1. Predstavljanje nesavršenog znanja
Nesavršeno znanje izraženo kroz neizrazitost
NEIZRAZITA LOGIKA I TEORIJA MOGUĆNOSTI

2. Predstavljanje nesavršenog znanja
NEIZRAZITA LOGIKA I TEORIJA MOGUĆNOSTI
Lotfy Zadeh, 1965
Modelira nejasnost, nepreciznost.
U inženjerstvu često nalazimo oblik pravila:
AKO: u1 vrlo toplo i u2 manje-više nisko, TADA: podesi v1 vrlo visoko
Gdje su:
toplo, nisko, visoko (umjesto precizno 73C): Lingvističke varijable
vrlo, manje-više: Modifikatori varijabli
Sustav neizrazite logike u upravljanju procesima:
izrazito->neizrazito
neizr. zaključivanje
neizrazito->izrazito
izraziti vektor
izraziti skalar

3. Predstavljanje nesavršenog znanja: Teorija neizrazitih skupova
A  E ; A je podskup E, gdje je E skup koji definira domenu razmatranja.
Pripadnost elementa označujemo: x  A
Izražavanje pripadnosti preko karakteristične funkcije (funkcije pripadnosti):
A(x) = 1; ako x  A
A(x) = 0; ako x  A
Npr:
E = {x1, x2, x3, x4, x5} ; domena, okvir razmatranja
A = { x2, x3, x4}
Tada:
A(x1) = 0, A(x2) = 1, A(x3) = 1, A(x4) = 1, A(x5) = 0
ili drugačije:
A = {x1/0, x2/1, x3/1, x4/1, x5/0}
Skup je izrazit ako karakteristična funkcija može poprimiti diskretnu vrijednost 0 ili 1.

4. Predstavljanje nesavršenog znanja: Teorija neizrazitih skupova
Skup je neizrazit ako karakteristična funkcija može poprimiti bilo koju vrijednost iz intervala [0, 1].
Primjer neizrazitog diskretnog skupa malih (lingvistička varijabla) cijelih brojeva:
A~ = {0/1, 1/1, 2/1, 3/0.8, 4/0.6, … }
Interpretacija: 0,1 i 2, potpuno pripadaju skupu, 3 pripada velikim dijelom, 4 pripada nešto manje nego 3, …
Jedna moguća oznaka za neizrazit skup (nije standard): A~
Vrijednosti karakteristične funkcije  odabrane su subjektivno.
Lingvistička varijabla opisana je vrijednostima karakteristične funkcije.

5. Predstavljanje nesavršenog znanja: Teorija neizrazitih skupova
Primjeri kontinuiranih neizrazitih skupova:
visok i nizak (lingvističke varijable) čovjek
Element 175cm pripada skupu visok (A = 0.75) i nizak (B = 0.25) (s različitim vrijednostima karakterističnih funkcija).
Element 170cm jednako pripada skupu visok i nizak (karakteristične funkcije imaju jednaku vrijednost A = B = 0.5).
visina
visok
nizak
170
180
160 
1.0
(cm)

6. Predstavljanje nesavršenog znanja: Teorija neizrazitih skupova
Operacije s neizrazitim skupovima
(sve oznake za skupove odnose se na neizrazite skupove, tj, A = A~, B = B~ , A' je komplement neizrazitog skupa)
A = B, akko A(x) = B(x), za xE (jednakost)
A  B , akko A(x)  B(x), za xE (podskup)
A' (x) = 1 - A(x) (komplement)
(AB) = min[A, B] (presjek)
(AB) = max[A, B] (unija)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (distributivnost)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (distributivnost)
(A  B)  C = A  (B  C) (asocijacija)
(A  B)  C = A  (B  C) (asocijacija)
A  B = B  A (komutacija)
A  B = B  A (komutacija)
A  A = A
A  A = A
A  0 = 0
A  E = E
(AB)' = (A'B') (DeMorgan)
(AB)' = (A'B') (DeMorgan)
A  A'  0
A  A'  E

