1. עצים root הגדרת עץ חופשי: גרף לא מכוון ללא מעגלים
עץ מושרש: קובעים קודקוד שורש: הקודקוד העליון

2. עצים בינאריים a לכל קודקוד יש לכל היותר שני בנים.
יש חשיבות לסדר כלומר: יש הבדל בין LEFT ל- RIGHT c b d e f g h

3. מימוש עצים בינאריים *root value L R null value value L R P L R P value

4. How About Trees with Higher Degree?
If highest degree is d:
value S1 S2 S3 Sd P

5. Problem: What if few nodes have high degree d
but most have very low degree?
we end up wasting space!
Solution: linked lists.
Do:
Instead of:
value S P
value S1 S2 S3 Sd P S1 S1 S1 S1

6. יער יער - אוסף של עצים כללים. איך לאחסן בצורה טובה?
רעיון דומה לאחסון עץ לא בינארי וקיצור דרך...

7. ייצוג יער g a b c h i j d e f k k a g l b c d e f

8. ייצוג יער בעזרת עץ בינארי
שורשי העצים k a g b c h i j l
בן של g d e f g a
רשמת האחים של d b c h i j d e f k l

9. ייצוג יער בעזרת עץ בינארי
שורשי העצים k a g b c h i j l
בן של g d e f
רשימת אחים של d

10. DFS Forest A E A B C C F D D F E B
Back arrow

11. Binary Tree Traversal Do DFS on the tree: Preorder: First Visit
Inorder: Second Visit
Postorder: Third Visit

12. ביטוי אלגברי
-+ABC: Prefixא.
A+B-C: Infixב.
AB+C-: Postfixג.

13. עץ חישוב * - + 3 / 9 2 5 7 infix: (3+(5/7))*(9-2)
postfix ??? prefix ???

14. Preorder 1 2 2 3 Preorder( node* v ) if (v==null) return; 1.
Print v->value 2.
Preorder( v->left ) 3.
Preorder( v->right )

15. דוגמא * + 5 - 3 9 7
Prefix: * + 5 7 - 9 3

16. Inorder 2 1 3 Inorder( node* v ) if )v==null( return;
Inorder( v->left ) 1.
Print v->value 2.
Inorder( v->right ) 3.

17. דוגמא * + 5 - 3 9 7
Infix: ( )
5+7 * 9-3

18. Postorder 3 1 2 Postorder( node *v ) if )v ==null ) return
Postorder( v->left ) 1.
Postorder( v->right ) 2.
Print v->value 3.

19. דוגמא * + 5 - 3 9 7
Postfix: *

20. סיכום - עץ חישוב * - + 3 / 9 2 5 7 infix: (3+(5/7))*(9-2)
* + 3 / 5 7 – 9 2
prefix:
3 5 7 / *
postfix:

21. עץ חיפוש בינארי 6 8 2 1 5 7 9 3

22. הגדרה x <x >x T עץ חיפוש בינארי אם: T הוא עץ בינארי.
כל האברים שבתת-עץ השמאלי קטנים מהשורש.
כל האברים בתת-עץ הימני גדולים מהשורש.
תתי-עצים הימני והשמאלי הם עצי חיפוש בינארים. x
<x
>x

23. עצי חיפוש בינארי לכל קבוצת איברים יש מספר עצי חיפוש בינאריים: דוגמא:
{1,2,3,4} 1 3 4 1 2 2 2 3 1 3 4 4

24. עץ חיפוש בינארי - פעולות6 8 2 1 5 7 9 3
פעולות:
1. T <- MAKE ()
2. FIND(x)
3. INSERT(x)
4. DELETE(x)

25. עץ חיפוש בינארי - חיפוש find(3) 3<6 ? 6 3<2 ? 8 2 3<5 ? 1 5 7
עץ חיפוש בינארי - חיפוש
find(3)
3<6 ? 6
3<2 ? 8 2
3<5 ? 1 5 7 9 3
found!!

