1. KAMATNI RAČUN
Barbara Brzić, ZSEM, Poslovna matematika i ekonomija

2. Osnovni kamatni račun
kamata predstavlja naknadu kojiu družnik mora platit vjerovniku zato što mu je na određeno vrijeme ustupio pravo raspolaganja nekim iznosom novca ili dobrom
najčešće se zadaje na godišnjoj, kvartalnoj ili mjesečnoj razini
jednostavni kamatni račun upotrebljava se ako kamate izračunavamo na istu, početnu glavnicu za svako ukamačivanje
kamata - postotni dio glavnice koji moramo vratiti

3. Osnovni kamatni račun formula
I- kamata (postotni dio glavnice) C- glavnica
n- broj godina
m- broj mjeseci
d- broj dana

4. primjer1
koji iznost za 5 godina uz godišnji kamatnjak 10, donse ukupno jednostavnih kamata u iznosu od 10000kn?

5. primjer2
Na koliko godina iznos od kn donese godišnji kamatnjak 8 na ukupno 12000kn jednostavnih kamata?

6. Calculations using WolphramAlpha

7. Kamate s više glavnica
ako imamo više glavnica, ukupne kamete izračunat ćemo na način da izračunamo kamete za svaku pojedinu glavnicu, a zatim dobivene iznose kamata zbrojimo
neka su C1, C2 neke dvije glavnice, a d1, d2 broj dana na koje su uložene navedene glavnice, dok je p kamatna stopa
tada izraz i nazivamo kamatnim brojem, a izraz kamatnim divizorom

8. Kamate s više glavnica
i=1, 2,...n

9. primjer3
Glavnica od kn uložena je 17.srpnja godine. Kojeg datuma je uložena glavnica od kn, ako ukupne kamate na obje glavnice na dan 31. prosinca godine iznose kn, a uložene su uz godišnji kamatnjak 8?

10. rješenje primjera3
Budući da je glavnica u iznosu C1= 65000kn uložena 17.srpnja godine bila na štednji d1=167 dana, to je kamata na taj iznos
kako su ukupne kamate 3500kn, kamete za drugu glavnicu C2=83000kn iznose I2= =
dakle, glavnica C2=83000kn uložena je na štednju 31.prosinca dana=30. listopada 2000.

11. Složeni kamatni račun
složene kamate su one koje se obračunvaju za svako razdoblje ukamaćivanja od promjenjive glavnice
složene kamate zapravo su kamate na kamate, jer se promjenjiva glavnica dobije dodajući kamate početnoj glavnici. Ove se kamate primjenjuju kod dugoročnih financijskih operacija (duže od godinu dana) i mogu se obračunavati dekurzivno i anticipativno

12. Dekurzivni obračun
kod dekurzivnog obračuna, kamete se obračunavaju na kraju razdoblja ukamaćivanja od glavnice s pročetka tog razdoblja
Co - početna vrijednost glavnice
n-broj godina
Cn- konačna vrijednost glavnice
p(G)- godišnji dekurzivni kamatnjak,gdje je G godina
I- ukupne dekurzivne složene kamate na kraju n-te godine
Ii- dekurzivne složene kamate na kraju i-te godine

13. Konačna vrijednost glavnice
kolika će biti vrijednost uložene glavnice C0 nakon n godina uz godišnji kamatnjak p(G)? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan.
računajući kamate i konačnu vrijednost za svaku godinu dolazimo do konačne vrijednosti glavnice Co nakon n godina
r- dekurzivni kamatni faktor – vrijednost novčane jedinice nekon godine dana, ukamaćene uz godišnji kamatnjak p(G)
rn- zovemo faktorom akumulacije
kako su ukupne kamate uvijek jednake razlici konačne i početne vrijednosti glavnice dobivamo:

14. primjer4
Ivan je danas oročio 10000kn. Kolika je vrijednost tog uloga na kraju pete godine ako je godišnji kamatnjak 3, a obračun kamata dekurzivan, godišnji i složen? Izračunaj ukupne kamate.
rješenje: Uz navedene oznake C0=10000kn, n=5, p(G)=3. Općenito, konačna vrijednost nakon n godina

15. Početna vrijednost glavnice
koliki iznost C0 moramo uložiti danas da bismo na kraju n-te godine, uz godišnji kamatnjak p(G), imali Cn? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan.
općenito, ako se prvin n1 godina primjenjuje godišnji kamatnjak p1(G) sljedećih n2 godina, godišnji kamatnjak p2(G), i tako redom, do zadnjih nk godina kad se primjenjuje pk(G) tada je početnja vrijednost glavnice jednaka

16. primjer5
koliki iznost tvrtka ABCd.d. mora uložiti danas ako želi da kamete na kraju četvrte godine budu 10000kn?
rješenje: tražimo početnu vrijednost C0 uz poznate veličine n=4, I=10000, p(G)=3. Znamo i

17. Nominalni, relativni i konformni kamatnjak
Dosad smo u složenom kamatnom računu obračunavali godišnje kamate za neki broj godina, tj. bili su zadani godišnji kamatnjak i razdoblje ukamaćivanja od jedne godine. No, u praksi može biti propisan godišnji kamatnjak, a razdoblje ukamaćivanja dan, mjesec, kvartal ili polugodište. Dakle, razdoblje koje se odnosi na kamatnjak i razdoblje ukamaćivanja nisu isti
Poznati kamatnjak za određeno vremensko razdoblje zove se nominalni ili zadani kamatnjak
ako je zadan godišnji kamatnjak, a obračun je mjesečni, onda su u igri dva vremenska intervala: godina i mjesec. U tom se slučaju svi potrebni elementi obračuna kamata moraju izraziti u vremenskom intervalu u kojem se obračunavaju kamate!