7. Predstavljanje nesavršenog znanja: Teorija neizrazitih skupova
Modifikatori lingvističkih varijabli
(modificiraju karakterističnu funkciju)
"vrlo" (koncentracija): con(A~) = [A(x)]2
"manje-više" (dilatacija): dil(A~) = [A(x)]1/2
Modifikatora lingvističkih varijabli ima mnogo.
Modifikatori lingvističkih varijabli nisu standardizirani.
Gornji izrazi su uobičajeni.
con
dil
1.0 

8. Predstavljanje nesavršenog znanja
Neizrazita logika
Svaka atomička izjava preslikava se u karakterističnu funkciju (diskretnu ili kontinuiranu).
Npr:
P: "x je mali cijeli broj.“, preslikava se u karakterističnu funkciju (A).
Q: "Ivan je visok.“, preslikava se u karakterističnu funkciju (B).
Logički operatori (izvode se nad vrijednostima karakterističnih funkcija i rezultiraju u novoj karakterističnoj funkciji):
Negacija: (A) = 1 - (A)
Konjunkcija: (AB) = min[(A), (B)]
Disjunkcija: (AB) = max[(A), (B)]
(sve oznake skupova odnose se na neizrazite skupove)

9. Predstavljanje nesavršenog znanja
Neizrazita logika
Implikacija:
Klasična logika: (P  Q) = (P  Q) = (P  (Q))
Neizrazita logika:
(AB) = max[(1 - (A)), (B)] = 1 - min[ (A), (1 - (B))]
Postoji mnogo izvedenica koje su logički ekvivalentne.

10. Predstavljanje nesavršenog znanja
Neizrazita logika:
Problem implikacije: (AB) = 1 - min[ (A), (1 - (B))]
Implikacija preslikava pravilo: Ako A tada B.
Ako je domena B konačna, i implikacija mora rezultirati u nečem konačnom.
Protuprimjer (domena implikacije je beskonačna): 
(AB) A B
Predložene su inženjerske definicije implikacije:
1. (AB) = min [(A) , (B) ]
min, Mamdani, 1974
2. (AB) = [(A) · (B)]
produkt, Larsen, 1980

11. Predstavljanje nesavršenog znanja
Neizrazita logika i poopćeni “Modus ponens”
Klasična logika: A
A  B
B ; pri čemu A u formulama moraju biti striktno jednaki.
Neizrazita logika: A1
A2  B1
B2 ;pri čemu A1 i A2, te B1 i B2 su slični neizraziti skupovi.
Premise kao neizraziti skupovi predstavljene su karakterističnim funkcijama, a zaključak je njihova kompozicija:
(B2) = (A1)  (A2 B1)
Kompozicija se može definirati na razne načine.
Npr. (proširuje se na n sudova):
(B2) = max [min ((A1) , (A2 B1))] (max-min, Zadeh)
(B2) = max [ (A1) · (A2 B1)] (max- produkt)

12. Predstavljanje nesavršenog znanja
Poopćeni Modus Ponens – Primjer s neizrazitim diskretnim skupovima:
Neka je domena razmatranja skup: E = {1, 2, 3, 4}
Premise: A: x je mali cijeli broj.
B: y i x su približno jednaki.
Zaključak: y je ? (traži se karakteristična funkcija zaključka)
Neka je subjektivno karakteristična funkcija premise A:
A = {1/1, 2/0.6, 3/0.2, 4/0}
B: karakterističnu funkciju definiramo kao matricu koja ima vrijednosti 1 ako su vrijednosti x i y jednake, 0.5 ako su susjedne (malo se razlikuju) i 0 ako su udaljene. 1 2 3 4
0.5

13. Predstavljanje nesavršenog znanja
Poopćeni Modus Ponens – Primjer s neizrazitim diskretnim skupovima:
Kompoziciju računamo prema max-min pravilu (Zadeh):
(A)  (B) = max { min [(1 , 1 ), (0.6, 0.5), (0.2, 0), (0, 0) ],
min [(1, 0.5), (0.6, 1), (0.2, 0.5), (0, 0) ],
min [(1, 0), (0.6, 0.5), (0.2, 1), (0, 0.5)],
min [(1, 0), (0.6, 0), (0.2, 0.5), (0, 1) ] } =
= max { [1, , 0, 0],
[0.5, 0.6, 0.2, 0],
[0, , 0.2, 0],
[0, 0, , 0] } =
= {1, 0.6, 0.5, 0.2}
Zaključak: y je također mali cijeli broj (nešto malo više nego x).

