1. Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad
ADVANCED CONTROL
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
<<<1.1>>>
###Control System Design###
{{{Control, Design}}}
Reference:
Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.

2. State Space Solutions and Realization
Lecture 4
State Space Solutions and Realization
Topics to be covered include:
Introduction.
Solution of State Equations.
Equivalent State Equations.
Realizations.
Solution of Linear Time-Varying (LTV) Equations.
Equivalence Time-Varying Equations.
Time-Varying Realizations.

3. آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید
حل معادلات فضای حالت سیستمهای LTI
Solution of LTI state equations
سیستم های همانند یا معادل (جبری)
Equivalent(algebraic) state equations
هم ارز یا معادل حالت صفر
Zero state equivalent
شرط وجود پیاده سازی در سیستمهای خطی
Realizable state equations
چند نمونه پیاده سازی
Some different realization
حل معادلات فضای حالت سیستمهای LTV
Solution of LTV state equation
<<<1.2>>>
ماتریس اساسی و ماتریس گذار حالت و خواص آنها
Fundamental matrix and stste transition matrix and their properties
هم ارز یا معادل در سیستمهای LTV
State Space Representation for LTV Systems
پیاده سازی سیستمهای LTV
Realization of LTI Systems

4. Introduction
مقدمه
فرم کلی معادلات فضای حالت در سیستمهای غیر خطی
معادلات فضای حالت سیستمهای LTV
معادلات فضای حالت سیستمهای LTI
<<<3.6>>>
###State Space Models###
If initial condition and input are defined, then x(t), y(t) ?
اگر شرائط اولیه و ورودی مشخص باشد مقدار x(t) و y(t) چند است؟

5. Solution of LTI state equation
روش اول:
در فصول قبل دیدیم
با ضرب معادله حالت در e-At داریم:
با انتگرال از طرفین داریم:
<<<3.6>>>
###State Space Models###
و نهایتا
معادله انتقال حالت

6. Solution of LTI state equation
روش دوم
با تبدیل لاپلاس داریم
Convolution
integral
<<<3.6>>>
###State Space Models###
معادله انتقال حالت

7. Solution of LTI state equation
روشهای محاسبه eAt
1- سری نمایی:
2- یافتن چند جمله ای درجه n-1 :
<<<3.6>>>
###State Space Models###
3- استفاده از فرم جردن و ....
4- استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس

8. Solution of LTI state equation
مثال 4-1: سیستم مقابل را در نظر بگیرید.
مطلوبست x(t)
حل: می دانیم
پس ابتدا باید eAt را تعیین نمود.
<<<3.6>>>
###State Space Models###

9. Solution of LTI state equation
مثال 4-2: سیستم مقابل را در نظر بگیرید .
مطلوبست x(t) با فرض اعمال پله واحد
<<<3.6>>>
###State Space Models###

10. Equivalent state equation
معادلات فضای حالت همانند(معادل)
مثال 4-3: الف) مطلوبست معادلات فضای حالت با توجه به متغیرهای حالت انتخاب شده.
ب) مطلوبست معادلات فضای حالت با توجه به متغیرهای حالت انتخاب شده.

11. Equivalent state equation
معادلات فضای حالت همانند(معادل)
1- It can lead to a simpler system.
1- امکان ساده سازی سیستم
2- It doesn’t change the eigenvalues.
2- عدم تغییر مقادیر ویژه
3- Similar transfer function.
3- توابع انتقال یکسان
4- It doesn’t change observability.
4- عدم تغییر رویت پذیری
5- It doesn’t change controllability.
5- عدم تغییر کنترل پذیری

12. Equivalent state equation
معادلات فضای حالت همانند(معادل)
عدم تغییر مقادیر ویژه
تبدیل همانندی مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد

13. Equivalent state equation
معادلات فضای حالت همانند(معادل)
توابع انتقال یکسان
تبدیل همانندی تابع انتقال را تغییر نمی دهد

14. Equivalent state equation
معادلات فضای حالت همانند(معادل)
کاربرد تبدیلات همانندی
یافتن سیستمهای همانند ساده تر
فرمهای کانونی، فرم جردن، فرم مودال و
مدرج سازی برای پیاده سازی بهتر