18. d1 - duljina vremenskog intervala nominalng kamatnjaka
d - duljina vremenskog intervala ukamaćivanja
Neka je naprimjer d1=1 godina, a d=1 mjesec. Tada veličina kaže koliko se puta obavlja ukamaćivanje unutar vremenskog intervala nominalnog kamatnjaka. Ovdje moramo napomenuti da se d1 izražava u terminima od d.
U našem primjeru:

19. Relativni kamatnjak
relativni se kamatnjak dobije tako da se nominalni kamatnjak p(d1) podijeli s m

20. Konformni kamatnjak
konformni je kamatnjak onaj koji uz m ukamaćivanja, daje istu konačnu vrijednost kao i norminalni kamatnjak uz jedno ukamaćivanje
gdje je r:

21. primjer6
U banku je danas uloženo kuna. Kolika je vrijednost tog uloga na kraju treće godine ako je godišnji kamatnjak 6, a obračun kamata složen, dekurzivan i mjesečni. Primijeni relativni kamatnjak.
Rješenje: d = 1 mjesec, lako se izračuna da je m = 12. Relativni je mjesečni kamatnjak
Također razdoblje od tri godine moramo pretvoriti u razdoblje od 36 mjeseci pa je n = 3 godine = 36 mjeseci. Konačna je vrijednost na kraju treće godine jednaka konačnoj vrijednosti na kraju 36. mjeseca, pa je

22. primjer7
Iznos od kuna oroči se na devet mjeseci. Ako je konačna vrijednost tog iznosa kn, uz koju je godišnju kamatnu stopu novac oročen? Obračun kamata je mjesečni, složen i dekurzivan. Primijeni konformni kamatnjak.
Rješenje: C0 = 25000, n = 9, C9 = Tražimo godišnju kamatnu stopu, p(G). Kako je to nominalna kamatna stopa, slijedi da je d1 = 1 godina, d = 1 mjesec, m = 12. ako je a,
dobijemo:

23. Anticipativni obračun
Kod anticipativnog se obračuna kamate obračunavaju na početku razdoblja od glavnice s kraja tog razdoblja.
Uvedimo oznake:
C0 - početna vrijednost glavnice
n - broj godina
Cn - konačna vrijednost glavnice
q(G) - godišnji dekurzivni kamatnjak, gdje je G godina
I - ukupne anticipativne složene kamate na početku razdoblja od n godina
Ii - anticipativne složene kamate na početku i-te godine
u praksi se gotovo uvijek koristi dekurzivan obračun kamata

24. Konačna vrijednost glavnice
Kolika će biti vrijednost uložene glavnice C0 nakon n godina, uz godišnji, anticipativni kamatnjak q(G)? Obračun kamata je godišnji, složen i anticipativan.
Računajući kamate i konačnu vrijednost za svaku godinu, dolazimo do konačne vrijednosti glavnice C0 nakon n godina
konačna je vrijednost glavnice C0 nakon n godina jednaka
C0=1 , n=1
Zaključujemo da je   , zapravo, vrijednost 1 novčane jedinice nakon godinu dana ukamaćivanja uz anticipativni godišnji kamatnjak q(G).Kako su ukupne kamate uvijek jednake razlici konačne i početne vrijednosti glavnice, dobivamo
- anticipativni kamatni faktor

25. Početna vrijednost glavnice
Koliki iznos C0 moramo uložiti danas da bismo na kraju n-te godine, uz godišnju kamatu q(G), imali Cn ? Obračun kamata je godišnji, složen i anticipativan.
Iz prethodnog poglavlja lako se vidi da je početna vrijednost glavnice jednaka
pri čemu je

26. primjer8
Iznos od kn oroči se uz godišnji kamatnjak 3. Ako je konačna vrijednost tog iznosa kn, na koliko je godina novac oročen? Obračun je kamata godišnji, složen i anticipativan.
Rješenje: C0 = 25000, q(G) = 3  Cn= Tražimo broj godina, n. Krećemo od izraza za konačnu vrijednost glavnice
  Dijeljenjem s C0 i logaritmiranjem dobivamo daj je
Dakle, novac je oročen na 2.5 godine ili dvije godine i šest mjeseci.

27. Calculations using WolframAlpha

28. Literatura
“College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and Social Sciences”, Raymond A Barnett, Michael R. Zigler, Karl E. Byleen
Wolfram Alpha