14. Predstavljanje nesavršenog znanja
Teorija mogućnosti temeljena na neizrazitoj logici
Vjerojatnost (engl. probability) daje mjeru (šansu) da će se događaj realizirati.
Mogućnost (engl. possibility) daje mjeru (vrijednost karakteristične funkcije) pripadnosti skupu.
Primjeri:
p – vjerojatnost
 - vrijednost karakteristične funkcije (mjera pripadnosti skupu)
Na boci s vodom piše:
p(pitka:voda) = 0.9
(pitka_voda) = 0.9
Na hladnjaku piše:
p(pivo_je_u_hladnjaku) = 0.5
(pivo_je_u_hladnjaku) = 0.5
Postoji 10% šanse da voda nije za piće. Voda nije savršena, ali se može piti.
U 50% slučajeva nema piva u hladnjaku. U hladnjaku je pola boce piva.

15. Predstavljanje nesavršenog znanja
Zaključivanje s neizrazitim pravilima
(Ekspertni sustavi temeljeni na neizrazitoj logici):
izrazito->neizrazito
neizr. zaključivanje
neizrazito->izrazito
izraziti vektor
izraziti skalar
Neka u ekspertnom sustavu postoji baza znanja sa slijedećim pravilima:
rule 1: if x is low and y is low then z is high
rule 2: if x is low and y is high then z is low
rule 3: if x is high and y is low then z is low
rule 4: if x is high and y is high then z is high
Uočavamo da postoji 6 lingvističkih varijabli bez modifikatora:
x_low, x_high, y_low, y_high, z_low, z_high
U prvom koraku potrebno je za svaku lingvističku varijablu definirati odgovarajuću karakterističnu funkciju.

16. Predstavljanje nesavršenog znanja
Neka je 6 karakterističnih funkcija definirano kako slijedi:
(u realnom sustavu sve će funkcije biti različite i glatke, npr “high”: 10 1  10 1 
x_low x_high
y_low y_high
z_low z_high 10 1  10 1  10 1  10 1 

17. Predstavljanje nesavršenog znanja
Neka je na ulazu u sustav izrazite vrijednosti: x=0.0, y=3.2
Sustav mora odrediti izrazitu vrijednost z.
Postupak:
1. Izračunaj konjunkciju AKO strana svakog pravila (oznaka 1, 2, 3, 4).
( se računa operacijom min, t.j. za svaku lingvističku varijablu izračuna se vrijednost karakteristične funkcije za izraziti ulaz i odabere najmanja vrijednost između svih konjunkcijskih članova u pojedinom pravili)
1: U prvom pravilu x_low za x=0.0 slijedi =1.0, a y_low za y=3.2 slijedi =0.68. Minimum je dakako 0.68, te je 1=0.68.
Analogno za ostala pravila.
1 = 0.68
2 = 0.32
3 = 0
4 = 0

18. Predstavljanje nesavršenog znanja
Nakon određivanja  konjunkcija, postupak se nastavlja na dva moguća načina (2.1. i 2.2.).
Zaključivanje MIN_MAX postupkom:
 utječe na TADA stranu odgovarajućeg pravila tako da reže njegovu karakterističnu funkciju, ovdje (z). Rezultat su izmijenjene karakteristične funkcije lingvističkih varijabli TADA strane svakog pravila.
rule1(z) = z/10, ako z  6.8
0.68, ako z  6.8
rule2(z) = 0.32, ako z  6.8
1 - z / 10, ako z  6.8
rule3(z) = 0.0
rule4(z) = 0.0 10
6.8
3.2
1.0
0.68
0.32  R1 R2
R3, R4
8.4
fuzzy(z)