15. Equivalent state equation
معادلات فضای حالت همانند(معادل)
کاربرد تبدیلات همانندی در مدرج سازی
مثال 4-5: سیستم مقابل را در نظر بگیرید.
[y,x,t]=step(A,b,c,d);
plot(t,x,t,y)
grid on
xlabel('Time(sec)')
برای پیاده سازی تماما خارج بازه ±10
تاثیر تبدیل همانندی بر خروجی y ؟؟؟
تاثیر تبدیل همانندی بر حالات x ؟؟؟

16. Equivalent state equation
معادلات فضای حالت همانند(معادل)
کاربرد تبدیلات همانندی در مدرج سازی
تمام متغیرها در بازه ±10

17. Zero state equivalent هم ارز حالت صفر
تعریف 4-1: دو دسته معادله فضای حالت را معادل (هم ارز) حالت صفر گویند اگر ماتریس تابع انتقال آنها یکسان باشد.
مثال 4-4: الف) آیا معادله فضای حالت زیر همانند هستند؟ معادل حالت صفر چطور؟
واضح است که همانند نیستند.
معادلات فضای حالت داده شده معادل حالت صفر هستند.

18. Zero state equivalent هم ارز حالت صفر
قضیه 4-1: دو دسته معادلات حالت زیر معادل حالت صفر (دارای تابع انتقال یکسان )هستند اگر و فقط اگر روابط زیر برقرار باشد.
اثبات: دو دسته معادلات حالت فوق دارای توابع انتقال زیر هستند:
با استفاده از بسط سری داریم:

19. Realization پیاده سازی
معادلات فضای حالت
توصیف ورودی-خروجی
(تابع انتقال)
This transformation
is unique
معادلات فضای حالت
توصیف ورودی-خروجی
(تابع انتقال)
Realization
This transformation
is not unique
نکته مهم: برای چه سیستمهایی امکان محاسبه توصیف فضای حالتی وجود دارد؟

20. Realization پیاده سازی
قضیه 4-2: ماتریس انتقال Gqp(s) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر G(s) ماتریس گویای مناسب باشد
اثبات: واضح است که برای اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد.
ماتریس انتقال G(s) قابل پیاده سازی
G(s) ماتریس گویای مناسب
ماتریس انتقال G(s) قابل پیاده سازی
G(s) ماتریس گویای مناسب
ابتدا به اثبات قسمت اول می پردازیم:
چون G(s) قابل پیاده سازی است لذا معادلات فضای حالت مقابل وجود دارد
پس تابع انتقال برابر است با

21. ماتریس انتقال G(s) قابل پیاده سازی
Realization
پیاده سازی
قضیه 4-2: ماتریس انتقال Gqp(s) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر G(s) ماتریس گویای مناسب باشد
حال طرف دوم قضیه را اثبات می کنیم:
ماتریس انتقال G(s) قابل پیاده سازی
G(s) ماتریس گویای مناسب
G(s) ماتریس گویای مناسب است لذا داریم:
در رابطه فوق:
حال ادعا می کنیم معادلات فضای حالت سیستم عبارتست از

22. Realization پیاده سازی
قضیه 4-2: ماتریس انتقال Gqp(s) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر G(s) ماتریس گویای مناسب باشد
حال ادعا می کنیم معادلات فضای حالت سیستم عبارتست از

23. Realization پیاده سازی
قضیه 4-2: ماتریس انتقال Gqp(s) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر G(s) ماتریس گویای مناسب باشد
حال ادعا می کنیم معادلات فضای حالت سیستم عبارتست از

24. Realization پیاده سازی
مثال 4-6: معادلات فضای حالتی سیستم مقابل را بدست آورید.

25. Realization پیاده سازی
مثال 4-6: معادلات فضای حالتی سیستم مقابل را بدست آورید.

26. Realization
پیاده سازی

27. Realization پیاده سازی
مثال 4-7: معادلات فضای حالتی سیستم مقابل را بدست آورید.
ستون اول:
ستون دوم:

28. Realization پیاده سازی
مثال 4-7: معادلات فضای حالتی سیستم مقابل را بدست آورید.
ستون اول:
ستون دوم:

29. Solution of LTV state equation
در این بخش هدف حل معادلات مقابل است.
ابتدا قسمت همگن را حل می کنیم:
تعریف 4-2(ماتریس اساسی): با فرض اینکه A دارای ابعاد nn است n شرط اولیه مستقل x1(t0) ، x2(t0) و ... xn(t0) در نظر میگیریم. فرض کنید x1(t) ، x2(t) و ... xn(t) پاسخ سیستم به شرایط اولیه انتخاب شده است در اینصورت ماتریس اساسی بصورت زیر تعریف می شود.
<<<3.6>>>
###State Space Models###

