1. Kombinatoorsete süsteemide disain
L7. Loogikafunktsioonide täpne minimeerimine
L8. Loogikafunktsioonide heuristiline minimeerimine
L9. Mitmevalentne loogika
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

2. Mitmevalentne loogika
MVL (Multiple-Valued Logic)
Post'i algebra
Boole’i algebra üldistus
Kasutatakse matemaatilise baasina MVL loogikalülide projekteerimisel
Post, a. - esimene mitmeväärtuseline (mitmevalentne) loogika
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

3. Mitmevalentne loogika
Võrdlus kahendloogikaga
Kahendloogika –  (B,*,+,~), B={0,1}
täielikult määratud funktsioonid -  f : Bn  B   ja f : Bn  Bm
mittetäielikult määratud funktsioonid - f : Bn  {0,1,-}m    ( ka  f:Bn{0,1,*}m )
AND, OR, NOT – loogikafunktsioonide täielik süsteem
MV-loogika –   ({Pi},MIN,MAX,literal), Pi={0,1,...,mi-1}
mittetäielikult määratud funktsioonid - f : P1xP2x...xPn  Pm või ka  f : P1xP2x...xPn  {0,1,-}m  
MIN, MAX, literal - MVL-funktsioonide täielik süsteem
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

4. Mitmevalentne loogika
MIN(x, y) – minimaalne x ja y väärtus [·]
AND kahendloogikas
MAX(x, y) – maksimaalne x ja y väärtus [+]
OR kahendloogikas
literaal (literal) – unaarne operatioon – xi{ci} = mi-1, kui xi=ci, muidu 0
kahend - xi{0} == x’i xi{1} == xi xi{0,1} == -   (don’t-care)
MVL -    x1{2}  x x3{0,2}  x3{0} + x3{2}
hulk-literaal – xi{S} = mi-1, kui xS
f()=x’fx’()+xfx()      /      f()=x0fx0()+x1fx1()+...+xm-1fxm-1()    
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

5. Mitmevalentne loogikax1 1 2 x2 f
Tõeväärtustabel
Normaalkujud
Karnaugh kaart
0·x1{0}·x2{0}
0·x1{0}·x2{1}
2·x1{0}·x2{2}
0·x1{1}·x2{0}
0·x1{1}·x2{1}
0·x1{1}·x2{2}
0·x1{2}·x2{0}
1·x1{2}·x2{1}
2·x1{2}·x2{2}
f(x1,x2) = 1·x1{2}·x2{1}+2·x1{0}·x2{2}+
2·x1{2}·x2{2}
f(x1,x2) = 1·x1{2}·x2{1}+2·x1{0,2}·x2{2} 1 x2 2 x1
“ · ” - MIN
“+” - MAX
x{i} - x’i literal
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

6. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
MVL minimeerimine
Kahendfunktsioonide süsteem (mitu väljundit) – väljundeid vaadeldakse kui ühte täiendavat MV sisendit
Ei midagi uut!
Antud funktsiooni F ühtede (f) ja määramata (d) ( nullide (r) ) piirkondade kate
Leida minimaalne korrutiste-summa kuju funktsioonile F
Genereerida f+d lihtimplikandid
Luua implikantide tabel
Lahendada katte probleem
Algoritmid erinevad ainult pisiasjades
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

7. Funktsioonide süsteem
n-muutjaga ja k-väljundiga kahendfunktsioonide süsteem teisendatakse n+1-muutujaga ja 1-väljundiga funktsiooniks, üks sisendmuutujaist on MV: {0,1}n  {0,1}k    {0,1}n x {0, 1, ..., m-1}  {0,1}
tavaliselt k=m
Hong’i teoreem
iga n-muutuja implikant pluss vastavad väljundid moodustavad ühe hüperkuubi (implikandi) n+1-ruumis
väljundite arv määrab täiendava sisendi valentside arvu
implikandi määratud väljundid moodustavad hulk-literaali täiendavas sisendis
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

8. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Minimeerimine
Näide 1 a c b x z y
abc
xyz
000
111
001
011
010
101
110
100
abc
xyz
0-0
101
-11
100
00-
011
0-1
010
-01
111
001
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

9. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Minimeerimine
x(a,b,c)=a’b’c’+a’bc’+a’bc+abc
y(a,b,c)=a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c
z(a,b,c)=a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc
abc
xyz
000
111
001
011
010
101
110
100
abc e
000
100
010
011
111
001
101 o 1
f: {0,1}x{0,1}x{0,1}x{0,1,2} -> {0,1}
o(a,b,c,e)=a0b0c0e0+a0b1c0e0+a0b1c1e0+
+a1b1c1e0+a0b0c0e1+a0b0c1e1+
+a0b1c1e1+a1b0c1e1+a0b0c0e2+
+a0b0c1e2+a0b1c0e2+a1b1c1e2
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

10. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Minimeerimine
a0b1c1e0 + a0b1c1e1 = a0b1c1e{0,1} 3. 7.
abc e
000
100
010
011
111
001
101 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. 2. 9.
11.
a0b0c0e0 + a0b1c0e0 + a0b0c0e2 + a0b1c0e2 = … … = a0b{0,1}c0e0 + a0b{0,1}c0e2 = a0b{0,1}c0e{0,2} = a0c0e{0,2}
ja / või
… = a0b0c0e{0,2} + a0b1c0e{0,2} = a0b{0,1}c0e{0,2} = a0c0e{0,2} 5. 9. 6.
10.
a0b0c0e1 + a0b0c0e2 + a0b0c1e1 + a0b0c1e2 = …
… = a0b0c0e{1,2} + a0b0c1e{1,2} = a0b0c{0,1}e{1,2} = a0b0e{1,2}
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

11. Lihtimplikantide leidmine
abc e
000
100
010
011
111
001
101
mintermid
gr. abc e
1. etapp
gr. abc e
2. etapp
gr. abc e G H I c b 1 a x z y A B C D E F
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

12. Implikantkatte leidmine
abc e A B C D E F G H I
abc e A B C D E F G H I
x x
x x
x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
abc e A B D E G
x x x
x x c b 1 a x z y I H C F D
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

13. Minimeerimine – MVL tulemus
o(a,b,c,e)=a0b0c0e0+a0b1c0e0+a0b1c1e0+
+a1b1c1e0+a0b0c0e1+a0b0c1e1+
+a0b1c1e1+a1b0c1e1+a0b0c0e2+
+a0b0c1e2+a0b1c0e2+a1b1c1e2
Lihtimplikandid & liiasuseta
o(a,b,c,e)=a0b1c1e{0,1}+a1b1c1e{0,2}+
+a0b{0,1}c0e{0,2}+a0b0c{0,1}e{1,2}+
+a{0,1}b0c1e1
abc e
011
110
111
101
0-0
00-
-01
010 o 1
o(a,b,c,e)=a0b1c1e{0,1}+a1b1c1e{0,2}+
+a0c0e{0,2}+a0b0e{1,2}+b0c1e1
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

14. Minimeerimine – tulemus
o(a,b,c,e)=a0b1c1e{0,1}+a1b1c1e{0,2}+
+a0c0e{0,2}+a0b0e{1,2}+b0c1e1 1 a c b x z y
abc e
011
110
111
101
0-0
00-
-01
010 o 1
abc
xyz
011
110
111
101
0-0
00-
-01
010
x(a,b,c)=a’bc+abc+a’c’
y(a,b,c)=a’bc+a’b’+b’c
z(a,b,c)=abc+a’c’+a’b’
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

15. Minimeerimine – Näide #2
(1,1,1)
(0,0,0)    
abc xy
000 10
001 11
010 00
011
100
101
110
111
abc xy
00- 10
-01 11
1-1
11- c 1 a b x y
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

16. Minimeerimine – Näide #2
ülesanne
signatuur
abc e
000 10
001 01
101
110
111 o 1
gr. abc e
001 01
101 01
110 10
gr. abc e
-01 10
-01 01
1-1 10
11- 10
gr. abc e    
abc xy
000 10
001 11
010 00
011
100
101
110
111
abc e     x
x x x
x x x x
x x
abc xy
00- 10
-01 11
11-
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

17. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Tulemus – Näide #2
(1,1,1)
(0,0,0)    
abc xy
000 10
001 11
010 00
011
100
101
110
111
abc xy
00- 10
-01 11
11- c 1 a b x y c 1 a b x y
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

18. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
MVL & Karnaugh kaart
Jälle ei midagi (eriti) uut…
Funktsioonidel tuleks leida võimalikult rohkem ühiseid kontuure
Vihje – alustada võiks nn. hõredatest kohtades – ‘1’ ainult ühe funktsiooni väljundis (vrdl. olulised (liht)implikandid)
Vt.
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

19. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
MVL muud rakendused
Efektiivsem kahendloogika probleemide lahendamine
sisendite, väljundite ja olekute kodeerimine (optimeerimine)
dekoodriga PLM – sisendite paar –> üks 4-valentne sisend
testimine – kolmas väärtus kasutusel vea tähistamiseks
aritmeetikaoperatsioonide kiirendmine (nt. kolmendaritmeetika)
Tüüpiline VLSI mikroskeem
~70% pindalast ühendused, ~20% isolatsioon ja ainult ~10% transistorid
MVL riistvara & süsteemid – rohkem kui kaks signaalinivood
rohkem kui kaks diskreetset signaalinivood (pinge või vool)
võimalik kasutada olemasolevaid tehnoloogiaid - CMOS jne.
traadid kannavad rohkem informatsiooni – vähem traate
väljaviigud kannavad rohkem informatsiooni – vähem väljaviike
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