19. Predstavljanje nesavršenog znanja
Izvede se kompozicija svih pravila MAX postupkom
Kompozicija se izvodi povlačenjem po maksimumima (označeno točkasto na prethodnoj slici).
Slijedi neizraziti zaključak temeljem svih pravila:
fuzzy(z) = 0.32, ako z  3.2
z/10, ako 3.2  z  6.8
0.68, ako z  6.8
Odredi se izrazita vrijednost zaključka (engl. defuzzification) postupkom AVG_OF_MAXIMA (srednja vrijednost maksimuma).
Izrazita vrijednost zaključka: z = 8.4

20. Predstavljanje nesavršenog znanja
Neki problemi s određivanjem AVG – MAX (1/2)
AVG-MAX = srednja vrijednost svih maksimuma
= ( ) / 4 = 4.0

21. Predstavljanje nesavršenog znanja
Neki problemi s određivanjem AVG – MAX (2/2)
Raniji postupak: ( ) / 6 = 4.0
Bolje težinski:
Zbrajamo umnoške sredine i širine intervala maksimuma.
Dijelimo sa sumom širina intervala.
Prvi interval: sredina maksimuma u točki 1.5, širina intervala 1.0.
Analogni postupak za ostale rezultira u:
(1.5 x x x x 0) / ( ) = 3.833

22. Predstavljanje nesavršenog znanja
Zaključivanje PRODUCT postupkom (množenje).
 Utječe na TADA stranu odgovarajućeg pravila tako da atenuira (množi) karakterističnu funkciju ovdje (z). Rezultat su izmijenjene karakteristične funkcije (lingvističkih varijabli) TADA strane svakog pravila.
rule1(z) = z
rule2(z) = z
rule3(z) = 0.0
rule4(z) = 0.0
R3, R4 R1 R2
1.0
0.68
0.32 
5.6 10
fuzzy(z)

23. Predstavljanje nesavršenog znanja
Izvede se kompozicija svih pravila SUMIRANJEM
Iz kompozicije sumiranjem svih karakterističnih funkcija slijedi neizraziti zaključak temeljem svih pravila (označeno crtkano na prethodnoj slici). Može se dogoditi da suma karakterističnih funkcija daje vrijednosti > 1. U tom slučaju suma se mora skalirati prema dolje na maks 1.
fuzzy(z) = z
Odredi se izrazita vrijednost zaključka (engl. defuzzification) postupkom određivanja težišta (engl. centroid), t.j. podijeli se moment funkcije površinom ispod nje.
moment f(w) =  w f(w) dw, od 0 do 10 =
= (0.16 ·10 · ·10 ·10 ·10) = ( ) = 28
površina f(w) =  f(w) dw, od 0 do 10 =
= (0.32 · · 100) = ( ) = 5.0
Težište je 5.6, pa je izrazita vrijednost zaključka z = 5.6

24. Predstavljanje nesavršenog znanja
Sustavi temeljeni na neizrazitim pravilima - sažetak
Podudaranje AKO strana pravila s činjenicama:
ako su činjenice izrazite, a konjunkcijski članovi neizraziti, očitaju se vrijednosti karakterističnih funkcija svakog člana.
Izračun ukupne AKO strane () izvodi se operacijom MIN.
 djeluje na neizrazitu TADA stranu (danu karakterističnom funkcijom) na način da:
Reže odgovarajuću karakterističnu funkciju TADA strane svakog pravila, te:
Izvede se kompozicija svih izmijenjenih karakterističnih funkcija TADA strana pravila MAX postupkom. Slijedi neizraziti zaključak.
Izraziti zaključak izvede se AVG_OF_MAX postupkom.
ili na način da:
Množi odgovarajuću karakterističnu funkciju TADA strane svakog pravila, te:
Izvede se kompozicija svih izmijenjenih karakterističnih funkcija TADA strana pravila sumiranjem. Slijedi neizraziti zaključak.
Izraziti zaključak izvede se izračunom težišta.
To je preporučena metoda u primjenama automatskog upravljanja.

25. Predstavljanje nesavršenog znanja
Sustavi temeljeni na neizrazitim pravilima
Do sada je promatrano:
Činjenice izrazite, konjunkcijski dijelovi AKO strane pravila neizraziti, TADA strane pravila neizrazite.
Moguće su sve kombinacije:
1. Sve činjenice izrazite, svi konjunkcijski dijelovi AKO strane izraziti:
Mora postojati potpuno slaganje svih parova činjenica-konjunkcijski dio AKO strane, t.j. =1. Nakon toga:
ako je TADA strana izrazita, slijedi klasičan ekspertni sustav s pravilima (CLIPS).
ako je TADA strana neizrazita, karakteristična funkcija te strane je neizmijenjena (=1). Kompozicija svih TADA strana i izračun izrazitog zaključka slijedi postupak kao što je pokazano ranije.

26. Predstavljanje nesavršenog znanja
2. Neke činjenice izrazite a neke neizrazite, neki konjunkcijski dijelovi AKO strane izraziti a neki neizraziti:
Slaganje izrazitih činjenica s izrazitim dijelovima AKO strane mora biti potpuno. Izrazite činjenice i neizraziti AKO – vidi raniji primjer.
Slaganje neizrazitih činjenica s neizrazitim dijelovima AKO strane pravila svodi se na prekrivanje, koje ne mora postojati, može biti djelomično ili pak potpuno.
Primjer:
Izračun  AKO strane pojedinog pravila izvodi se odabirom jednog minimalnog prekrivanja, pri čemu je prekrivanje izrazitih vrijednosti i =1, a prekrivanje neizrazitih vrijednosti n  1. Dakle od pojedinih i i n odabere se minimalni koji postaje  za to pravilo.
prekrivanje jednog para  1 1
neizraziti konjunkcijski dio AKO strane AKO
neizr. činjenica F
1 = max [min (F , AKO]

27. Predstavljanje nesavršenog znanja
Zaključujemo da u slučaju kada su neke činjenice izrazite a neke neizrazite, i neki konjunkcijski dijelovi AKO strane izraziti a neki neizraziti generira se  kao minimalno prekrivanje odgovarajućih parova činjenica i konjunkcijskih dijelova AKO strane. Vrijednost  je u intervalu [0, 1].
Ako je TADA strana pravila izrazita, pravilo se aktivira ali se TADA strana ne mijenja.
Ako je TADA strana pravila neizrazita,  reže ili množi TADA stranu.
Zaključivanje temeljem svih pravila slijedi ranije pokazan postupak.
Nedostatak pokazanog postupka zaključivanja u sustavu temeljenom na neizrazitoj logici:
Pretraživanje prekrivajućih parova činjenica i dijelova AKO strana pravila je dugotrajno.
I najmanje prekrivanje na AKO strani stavlja pojedino pravilo u skup za donošenje zaključka.
U donošenju zaključka (AVG_OF_MAX ilii TEŽIŠTE) sudjeluje veliki broj pravila što rezultira u sporom izvođenju.

28. Predstavljanje nesavršenog znanja
Poboljšanje efikasnosti sustava zasnovanog na neizrazitoj logici
Faktori izvjesnosti (CF) - (engl, certainty factor)
Ideja:
Činjenicama i pravilima pridružiti težinske faktore CFi koji opisuju značaj toga entiteta u sustavu.
Pri izračunu prekrivanja parova činjenica i AKO dijelova pravila odrediti CFAKO za cijeli AKO dio pravila.
Temeljem izvornog CF pravila i izračunatog CFAKO za AKO stranu pravila odrediti novi faktor izvjesnosti CFC svakog pravila.
Ako je novi faktor izvjesnosti pravila manji od unaprijed postavljenog praga, to pravilo treba isključiti iz skupa za donošenje zaključka.

