت همانند رسم شبکه می‌باشد ولی در شبکه گرت هر گره متشکل از دو قسمت است. برای هر گره سه رابطه منطقی برای قسمت ورودی گره و دو رابطه برای قسمت خروجی گره تعریف می‌گردد. ترکیب روابط منطقی ورودی و خروجی گره‌ها سبب ایجاد شش حالت برای هر گره می‌شود. ,

162. الف) سه رابطه منطقی ورودی
یای خاص (Exclusive- OR)
وقوع هر یک از شاخه‌های منتهی به این گره باعث وقوع گره خواهد شد. اما در یک زمان تنها و تنها یکی از شاخه‌های منتهی به این گره می‌تواند وقوع یابد. ,

163. یای عام (Inclusive- OR)
وقوع هر یک از شاخه‌های منتهی به این گره باعث وقوع گره خواهد شد. زمان وقوع گره برابر کوچک‌ترین زمان‌های تکمیل فعالیت‌های منتهی به گره می‌باشد. ,

164. و (And)
گره وقتی به وقوع می‌پیوندد که تمامی شاخه‌های منتهی به آن وقوع یابد، لذا زمان وقوع، برابر بزرگ‌ترین زمان‌های تکمیل فعالیت‌های منتهی به این گره ”و“ می‌باشد. ,

165. ب) دو رابطه منطقی خروجی قطعی (Deterministic)
با وقوع گره تمامی شاخه‌های منشعب از آن تحقق می‌یابند. به عبارت دیگر احتمال وقوع تمامی شاخه‌های منشعب از این گره برابر یک است. ,

166. احتمالی (Probabilistic)
با وقوع گره تنها یک شاخه منشعب از آن تحقق می‌یابد. ,

167. احتمالی قطعی یای خاص یای عام و
ترکیب روابط منطقی ورودی و خروجی گره‌ها سبب ایجاد شش حالت برای هر گره می‌شود.
احتمالی
قطعی
خروجی گره
ورودی گره
یای خاص
یای عام و ,

168. گراف جريان (Flow Graph)
گراف جريان، نمايش گرافيكي ارتباط بين متغيرها است. گراف جريان، از يك يا چند شاخه (بردار) و تعدادي گره تشكيل مي‌شود. گره‌ها نشان‌دهنده متغيرها و شاخه‌ها (بردارها) نمايش‌گر ارتباط بين متغيرها مي‌باشند.
شكل فوق، رابطه B=RA را نشان مي‌دهد كه در آن، R را ارزش انتقال A به B مي‌گويند. اگر جهت بردار A به B عوض شود اين عمل برگردان مسير ناميده مي‌شود. R A B ,

169. R A B
1/R
مسير (Path)
مسير، تعدادي از شاخه‌هاي متوالي است كه دو گره را به هم وصل مي‌كند و از يك گره دو بار عبور نمي‌كند.
حلقه (Loop)
حلقه، عبارت است از يك سري شاخه‌هايي كه از يك گره آغاز و سپس بدون اين كه از گرهي بيش از يك بار عبور كند، دوباره به همان گره برگردد. چنين حلقه‌اي را حلقه درجه اول مي‌نامند. ,

170. a b U V W d c e f X Y Z X b a W Y d c Z,

171. حلقه درجه n
مجموعه‌اي از n حلقه درجه يك است كه كاملاً مجزا از يكديگر بوده و در هيچ گره يا شاخه‌اي مشترك نباشد.
حلقه‌هاي درجه اول : a ، b ، c و d
حلقه‌هاي درجه دوم : a×c ، a×d و b×d a b c d ,

172. اصل سري
هرگاه تعدادي شاخه سري (متوالي) در يک گراف جريان وجود داشته باشد، به منظور ساده‌سازي شکل مي‌توان به جاي آن، گراف جرياني با يک شاخه رسم کرد و ارزش انتقال آن شاخه را برابر با حاصل ضرب ارزش انتقال‌هاي کليه شاخه‌هاي سري مزبور قرار داد.
X3=R1R2X1 R1 R2 X1 X2 X3
R1×R2 X1 X3 ,

173. اصل موازي
هرگاه در يک گراف جريان، تعدادي شاخه موازي که از يک گره واحد خارج شده‌اند، همگي به يک گره واحد وارد شوند، در اين صورت مي‌توان به جاي آن، گراف جرياني با يک شاخه رسم کرد و ارزش انتقال آن شاخه را برابر با مجموع ارزش انتقال‌هاي کليه شاخه‌هاي موازي مزبور قرار داد.
X2=(R1+R2) X1 R1 X1 X2 R2
R1+R2 X1 X2 ,

174. گراف جريان بسته
گرافي است که هر يک از شاخه‌هاي آن متعلق به حداقل يک حلقه باشد.
VWXYZV و WXYZW W X V Z Y ,

175. گراف جريان باز
گرافي است که حداقل يک شاخه از آن متعلق به هيچ حلقه‌اي نيست. Y W X Z ,

176. ارزش انتقال در حلقه‌ها ارزش انتقال در حلقه درجه اول
ارزش انتقال در اين نوع حلقه، برابر با حاصل ضرب ارزش انتقال کليه شاخه‌هاي متعلق به حلقه است. ارزش انتقال در حلقه درجه اول را با L1 نشان مي‌دهند.
L1=R1R2 R1 X1 X2 R2 ,

177. ارزش انتقال در حلقه درجه n
براي به دست آوردن ارزش انتقال در حلقه درجه n (Ln) ، ارزش انتقال حلقه‌هاي درجه اول تشکيل‌دهنده حلقه درجه n در يکديگر ضرب مي‌گردد.
L2=R1R2R3R4 R1 R3 X1 X2 X3 X4 R2 R4 ,

178. H=1-∑L1+∑L2-∑L3+…+(-1)n ∑Ln
معادله توپولوژي (قضيه)
در يک گراف جريان بسته، رابطه توپولوژي زير همواره برابر با صفر است. ارزش انتقال در اين نوع حلقه، برابر با حاصل ضرب ارزش انتقال کليه شاخه‌هاي متعلق به حلقه است. ارزش انتقال در حلقه درجه اول را با L1 نشان مي‌دهند.
H=1-∑L1+∑L2-∑L3+…+(-1)n ∑Ln
لازم به ذکر است که در گراف‌هاي جريان باز حداقل يک شاخه از گراف متعلق به هيچ حلقه‌اي نيست و مقدار رابطه فوق برابر با صفر نمي‌باشد. ,

179. H=1-L1=1-(a.b.c.d+a.b.e.f.g.d)=0
مثال :
معادله توپولوژي گراف جريان بسته شکل زير را بنويسيد.
ZUVYZ
ZUVWXYZ
H=1-L1=1-(a.b.c.d+a.b.e.f.g.d)=0 d g Z Y X a c f b e U V W ,

180. قضيه گراف‌هاي بسته را مي‌توان براي گراف‌هاي باز با انتقال برگردان مسير به يک گراف بسته تبديل نمود و آن را حل کرد.
مثال: c 3 1 b a 1 1 2 4 ,

181. حلقه‌هاي درجه اول : 2-3-2 و 3-3 و 1-2-4-1 c 3 1 b a 1 1 2 4
1/T
حلقه‌هاي درجه اول : و 3-3 و
حلقه‌هاي درجه دوم : ( ) × (3-3)
H=1-(b+c+a/T)+(c×a/T)=0 ====> T=[a(1-c)/1-(b+c)] ,

182. قاعده ميسون براي گراف‌هاي باز (Mason Rule)
براي تعيين ارزش انتقال در گراف‌هاي جريان باز علاوه بر استفاده از قضيه توپولوژي گراف‌هاي بسته مي‌توان از قاعده ميسون استفاده کرد.
در مثال قبلي :
T=[a×1×(1-c)/1-(b+c)] T= ∑
(ارزش انتقال مسير) × (رابطه توپولوژي براي حلقه‌هاي غيرمماس بر مسير)
رابطه توپولوژي کل گراف جريان باز ,