20. Funktsioonid ja andmeesitus
Funktsioon   f(x1,x2,...,xi,...,xn)
f = ab + bc + ac
Jääkfunktsioon (kaasfaktor, cofactor) fxi – f(x1,x2,...,1,...,xn)   &   fx’i – f(x1,x2,...,0,...,xn)
fa = b + c   &   fa’ = bc
Shannon’i arendus (Boole’s expansion) – f(x1,x2,...,xi,...,xn) = xi·fxi + x’i·fx’i
f = ab + bc + ac = a fa + a’ fa’ = a (b+c) + a’ (bc)
Boole’i diferentsiaal   -   f/xi = fxi  fx’i
näitab, kas funktsioon sõltub muutujast xi
f/a = fa  fa’ = (b+c)  bc = b’c + bc’
Konsensus (consensus)   -   Cxi = fxi  fx’i
näitab, milline osa funktsioonist ei sõltu muutujast xi
Ca = fa · fa’ = (b+c) · (bc) = bc
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

21. espresso - andmeesitus
Maatriks- e. vektor-esitus
Tavaliselt üks rida implikandi kohta
Võimalikud erinevad kodeeringud
Kahend- ja mitmevalentne loogika samadel põhimõtetel - üks positsioon ühe sümboli jaoks a b c d
1-0- = ac’
illegaalne
“0”
“1”
määramatus x 1 - 00 10 01 11
1-0- = ac’
and
(or)
legaalne? a b c d
1-0- = ac’
sõnade ‘&’
sõnade ‘|’
ei tohi olla ‘00’
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

22. espresso - andmeesitus
AND - ühisosa
OR - ühend
= ab
= bc
= ac
AND - (ab)(bc) = abc
= abc
(a’c)(bc) = [ ]&[ ] =
= [ ] = a’bc
(a’c)(ab) = [ ]&[ ] =
= [ ] = xxx
OR = b a c 1 b
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

23. Jääkfunktsioon (kaasfaktor)
Jääkfunktsiooni leidmine
muutja või selle eitus
ühisosa
muutuja asendus ebaolulisega
kaetuse kontroll
f = ab+bc+ac
fa = b+c
fa’ = bc
= ab
= bc
= ac a c 1 b
= a = a’
= ab = !!
= abc = a’bc
= ac = !!
= b = bc
= bc
= c
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

24. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Tautoloogia
Tautoloogia - funktsiooni väärtus on alati tõene
Rekursiivne lahendamine
laiendus mingi muutuja järgi
funktsioon on tautoloogia kui kaasfaktorid on tautoloogiad
Tautoloogia (lihtsustused)
üks rida (implikant) koosneb ainult ühtedest (määramatustest)
kate sõltub ainult ühest muutujast ja ei leidu 0-de veergu
ei ole tautoloogia kui kattes leidub 0-de veerg
f = ab+ac+ab’c’+a’ fa fa’
fab fab’
Tautoloogia -->
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

25. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Sisaldumine
Implikant A sisaldub kattes F siis ja ainult siis, kui FA on tautoloogia
f = ac+bc’
fab
= ac = abc
= bc’ = abc’
Kas “ab” on kaetud? = c
= c’ a c 1 b
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

26. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Inversioon
Inversioon – f’ = x · f’x=1 + x’ · f’ x=0
vali muutuja
leia kaasfaktorid
inverteeri kaasfaktorid
Lihtsustusi
kate on tühi - inversioon on universaalkuup (kõik ebaolulised)
kattes on 1-de rida (tautoloogia) - inversioon on tühi
kate koosneb ühest implikandist - De Morgan a c 1 b 1 a c b
= ab
= bc
= ac
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

27. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Inversioon
f’ = x  f’x + x’  f’x’
vali muutuja - a
leia kaasfaktorid - fa, fa’
f’ = a f’a + a’ f’a’
fa = b + c      fa’ = bc
inverteeri kaasfaktorid
f’a = b f’ab + b’ f’ab’
fab = 1   =>   f’ab = 0
fab’ = c   =>   f’ab’ = c’    (De Morgan)
f’a = b 0 + b’ c’ = b’ c’
= ab
= bc
= ac
fa fa’
fab fab’
f’ab f’ab’
b·f’ab b’·f’ab’
f’a
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9

28. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9
Inversioon
inverteeri kaasfaktorid (järg)
fa’ = b c
f’a’ = (De Morgan) = b’ + c’
f’ = a f’a + a’ f’a’
f’ = a b’ c’ + a’ b’ + a’ c’
fa’ f’a’
a·f’a a’·f’a’ f’ 1 a c b
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L9