29. Predstavljanje nesavršenog znanja
Određivanje izvornih faktora izvjesnosti
Činjenice: pridruživanje CF svakoj činjenici je sasvim heuristički (npr. točnost mjerenja neke veličine, statistički iz povijesti itd.).
Pravila: Najčešće koristimo pojednostavljene uvjetne vjerojatnosti kao faktore izvjesnosti.
AKO: E, TADA: H, P(H | E) (ovdje samo jedan član na AKO strani)
gdje je P(H | E) uvjetna vjerojatnost da će se dogoditi H (hipoteza) ako se dogodio E (evidencija). Uvjetna vjerojatnost P(H | E) može semantički preuzeti ulogu faktora izvjesnosti CF pravila.
Primjer iz medicine:
Liječnik zna (iz svoje statistike) da je apriorna vjerojatnost meningitisa P(M), apriorna vjerojatnost ukrućenog vrata P(V), te vjerojatnost ukrućenog vrata kod dijagnosticiranog meningitisa P(V | M).
Kolika je vjerojatnost meningitisa ako se pojavi pacijent s ukrućenim vratom ?
P(M | V) je vjer. hipoteze uz evidenciju t.j. P(H | E), odnosno faktor izvjesnosti CF.
P(M | V) = P(V | M) · P(M) / P(V) uz uporabu Bayesovog pravila

30. Predstavljanje nesavršenog znanja
Određivanje izvornih faktora izvjesnosti
Pravilo s više dijelova na AKO strani:
AKO: E1, E2, ... , Em, TADA: H, P(H | E1, E2, ..., Em)
Bayesovo pravilo daje:
P(E1, E2, ..., Em | Hk) P(H)
P(H | E1, E2, ..., Em) =
P(E1, E2, ..., Em)
m istodobnih Em (simptoma) zahtijeva 2m (svi podskupovi) apriornih vjerojatnosti. Eksponencijalna složenost nedopustiva.
Redukcija složenosti: Ei su međusobno nezavisni (vrlo jako pojednostavljenje).
P(E1, E2, ..., Em | Hk) = P(E1 | Hk) · P(E2 | Hk) · … · P(Em | Hk)
P(E1, E2, ..., Em) = P(E1) · P(E2) · … · P(Em)
P(E1 | Hk) P(E2 | Hk) P(Em | Hk)
P(H | E1, E2, ..., Em) = P(Hk)
P(E1) P(E2) P(Em)

31. Predstavljanje nesavršenog znanja
Računanje s faktorima izvjesnosti CF
Izvorni faktori izvjesnosti činjenica CFi dobiveni heuristički.
Izvorni faktori izvjesnosti pravila CFR dobiveni pojednostavljenom uvjetnom vjerojatnosti.
1. Određivanje CF s izrazitim vrijednostima
Činjenice: izrazite s faktorima izvjesnosti CF CFn
Pravilo: AKO strane izrazite, TADA strana izrazita ili ne,
faktor izvjesnosti pravila CFR .
Novi faktor izvjesnosti pravila:
CFC = CFR  min[CF1 , , CFn]
Odabere se minimalni CF temeljem slaganja parova činjenica s AKO dijelovima u pravilu. Dobiveni minimalni CF množi izvorni CFR pravila.
Slijedi faktor izvjesnosti zaključka (TADA strane pravila) CFC .

32. Predstavljanje nesavršenog znanja
2. Određivanje CF s neizrazitim vrijednostima
Moramo promotriti zasebno svaki par prekrivanja (jedna neizrazita činjenica i jedan neizraziti dio u AKO strani pravila).
Činjenica: neizrazita, faktor izvjesnosti CF~1 (npr. 0.8)
Pravilo: AKO strana neizrazita,
TADA strana izrazita ili ne,
faktor izvjesnosti pravila CF~R (npr. 0.7)
Novi faktor izvjesnosti pravila:
CFC = (CF~ · S1) · CF~R
gdje je S1 = mjera sličnosti činjenice i AKO dijela s kojim se činjenica prekriva.
Ako postoji prekrivanje više parova činjenica i dijelova AKO strane, u izračunu se uzima minimalni umnožak faktora izvjesnosti činjenice i odgovarajuće sličnosti s AKO dijelom pravila. Taj se umnožak dalje množi s izvornim faktorom izvjesnosti pravila CF~R.
CFC = {min[(CF1· S1), (CF2· S2), … (CFm· Sm)] · CF~R }

33. Predstavljanje nesavršenog znanja
Izračunavanje mjere sličnost (Cayrol, Farency, Prade 1982)
S = P(R | F) ako N(R | F) > 0.5
= [N(R | F) + 0.5]  P(R | F) inače
gdje je:
R = R = karakt. funkcija jednog konjunkcijskog dijela AKO strane
F = F = karakt. funkcija jedne činjenice
P(R | F) = max [ min ( R, F )] - mjera mogućnosti (engl. possibility)
N(R | F) = 1 - P(R' | F ) - mjera nužnosti (engl. necessity)
R’ je komplement, t.j. R' = 1 - R
Primjer:
P(R | F) = max min = 0.8
prekrivanje (min) pa vrh (max)
0.8 F R

34. Predstavljanje nesavršenog znanja
Izračunavanje mjere sličnost (Cayrol, Farency, Prade 1982)
Sad računamo P(R’ | F):
P(R’ | F) = max min = 0.667
N ( R | F) = 1 - P(R' | F)
= = 0.333
Što je < 0.5 , te je sličnost:
S = [ N(R | F) ] P( R | F)
= [ ] 0.8 = 0.667
Prema tome je novi faktor izvjesnosti pravila (pod pretpostavkom da postoji samo jedan par činenica – AKO član):
CFC = (CFF  S ) · CFR = 0.8 x x 0.7 =
Može se postaviti prag okidanja pravila > 0.4, te ovo pravilo neće sudjelovati u
zaključku.
Uobičajeno (heuristički): CFC > 0.2  0.25 F
1 - R

35. Predstavljanje nesavršenog znanja
Dodatni postupci za izračun faktora izvjesnosti
Upis nove činjenice kao rezultat zaključivanja
Npr.:
Činjenica: F1 , CFF1 =0.9
Pravilo: AKO F1,
TADA (F2 uz CFF2 = 0.7) , CFR = 0.8
Pravilo se aktivira (F1  AKO F1) i nova činjenica F2 upisuje se u skup
činjenica, ali sa promijenjenim faktorom izvjesnosti CFF2 :
CFF2 = 0.9 x 0.7 x 0.8 = 0.504

36. Predstavljanje nesavršenog znanja
Dodatni postupci za izračun faktora izvjesnosti
Višestruki doprinos jednoj hipotezi
Pravilo može svojim zaključkom upisati činjenicu Fn
(uz faktor izvjesnosti CFFn ) , koja već postoji u skupu činjenica kao
F (uz faktor izvjesnosti (CFF ).
(Vidi raniji primjer uz pretpostavku da je F1 = F2).
Obnovljena (ista) činjenica dobiva novifaktor izvjesnosti:
CF = max [ CFFn , CFF ]
Ako su nova i stara vrijednost činjenice izrazite:
obnovljena izrazita vrijednost ostaje neizmijenjena. Mijenja se samo faktor izvjesnosti (max).
Ako su nova i stara vrijednost činjenica neizrazite:
obnovljena vrijednost je unija dviju karakterističnih funkcija (karakteristične funkcije iste neizrazite činjenice mogu se razlikovati zbog npr. primjene različitog modifikatora lingvističke varijable – činjenice).

37. Predstavljanje nesavršenog znanja
Zaključci o rukovanju s neizrazitim (nejasnim) znanjem
Primjena neizrazite logike u oblikovanju ekspertnih sustava ima problematičan izbor operatora (npr. inženjerska implikacija, sličnost S, prag okidanja, računanje faktora izvjesnosti).
Rukovanje s faktorima izvjesnosti (težinskim faktorima činjenica i pravila) nije utemeljeno na matematički potvrđenoj teoriji.
Činjenicama se faktori izvjesnosti pridjeljuju heuristički.
Pravilima se faktori izvjesnosti pridjeljuju preko pojednostavljene uvjetne vjerojatnosti.
Ulančavanjem konjunkcija u AKO strani pravila izvodi se skupni faktor izvjesnosti AKO strane pravila operacijom MIN.
Izmijenjeni težinski faktor aktiviranog pravila izvodi se operacijom PRODUKT.
Ako se aktivacijom pravila upisuje nova činjenica, njen izvorni faktor izvjesnosti se modificira tako da se množi sa skupnim faktorom AKO strane i s faktorom izvjesnosti pravila.
Za višestruki upis iste činjenice (višestruka potvrda hipoteze) obnovljeni faktor izvjesnosti izvodi se operacijom MAX (unija).