183. تابع مولد گشتاور (Moment Generating Function: MGF)
متغيرها در گراف قابل جمع نيستند ولي ضرب‌پذير هستند.
تعريف: اگر x متغير تصادفي با تابع چگالي احتمال f(x) باشد، رابطه رياضي تابع مولد گشتاور x به صورت زير خواهد بود:
Mx(s)=E(esx) ,

184. خواص تابع مولد گشتاور
اگر مقدار پارامتر s در تابع مولد گشتاور برابر با صفر در نظر گرفته شود، حاصل برابر با 1 مي‌شود.
Mx(s) =1
اگر مشتق nام تابع مولد گشتاور محاسبه گردد و در آن s=0 قرار داده شود، حاصل، اميد رياضي توان nام متغير x خواهد بود.
s=0
= E(xn)
dn Mx(s)
dsn
s=0 ,

185. مي‌دانيم: σ2 = E(x-µ)2 = E(x2)-[E(x)]2
اگر x و y دو متغير تصادفي مستقل باشند و w=x+y تعريف گردد، آنگاه:
Mw(s) = Mx+y(s) = Mx(s) × My(s)
= E(xn)
= E(x) = µ
dn Mx(s)
d Mx(s)
dsn
s=0 ds
s=0
= E(x2)
d2 Mx(s)
ds2
s=0 ,

186. نرمال پواسون نمايي ثابت يکنواخت تابع مولد گشتاور نوع توزيع احتمال رديف
Mx(t) 1
نرمال 2
پواسون 3
نمايي 4
ثابت 5
يکنواخت ,

187. پس از به دست آوردنMx(s) در نقطه پاياني ميانگين
ارزش انتقال در گراف گرت از حاصل ضرب احتمال در تابع مولد گشتاور تابع توزيع زمان انجام فعاليت به دست مي‌آيد. لذا ارزش انتقال فعاليت ij از فرمول Tij=Pij×Mij(s) حاصل مي‌شود. در اين رابطه Pij احتمال وقوع فعاليت ij و Mij(s) تابع مولد گشتاور تابع توزيع زمان انجام فعاليت مي‌باشد.
مي‌دانيم تابع مولد گشتاور حول مبدأ مختصات برابر با 1 مي‌باشد به همين دليل از رابطه Tij(s=0)=Pij×Mij(s=0) مقدار Pij را به دست مي‌آوريم.
با به دست آوردن احتمال مي‌توانيم تابع مولد گشتاور را در واقعه پاياني گراف پيدا کنيم.
پس از به دست آوردنMx(s) در نقطه پاياني ميانگين
و انحراف معيار زمان اتمام پروژه به دست مي‌آيد.
Mx(s) =
Tij
Pij ,

188. GERT III Z
علامت
معنی
در اولین بار، رویداد بعد از تکمیل شدن m فعالیت ورودی رسمی می‌شود. در دفعات بعدی، برای رسمی شدن رویداد لازم است n فعالیت ورودی تکمیل شوند.
در اولین بار، رویداد بعد از تکمیل شدن m فعالیت مختلف ورودی رسمی می‌شود. در دفعات بعدی، برای رسمی شدن رویداد لازم است n فعالیت مختلف ورودی تکمیل شوند. ,

189. علامت
معنی
در اولین بار، رویداد بعد از تکمیل شدن m فعالیت ورودی رسمی می‌شود. به محض رسمی شدن رویداد، تمام فعالیت‌های ورودی متوقف می‌شوند. در دفعات بعدی، برای رسمی شدن رویداد لازم است n فعالیت ورودی تکمیل شوند. با رسمی شدن رویداد، تمام فعالیت‌های ورودی متوقف می‌شوند.
در اولین بار، رویداد بعد از تکمیل شدن m فعالیت مختلف ورودی رسمی می‌شود. به محض رسمی شدن رویداد، تمام فعالیت‌های ورودی متوقف می‌شوند. در دفعات بعدی، برای رسمی شدن رویداد لازم است n فعالیت مختلف ورودی تکمیل شوند. با رسمی شدن رویداد، تمام فعالیت‌های ورودی متوقف می‌شوند. ,

190. موفق باشید ,