30. Solution of LTV state equation
مثال 4-8: ماتریس اساسی سیستم مقابل را بدست آورید.
شرایط اولیه مستقل بصورت مقابل در نظر گرفته می شود.
شرایط اولیه مستقل همچنین می تواند بصورت مقابل در نظر گرفته می شود.
<<<3.6>>>
###State Space Models###
نکته : ماتریس اساسی .....

31. Solution of LTV state equation
نکته : ماتریس اساسی X(t) در معادله همگن زیر صدق می کند.
پس داریم:
<<<3.6>>>
###State Space Models###
لم4-1 : ماتریس اساسی X(t) به ازای تمام زمانها غیر منفرد است.

32. Solution of LTV state equation
تعریف 4-3(ماتریس گذار حالت):
فرض کنید X(t) هر ماتریس اساسی معادله همگن زیر باشد:
در اینصورت ماتریس گذار حالت بصورت زیر تعریف میشود:
ماتریس گذار حالت جواب منحصر بفرد دستگاه معادله زیر است:
<<<3.6>>>
###State Space Models###

33. Solution of LTV state equation
مثال 4-9: ماتریس گذار حالت سیستم مقابل را بدست آورید.
در مثال قبل ماتریس اساسی سیستم محاسبه شد.
و برای ماتریس اساسی بعدی
<<<3.6>>>
###State Space Models###
نکته : ماتریس اساسی .....

34. 1- Φ(t,t) = I 2- Φ-1(t,t0)= Φ(t0,t) 3- Φ(t2,t1)Φ(t1,t0) = Φ(t2,t0)
Property of state transition matrix
خواص ماتریس انتقال حالت
Φ(t,t) = I
Φ-1(t,t0)= Φ(t0,t)
Φ(t2,t1)Φ(t1,t0) = Φ(t2,t0)
<<<3.6>>>
###State Space Models###

35. Solution of LTV state equation
در این بخش هدف حل معادلات مقابل بود.
ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق عبارتست از:
برای اثبات ادعای فوق ابتدا باید نشان دهیم معادله فوق شرط اولیه را ارضا می کند:
<<<3.6>>>
###State Space Models###
و همچنین باید رابطه داده شده در معادله بالا صادق باشد:
پس خروجی عبارتست از:

36. Solution of LTV state equation
در این بخش هدف حل معادلات مقابل بود.
ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق عبارتست از:
پس خروجی عبارتست از:
پاسخ ورودی صفر عبارتست از:
<<<3.6>>>
###State Space Models###
پاسخ حالت صفر عبارتست از:

37. Solution of LTV state equation
در این بخش هدف حل معادلات مقابل بود.
ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق عبارتست از:
پس خروجی عبارتست از:
پاسخ حالت صفر عبارتست از:
<<<3.6>>>
###State Space Models###
قبلا دیدیم:

38. Equivalent state equation for LTV systems
خواص مهم: عدم تغییر مقادیر ویژه و توابع انتقال یکسان
اما در مورد سیستمهای LTV داریم:
خواص مهم: عدم تغییر پاسخ ضربه

39. Equivalent state equation for LTV systems
قضیه 4-3: فرض کنید A0 ماتریس ثابت دلخواه باشد در اینصورت در رابطه بالا تبدیل P(t) را بگونه ای
می توان انتخاب نمود که
اثبات:

40. Equivalent state equation for LTV systems

41. Equivalent state equation for LTV systems
تعریف 4-4(تبدیل لیاپانوفی): ماتریس P(t) تبدیل لیاپانوفی نامیده می شود اگر
1- P(t) غیر منفرد باشد.
2- P(t) و P’(t) پیوسته باشد.
3- P(t) و P-1(t) برای تمام t کراندار باشد.

42. Equivalent state equation for LTV systems
مثال 4-11: برای سیستم مقابل تبدیل همانندی ای بیابید که
و سیستم جدید را نمایش دهید. آیا تبدیل بدست آمده لیاپانوفی است؟
تبدیل همانندی مورد نظر عبارتست از:
تبدیل بدست آمده لیاپانوفی نیست.