26. עץ חיפוש בינארי - הוספה insert(7.5) 7.5<6 ? 6 7.5<8 ? 8 2
7.5<7 ? 1 5 7 9
7.5 3

27. עץ חיפוש בינארי -מחיקה בעיה: איך בדיוק? לדוגמא: מחק את '2' 6 8 2 1 5 7
עץ חיפוש בינארי -מחיקה
בעיה:
איך בדיוק?
לדוגמא: מחק את '2' 6 8 2 1 5 7 9 3

28. עץ חיפוש בינארי -מחיקה ??? כדי לפתור בעיה זו נחלק למספר מקרים:
עץ חיפוש בינארי -מחיקה
כדי לפתור בעיה זו נחלק למספר מקרים:
א. האיבר שאנו רוצים למחוק הוא עלה (כלומר אין לו בנים).
ב. לאיבר שאנו רוצים למחוק יש רק בן אחד.
ג. לאיבר שאנו רוצים למחוק יש שני בנים.
???

29. מקרה א
דוגמא: כדי למחוק את 3 כל מה שצריך זה לעדכן את הבן הימני של 2 ל-null ולשחרר אותו. 6 8 5 7 9 2 1 3

30. מקרה ב
דוגמא: כדי למחוק את 5 נעדכן את הבן השמאלי של 6 להיות 2 ונשחרר את 5 6 8 5 7 9 2 1 3

31. מקרה ג 6 8 4 7 9 2 5 1
דוגמא: כדי למחוק את 4: נשים במקומו את האיבר הכי גדול שקטן ממנו (הקודם המיידי), נסמנו ב-x (במקרה שלנו 3). ונמחק את הקודקוד ש-x היה שם (זה קל כי ל-x לא יכול להיות בן ימיני). 3

32. מקרה ג 6 8 3 7 9 2 5 1
דוגמא: כדי למחוק את 4: נשים במקומו את האיבר הכי גדול שקטן מימנו (הקודם המיידי), נסמנו ב-x (במקרה שלנו 3). ונמחק את הקודקוד ש-x היה שם (זה קל כי ל-x לא יכול להיות בן ימיני). ?

33. מקרה ג איך מוצאים את הקודם המיידי? 6 8 3 7 9 2 5 1
פונים שמאלה ויורדים עד הסוף ימינה.

34. דוגמא נוספת
delete(4) 6 8 4 7 9 2 5 1 3
2.5

35. דוגמא נוספת
delete(4) 6 8 3 7 9 2 5 1 ?
2.5

36. דוגמא נוספת
delete(4) 6 8 3 7 9 2 5 1
2.5

37. איך מוכיחים טענות על עצים?
אינדוקציה

38. עץ בינארי מורחב
עץ בינארי שבו כל צומת הוא או אב לשני בנים או שאין לו בנים.
עלה
צומת פנימי
הערה: כאשר מדברים על מספר הצמתים בעץ בינארי מורחב, מדברים על צמתים פנימיים ללא עלים. (בדוגמא יש 4 צמתים)
טענה: בעץ בינארי מורחב בעל n צמתים יש בדיוק n+1 עלים.

39. הוכחה באינדוקציה 1. בסיס האינדוקציה: צומת אחד, שני בנים.
2. הנחת האינדוקציה: נניח כי בעץ בעל n-1 צמתים יש בדיוק n עלים.
3. נספור כמה צמתים חיצוניים יש לעץ בעל n צמתים.
- נבחר קודקוד פנימי שהוא אב לשני קודקודים חיצוניים.
- נוריד אותו ובמקומו נשים קודקוד חיצוני .
- העץ החדש מתאים להנחת האינדוקציה, לכן מספר הקודקודים החיצוניים בעץ המקורי:
1 (שהוספנו) – 2 (שהורדנו) + n (מהנחה) = n+1

40. טענה נוספת
יהיו l1,l2,…,ln+1 רמות של n+1 העלים החיצוניים בעץ בינארי מורחב בעל n צמתים פנימיים. אזי i=1n+1(2-li)= 1
1/4
1/4
1/4
1/8
1/8
Sum = 1/8 + 1/8 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

41. הוכחה באינדוקציה 1. בסיס האינדוקציה: 1/2+1/2=1.
2. הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור עץ בעל n-1 צמתים פנימיים.
3. נבדוק בעץ בעל n צמתים פנימיים.
- נחזור על הטריק מההוכחה הקודמת.
- העץ החדש מתאים להנחת האינדוקציה, לכן נוכל לטעון : i=1n(2-li)= 1 .
- נבדוק את השינוי שעשינו:
1 = 1 – 2-h + 2*(2-(h+1))

42. סיבוכיות הסיבוכיות של חיפוש במקרה הגרוע:
לכל פעולה היא O(h), כאשר h=גובה העץ.
h-במקרה הגרוע הוא O(n)

43. עץ בינארי מלא אז מה העץ הכי טוב? עץ בינארי מלא!
עץ בינארי מלא קיים רק ל-n מסוימים:
n=1+2+4+…+2h=2h+1-1

44. עץ בינארי מאוזן לחלוטין
אך לא בכל מקרה יש עץ בינארי מלא!
לכן נוכל לקוות לבנות עץ כמעט מלא.
כל העלים החיצונים נמצאים ברמה h או ברמה h-1.
זה העץ הכי טוב שקיים. 2
למה? נניח כי יש שני עלים בהפרש גובה של 2.
אזי נוכל לשנות מיקום כך שישמר מספר קודקודים
חיצוניים ופנימיים, אבל אורך המסלול החיצוני יקטן. 1

45. עצים מאוזנים
קשה (יקר) לדאוג לזה שעץ בינארי תמיד יהיה מאוזן לחלוטין (כאשר תומכים בהוספה ומחיקה).
לכן נדבר על עצים מאוזנים – עצים שקרובים להיות מאוזנים לחלוטין.
במקום שהעץ יהיה מאוזן לחלוטין נדרוש שהוא לא יהיה "גבוה"

46. עצים מאוזני גובה – AVL Adelson-Velskii Landis

47. עצים מאוזני גובה – AVL T Tl Tr T הוא עץ AVL אם: T הוא עץ חיפוש בינארי
|h(Tl)-h(Tr)|1
Tl, Tr הם עצי AVL Tl Tr

48. דוגמאות \ -- /
נסמן \ , -- , / לפי ההפרש

49. עצי AVL הכי קטנים |Tn| = |Tn-1| + |Tn-2|1 + > 2|Tn-2| +1 T0 T1 T2

50. Solve the Recurrence: T(0)=1 T(n) > 2 T(n - 2) +1…
2i T(n-2i) + 2i-1+2i-2+…+2+1
= 2n/2+ 2n/2 -1 = 2n/2+1 -1
Conclude: The number of elements in the smallest AVL tree of height n is less than 2n/2+1 – 1.

51. Solve the Recurrence:
Conclude: The number of elements in the smallest AVL tree of height n is less than 2n/2+1 – 1.
log |Tn| > log (2n/2+1 -1) > log (2n/2+1) = n/2 + 1
2 log|Tn| > n
This means that:
The height of an AVL tree with k elements can not be more than 2 log k.

52. עצי AVL ראינו שעצי AVL הם "מספיק מאוזנים" בשבילנו.

53. סיבובים a b a T1 T2 T3 b T3 T1 T2 כמובן שאפשר לסובב הפוך (בחזרה) 9 6 3

54. הוספת איבר מוסיפים איבר בדיוק כמו בעץ חיפוש רק שאחרי זה מאזנים את העץ.
הולכים ממקום ההוספה לכיוון השורש ותוך כדי משנים את הסימונים ( \ , -- , / ). מתי עוצרים?
בעיה: לפעמיים יהיה הפרש 2 - לא חוקי!!
במקרים כאלה נבצע סיבובים.

55. הוספה T / -- Tl Tr
חדש
הגובה של תת-עץ זה גדל באחד לכן ממשיכים לכיוון השורש. אין צורך בסיבובים.

56. הוספה T -- \ Tl Tr
חדש
הגובה של תת-עץ זה לא השתנה לכן אפשר לעצור את התהליך . אין צורך בסיבובים.

57. הוספה (סיבובים - RIGHT)-2 y
לפני:h+2 C B A x y
חדש -- / / x -- -- C h
h+1 A B h h h h
h+1
חדש לא
האם אחרי ביצוע הסיבוב יש להמשיך?
אותו דבר יש ל LEFT-

58. הוספה (סיבובים: LEFT-RIGHT)-2
לפני:h+3 z /
h+3 D C B A x y z
חדש -- \ y
h+1 -- D -- \ / x
h+1 --
h+1 A
h+1 h
h+1 h h B C
h+1
חדש לא
האם אחרי ביצוע הסיבוב יש להמשיך?
אותו דבר יש ל- RIGHT-LEFT

59. Extended Example Insert 3,2,1,4,5,6,7, 16,15,14 3 3 3 5 3 2 1 Fig 3 2

60. Insert 3,2,1,4,5,6,7, 16,15,14 6 2 1 4 5 3
Fig 8 2 1 4 5 3
Fig 7 4 2 5 6 1 3 7
Fig 10 4 2 5 6 1 3
Fig 9 4 2 6 7 1 3 5
Fig 11

61. Insert 3,2,1,4,5,6,7, 16,15,14 4 2 6 7 1 3 5 16
Fig 12 4 2 6 7 1 3 5 16 15
Fig 13 4 2 6 15 1 3 5 16 7
Fig 14

62. הערה: שימו לב כי ישנן 4 אפשרויות לסיבובים: 2
Insert 3,2,1,4,5,6,7, 16,15,14 5 4 2 7 15 1 3 6 16 14
Fig 16 4 2 6 15 1 3 5 16 7 14
Fig 15
הערה: שימו לב כי ישנן 4 אפשרויות לסיבובים: 2
לסיבוב בודד ו-2 לכפול. איך נזהה את המקרים?

63. מחיקת איבר מוחקים איבר בדיוק כמו בעץ חיפש רק שאחרי זה מאזנים את העץ.
עיקרון: מחיקת איבר תמיד שקולה למחיקת עלה!
מקרה 1 - מחיקת עלה. ברור.
מקרה 2 - מחיקת איבר בעל בן אחד.
הבן שלו חייב להיות עלה (למה??).
לכן אפשר להחליף ביניהם (ולשנות צד) וזה שוב מחיקת עלה.
מקרה 3 - מחיקת צומת פנימי.
מחליפים אותו עם קודקוד אחר שהוא או עלה או שיש לו רק בן אחד.

64. מחיקת איבר אחרי מחיקת עלה:
הולכים ממקום המחיקה לכיוון השורש ותוך כדי משנים את הסימונים ( \ , -- , / ). מתי עוצרים?
אותה בעיה: לפעמיים יהיה הפרש 2.
במקרים כאלה נבצע סיבובים.

65. מחיקה T -- / Tl Tr
נמחק
הגובה של תת-עץ זה קטן באחד לכן ממשיכים לכיוון השורש.
אין צורך בסיבובים.

66. מחיקה T \ -- Tl Tr
נמחק
הגובה של תת-עץ זה לא השתנה לכן אפשר לעצור את התהליך . אין צורך בסיבובים.

67. מחיקה (סיבובים - 1) לא h+2 -2 h+2 h-1 h h-1 נמחק h h h hy
h+2 C B A x y \ / x
h-1 / -- C h A B
h-1
נמחק h h h h
*מסתכלים על הסימון של האח שלו לא
האם אחרי ביצוע הסיבוב יש להמשיך?

68. מחיקה (סיבובים - 2) כן h+1 -2 h+2 h-1 h h-1 h-1 h נמחק h-1 hy
h+2 C B A x y -- / x
h-1 -- / C h
h-1 A B
h-1
נמחק h
h-1 h
*מסתכלים על הסימון של האח שלו כן
האם אחרי ביצוע הסיבוב יש להמשיך?

69. מחיקה (סיבוב כפול - 3) כן h+3 -2 h h+2 h +1 -- h h h B או C גובהם hz h
h+2 /
h +1 D C B A x y z -- y \ D
נמחק x ? A h B C h h
B או C גובהם h כן
האם אחרי ביצוע הסיבוב יש להמשיך?

70. סיבוכיות - הוכחנו כי גובה עץ AVL הוא O(logn).
- בכל הוספה/מחיקה מבקרים לכל היותר בכל הקודקודים במסלול מעלה עד לשורש ומבצעים עבודה בזמן קבוע בכל קודקוד.