1. الوحدة الثالثة : مقاييس التشتت
مبادئ الإحصاء كمى102
الوحدة الثالثة : مقاييس التشتت

2. مقاييس التشتت Measures of Dispersion
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت
مقاييس التشتت Measures of Dispersion
يقصد بالتشتت لمجموعة من البيانات دراسة مدى التباعد أو التقارب لهذه البيانات عن بعضها البعض أي عن وسطها الحسابي فكلما كانت البيانات قريبة من بعضها البعض أي قريبة من وسطها الحسابي كانت هذه البيانات (غير مشتته) وكلما كانت البيانات بعيدة عن بعضها البعض بعيدة من وسطها الحسابي كانت هذه البيانات (متباعدة أو مشتته) .
كلما كانت أقرب للتجانس
كلما اقتربت من متوسطها
كلما قل تشتت البيانات

3. الانحراف الربيعي (نصف المدى الربيعي)
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت
قياس التشتت يقاس التشتت بالمقاييس الأتية:
مقاييس التشتت
مقاييس التشتت المطلق
المدى
الانحراف المعياري
الانحراف الربيعي (نصف المدى الربيعي)
مقاييس التشتت النسبي
معامل الاختلاف

4. أولا: المدى Range المجموعـة الأولى: 75، 70 ، 65 ، 40 ، 33 ، 50 ، 55
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت
أولا: المدى Range
حساب المدى في حالة البيانات الغير مبوبة:
المدى في حالة البيانات الغير مبوبة = أكبر قيمة – أصغر قيمة
مثال (1-3): أحسب المدى لكل مجموعة من البيانات الآتية والتي تمثل درجات مجموعتين من الطلاب:
المجموعـة الأولى: 75، 70 ، 65 ، 40 ، 33 ، 50 ، 55
المجموعة الثانية: 85، 95 ، 88 ، 22 ، 56 ، 50 ، 44

5. المدى= أكبر قيمة – أصغر قيمة= 33–75= 42 المجموعة الثانية :
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت
الحل
المجموعة الأولى :
المدى= أكبر قيمة – أصغر قيمة= 33–75= 42
المجموعة الثانية :
المدى= أكبر قيمة – أصغر قيمة= 22–95= 73

6. 2- حساب المدى في حالة البيانات المبوبة:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (المدى)
2- حساب المدى في حالة البيانات المبوبة:
المدى في حالة البيانات المبوبة = نهاية الفئة الأخيرة – بداية الفئة الأولى
مثال (2-3): البيانات التالية تمثل توزيع 100 عامل حسب فئات الأجر اليومي بالريال :
والمطلوب: المدى
90-100
80-
70-
60-
50-
فئات الأجر 5 10 15 12 8
عدد العمال

7. المدى = نهاية الفئة الأخيرة– بداية الفئة الأولى = 100- 50 = 50
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (المدى)
الحل
المدى = نهاية الفئة الأخيرة– بداية الفئة الأولى = = 50

8. مزايا وعيوب المدى العيوب المزايا مقاييس التشتت (المدى)
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (المدى)
مزايا وعيوب المدى
العيوب
1- يتأثر بالقيم المتطرفة أو الشاذة.
2- يعتمد في حسابه على قيمتين فقط.
3- لا يمكن حسابه من الجداول التكرارية المفتوحة من أحد الطرفين أو من كليهما.
المزايا
1- سهولة حسابه عدديا.
2- يعطى فكرة سريعة عن تشتت البيانات.

9. ثانيا: حساب نصف المدى الربيعي (الانحراف الربيعي)
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت
ثانيا: حساب نصف المدى الربيعي (الانحراف الربيعي)
:Semi-Inter Quartile Range
الانحراف الربيعي هو أحد مقاييس التشتت المطلق ويستخدم للتغلب على العيوب الموجودة في المدى وذلك لأنه يستبعد القيم المتطرفة من الطرفين وذلك لأنه يعتمد في حسابه على الربيع الأول Q1)) ، والربيع الثالث (Q3) ويتم حسابه بالمعادلة:

10. والمطلوب حساب الانحراف الربيعي (نصف المدى الربيعي ):
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت
مثال (3-3): البيانات التالية تمثل توزيع 50 عامل حسب فئات الأجر اليومي بالريال :
والمطلوب حساب الانحراف الربيعي (نصف المدى الربيعي ):
90-100
80-
70-
60-
50-
فئات الأجر 5 10 15 12 8
عدد العمال

11. الحل لحساب نصف المدى الربيعي نتبع الأتي:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف الربيعي)
الحل
لحساب نصف المدى الربيعي نتبع الأتي:
1- تكوين جدول تكراري متجمع صاعد
موقع Q1
موقع Q3
تكرار متجمع صاعد
الحدود العليا للفئات
أقل من 50
8 التكرار السابق
أقل من 60
20 التكرار اللاحق
أقل من 70
35 التكرار السابق
أقل من 80
45 التكرار اللاحق
أقل من 90 50
أقل من 100

12. 2- إيجاد ترتيب كلا من الربيع الأول (Q1) والربيع الثالث (Q3).
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف الربيعي)
2- إيجاد ترتيب كلا من الربيع الأول (Q1) والربيع الثالث (Q3).
3- التعويض في معادلة الربيع الأول ، و معادلة الربيع الثالث:
ترتيب الربيع الأول (Q1)
والربيع الثالث (Q3)

13. 4-التعويض في معادلة الانحراف الربيعي (نصف المدى الربيعي ):
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف الربيعي)
4-التعويض في معادلة الانحراف الربيعي (نصف المدى الربيعي ):
الانحراف الربيعي = 9.375

14. مزايا وعيوب الانحراف الربيعي
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف الربيعي)
مزايا وعيوب الانحراف الربيعي
العيوب
1- لا يمكن حسابه من البيانات الوصفية.
2-عدم دخول جميع القيم في حسابه
المزايا
1- لا يتأثر في حسابه بالقيم المتطرفة أو الشاذة.
2-يمكن حسابه من الجداول التكرارية المفتوحة من أحد الطرفين أو من كليهما.
3-يمكن إيجاده بالرسم.

15. ثالثا: الانحراف المعياري Standard Deviation:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
ثالثا: الانحراف المعياري Standard Deviation:
تعريف الانحراف المعياري: هو الجذر التربيعي الموجب للتباين ويرمز له بالرمز
تعريف التباين Variance: هو متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي ويرمز له بالرمز
حيث :
مثال (4-3) :
لتوضيح التعريف بفرض أن لدينا البيانات التالية:
5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1

16. الحل المطلوب: حساب الوسط الحسابي. حساب التباين والانحراف المعياري.
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
المطلوب:
حساب الوسط الحسابي.
حساب التباين والانحراف المعياري.
الحل
1- حساب الوسط الحسابي

17. مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
2- حساب التباين والانحراف المعياري. =
التباين ، الانحراف المعياري1.414 = S

18. طرق حساب الانحراف المعياري:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
طرق حساب الانحراف المعياري:
أولا: حساب الانحراف المعياري في حالة البيانات غير المبوبة.
إذا كانت مشاهدات العينة هي
يمكن حساب الانحراف المعياري في حالة البيانات غير المبوبة بالمعادلة :
حيث :
مجموع مربعات القيم ،
n عدد القيم
الوسط الحساب للعينة

19. والمطلوب: حساب الانحراف المعياري للأجور اليومية. الحل
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
مثال (5-3): البيانات التالية تمثل الأجور اليومية بالريال لعينة مكونة من خمس عمال بإحدى القطاعات:
، 90، 70 ، 80 ، 50
والمطلوب: حساب الانحراف المعياري للأجور اليومية.
الحل

20. ثانيا: حساب الانحراف المعياري في حالة البيانات المبوبة.
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
ثانيا: حساب الانحراف المعياري في حالة البيانات المبوبة.
لحساب الانحراف المعياري في حالة البيانات المبوبة
نتبع الخطوات الآتية:
1- إضافة عمود ثالث للجدول التكراري يمثل مراكز الفئات ويتم حساب مركز الفئة كما يلي.
مركز الفئة =( بداية الفئة + نهاية الفئة) ÷2
2- إضافة عمود رابع للحصول على المجموع
3- حساب الوسط الحسابي بالمعادلة:
4- إضافة عمود خامس للحصول على المجموع =

21. 5- حساب الانحراف المعياري بالمعادلة:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
5- حساب الانحراف المعياري بالمعادلة:
مثال (6-3): البيانات التالية تمثل توزيع 50 عامل حسب فئات الأجر اليومي بالريال :
والمطلوب: الوسط الحسابي والانحراف المعياري لأجر العامل اليومي.
70-80
60-
50-
40-
30-
20-
10-
فئات الأجر 3 5 8 15 10 6
عدد العمال

22. الحل 1- حساب الوسط الحسابي بالخطوات الأتية: أ) حساب مركز الفئة x :
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
الحل
1- حساب الوسط الحسابي بالخطوات الأتية:
أ) حساب مركز الفئة x :
مركز الفئة الأولى= ( بداية الفئة الأولى + نهاية الفئة الأولى) ÷2
= ( ) ÷2 = 15
مركز الفئـة الثانيـة = مركز الفئة الأولى + طول الفئة = = 25
مركز الفئـة الثالثـة = مركز الفئة الثانية + طول الفئة = = 35
مركز الفئـة الرابعـة = مركز الفئة الثالثة + طول الفئة = = 45
مركز الفئة الخامسة = مركز الفئة الرابعة + طول الفئة = =55
مركز الفئة السادسة = مركز الفئة الخامسة + طول الفئة = = 65
مركز الفئة السابعـة= مركز الفئة السادسة + طول الفئة = = 75
إيجاد مجموع حاصل ضرب مركز الفئة x في التكرار f.
من خلال الجدول التالي:

23. مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
X .f
مركز الفئة( (x
عدد العمال ( f)
فئات الأجر
675 45 15 3
10 -
3750
150 25 6
20 -
12250
350 35 10
30 -
30375
40 -
24200
440 55 8
50-
21125
325 65 5
60-
16875
225 75
70-80
109250
2210 - 50
المجموع

24. 3- التعويض في معادلة الوسط الحسابي: ريال
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
3- التعويض في معادلة الوسط الحسابي:
ريال
4- حاصل الضرب بإضافة عمود خامس هو عبارة عن حاصل ضرب مركز الفئة x في المجموع
5- حساب الانحراف المعياري بالمعادلة :
الوسط الحسابي ريال = ، والانحراف المعياري ،

25. مزايا وعيوب الانحراف المعياري
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (الانحراف المعياري)
مزايا وعيوب الانحراف المعياري
العيوب
1- يتأثر بالقيم المتطرفة أو الشاذة .
2- لا يمكن حسابه من الجداول التكرارية المفتوحة من أحد الطرفين أو من كليهما.
3- لا يمكن حسابه من البيانات الوصفية.
4- لا يمكن إيجاده بالرسم.
المزايـا
1- تدخل جميع القيم في حسابه ولذلك يعتبر من أدق مقاييس التشتت وأكثرها استخداما
2- له نفس وحدة القياس للظاهرة محل الدراسة.
3- سهولة حسابه والتعامل معه جبريا.

26. رابعا: معامل الاختلاف Coefficient of Variation:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (معامل الاختلاف)
رابعا: معامل الاختلاف Coefficient of Variation:
تعريفه: معامل الاختلاف هو معامل نسبى يستخدم للمقارنة بين تشتت بيانات ظاهرتين أو أكثر مختلفتين في وحدات القياس أو متفقتين . أو مختلفتين في القيمة المتوسطة لهما.
الظاهرة التي معامل اختلافها أصغر تكون أقل تشتتا، والظاهرة التي معامل اختلافها أكبر تكون أكثر تشتتا.
ويمكن حساب معامل الاختلاف بالمعادلة .
حيث :

27. الحل مقاييس التشتت (معامل الاختلاف)
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (معامل الاختلاف)
مثال(7-3) قارن بين تشتت درجات كل من الطلاب والطالبات من واقع البيانات التالية:
الحل
للمقارنة بين تشتت درجات كل من الطلاب والطالبات يتم حساب معامل الاختلاف لدرجات الطلاب ومعامل الاختلاف لدرجات الطالبات والمقارنة بينهما كما يلي:
الطالبات
الطلاب
النوع المقاييس 80 70
الوسط الحسابي 6 7
الانحراف المعياري

28. من الملاحظ: أولا: معامل الاختلاف لدرجات الطلاب:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (معامل الاختلاف)
أولا: معامل الاختلاف لدرجات الطلاب:
ثانيا: معامل الاختلاف لدرجات الطالبات:
من الملاحظ:
أن معامل الاختلاف لدرجات الطلاب أكبر من معامل الاختلاف لدرجات الطالبات وبالتالي درجات الطلاب أكثر تشتتا من درجات الطالبات.

29. مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (معامل الاختلاف)
مثال (8-3):
البيانات التالية توضح بعض المقاييس المحسوبة عن الأجر الشهري لعمال شركة سعودية وأخرى أمريكية في أحدى القطاعات والمطلوب المقارنة بين تشتت الأجور.
الحل
للمقارنة بين تشتت الأجور في الشركة السعودية ,و الشركة الأمريكية يتم حساب معامل الاختلاف للأجور في الشركة السعودية، ومعامل الاختلاف للأجور في الشركة الأمريكية والمقارنة بينهما كما يلي:
الشركة الأمريكية
الشركة السعودية
الشركة المقاييس
400
300
الوسط الحسابي 80 45
الانحراف المعياري

30. من الملاحظ: أولا: معامل الاختلاف للشركة السعودية:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (معامل الاختلاف)
أولا: معامل الاختلاف للشركة السعودية:
ثانيا: معامل الاختلاف للشركة الأمريكية:
من الملاحظ:
أن معامل الاختلاف لأجور العمال في الشركة السعودية أقل من معامل الاختلاف لأجور العمال في الشركة الأمريكية وبالتالي فان أجور العمال في الشركة السعودية أقل تشتتا من أجور العمال في الشركة الأمريكية.

31. ملاحظات على مقاييس التشتت:
مبادئ الإحصاء 102 كمي
مقاييس التشتت (معامل الاختلاف)
ملاحظات على مقاييس التشتت:
مقاييس التشتت المطلق مثل ( المدى ، الانحراف المعياري ، الانحراف الربيعي تظهر كلها بوحدات قياس المتغيرات الأصلية المطلوب قياس تشتتها).
مقاييس التشتت النسبي (معامل الاختلاف) تتخلص من أثر وحدات القياس (وذلك بقسمة أحد مقاييس التشتت المطلق على أحد مقاييس النزعة المركزية).