43. Realization for LTV systems
معادلات فضای حالت
This transformation
is unique
پاسخ ضربه
پاسخ ضربه
معادلات فضای حالت
Realization
This transformation
is not unique
نکته مهم: برای چه سیستمهایی امکان محاسبه توصیف فضای حالتی وجود دارد؟

44. Realization for LTV systems
قضیه 4-4: ماتریس پاسخ ضربه Gqp(t,) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر بتوان G(t,) را بصورت زیر
بیان نمود.
اثبات: واضح است که برای اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد.
ماتریس پاسخ ضربه G(t,) قابل پیاده سازی
ماتریس پاسخ ضربه G(t,) قابل پیاده سازی
ابتدا به اثبات قسمت اول می پردازیم:
چون پاسخ ضربه G(t,) قابل پیاده سازی است لذا معادلات فضای حالت مقابل وجود دارد
پس پاسخ ضربه عبارتست از:

45. Realization for LTV systems
قضیه 4-4: ماتریس پاسخ ضربه Gqp(t,) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر بتوان G(t,) را بصورت زیر
بیان نمود.
حال به اثبات قسمت دوم می پردازیم:
ماتریس پاسخ ضربه G(t,) قابل پیاده سازی
ادعا می کنیم معادلات فضای حالت سیستم مقابل عبارتست از:

46. Realization for LTV systems
مثال 4-12: پاسخ ضربه g(t)=teλt را در نظر بگیرید. در صورت امکان یک پیاده سازی LTI و یک پیاده سازی LTV بدست آورید.
پیاده سازی LTI :
پیاده سازی LTV :

47. Exercises تمرینها تمرین 4-1: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید:
مطلوبست پاسخ سیستم به شرط اولیه
تمرین 4-2: مطلوبست پاسخ پله واحد سیستم مقابل به پله واحد(شرط اولیه صفر است)
تمرین 4-3: مطلوبست فرم کانونی و فرم مودال سیستم مقابل:

48. Exercises تمرینها تمرین 4-4: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید:
تبدیل همانندی ای بیابید که دامنه متغیرهای حالت با خروجی یکسان باشد. اگر به ورودی
پله با دامنه a اعمال شود مقدار a را بگونه ای تنظیم کنید که کلیه حالات و خروجی در
بازه 10± باشد.
تمرین 4-5: معادله حالات مقابل را در نظر بگیرید آیا این دو معادله حالت همانند هستند؟
آیا هم ارز حالت صفر هستند.

49. Exercises تمرینها تمرین 4-6: پیاده سازی ماتریس انتقال مقابل را بیابید:
تمرین 4-7: پیاده سازی ماتریس انتقال مقابل را از طریق یافتن معادله حالت برای هر ستون و الحاق آنها را بیابید:

50. Exercises
تمرینها
تمرین 4-8: ماتریس اساسی و ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید:
تمرین 4-9: ماتریس اساسی و ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید:
تمرین 4-10: ماتریس اساسی و ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید:
تمرین 4-11: یک سیستم غیر متغیر با زمان برای سیستم مقابل بیابید:

51. Exercises
تمرینها
تمرین 4-12: در صورت امکان یک پیاده سازی LTI و یک پیاده سازی LTV برای سیستم
مقابل بیابید.
تمرین 4-13: در صورت امکان یک پیاده سازی LTI و یک پیاده سازی LTV برای سیستم
مقابل بیابید.
تمرین 4-14: برای ماتریس
نشان دهید:
تمرین 4-15: نشان دهید که X(t)=eAtCeBt جواب معادله زیر است:

52. Exercises تمرینها تمرین 4-16: فرض کنید
ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل است:
نشان دهید که:
تمرین 4-17: نشان دهید که جواب معادله
عبارتست از:
و همچنین مقادیر ویژه X(t) از t مستقل است.

53. Answers to selected problems
جواب 4-1:
جواب 4-2:
جواب 4-5: همانند نیستند ولی هم ارز حالت صفر هستند.
جواب 4-6:

54. Answers to selected problems
جواب 4-8:
جواب 4-9:
جواب 4-10:
جواب 4-12: