1. Linear Matrix Inequality(LMI)
دانشگاه علم و صنعت ايران
دانشکده مهندسي برق – گروه کنترل
Linear Matrix Inequality(LMI)
ارائه دهنده : امير اسلامي مهرجردي
استاد درس : دکترشمقدری

3. فهرست عناوين تعاریف اولیه و معرفی LMI انواع مسائل LMI کد نوبسی در متلب

4. α x + (1 −α )y ∈ Ω for any α ∈ (0, 1)
تعاریف اولیه
تعریف مجموعه محدب
تابع محدب
مجموعه Ω ⊆ Rn را محدب گویند اگر برای هر x و y در آن ، خط واصل آن دو به طور کامل در آن قرار بگیرد.
α x + (1 −α )y ∈ Ω for any α ∈ (0, 1)
تابع افاین
ماتریس مثبت معین

5. معرفیLMI
تعریف LMI
مثالهایی از LMI

6. تبدیل و ترکیب LMI
تبدیل به فرم LMI
ترکیب LMI
تبدیل نامساوی به LMI

7. نمایش LMI
LMI یک محدوده محدب در فضا است لذا نقطه بهینه سراسری دارد

8. فهرست عناوين تعاریف اولیه و معرفی LMI انواع مسائل LMI کد نوبسی در متلب

9. انواع مسائل LMI LMI feasibility problem مسئله بهینه سازی خطی LMI
LMI linear optimization problem
مسئله کلی مقدار ویژه LMI
LMI generalized eigenvalue problem

10. LMI feasibility problem

11. مسئله بهینه سازی خطی LMI LMI linear optimization problem

12. مسئله کلی مقدار ویژه LMI LMI generalized eigenvalue problem

13. فهرست عناوين تعاریف اولیه و معرفی LMI انواع مسائل LMI کد نوبسی در متلب

14. معرفی LMI در متلب
بیان آغاز تعریف LMI جدید setlmis([]);
معرفی متغییر ها LMI
معرفی قیدهای مسئله
ییان شروع قید جدید (LMI) BRL=newlmi;
تکمیل هر قید
بیان کامل شدن قید ومتغییر مسئله و ذخیره آن lmisys=getlmis
بیان نوع مسئله و حل آن

15. معرفی LMI در متلب X = lmivar(type,struct) type=0 diagonal structure
type=1: Symmetric matrices with a block-diagonal structure..
type=2: Full m-by-n rectangular matrix.
type=3: Other structures.
[X,n,sX] = lmivar(type,struct)
sX1 givet he decision variable content of X1
N= number of decision variable

16. معرفی LMI در متلب TYPE 1 X = lmivar(type,struct)
type=1: Symmetric matrices with a block-diagonal structure
Each diagonal block is either full(arbitrary symmetric matrix), scalar (a multiple of the identity matrix),or identically zero.
struct(r,1) is the size of the r-thblock
struct(r,2) is the type of the r-thblock (1 for full, 0 for scalar, –1 for zero block).
مثال
نوع ماتریس
کد متلب
X1 is a3-by-3 symmetric matrix
X1 = lmivar(1,[3 1])
X3 =
Δ is an arbitrary 5-by-5 symmetric matrix, δ1 andδ2 are scalars, and I2 denotes the identity matrix of size 2.
X3 = lmivar(1,[5 1;1 0;2 0])

17. معرفی LMI در متلب TYPE 2 X = lmivar(type,struct)
type=2: Full m-by-n rectangularmatrix. Set struct = [m,n] in this case.
مثال
[X1,n,sX1] = lmivar(2,[2 3])
sX1 =
نوع ماتریس
کد متلب
X1 is 2-by-3 rectangular matrices
X1=lmivar(2,[2 3])
X2 is 3-by-2 rectangular matrices
X2 = lmivar(2,[2 3])

18. معرفی LMI در متلب TYPE 3 X = lmivar(type,struct)
type=3: Other structures WithType 3, each entry of X is specified as zero or±x where xn isthe n-th decision variable. struct is a matrix of the samedimensions as X such that
struct(i,j)=0 if X(i,j) is a hard zero
struct(i,j)=n if X(i,j) = xn
struct(i,j)=–n if X(i,j) = –xn
مثال
setlmis([])
[X1,n,sX1] = lmivar(2,[2 3])
[X2,n,sX2] = lmivar(2,[3 2])
[X,n,sX] = lmivar(3,[sX1,zeros(2);zeros(3),sX2])

19. ‘s’ به معنی اضافه شدن transpose متییر وارد شده به LMI
بیان قیدها
lmiterm([BRL 1 1 X],1,A,'s'); -
اسم LMI +
سمت راست (-)
یا چپ (+)
سطر و ستون بلوک
در صورت صفر بودن
ضریب ماتریس کلی
نام متغییر LMI
در صورت صفر بودن
متغییر ندارد
ضریب قبل از متغییر LMI
ضریب بعد از متغییر LMI
‘s’ به معنی اضافه شدن transpose متییر وارد شده به LMI

20. lmiterm(termID,A,B,flag)
بیان قیدها
lmiterm(termID,A,B,flag)
lmiterm([1 1 1 X2],2*A,A') % 2*A*X2*A'
lmiterm([1 1 1 x3],-1,E) % -x3*E
lmiterm([ ],D*D') % D*D'
lmiterm([ X1],1,B) % X1'*B
lmiterm([ ],-1) % -I
lmiterm([ ],M) % outer factor M
lmiterm([ X1],C,C','s') % C*X1*C'+C*X1'*C‘
lmiterm([ X2],-f,1) % -f*X2

21. BRL=newlmi; lmiterm([BRL 1 1 X],1,A,'s'); lmiterm([BRL 1 1 S],C',C);
بیان قیدها
BRL=newlmi;
lmiterm([BRL 1 1 X],1,A,'s');
lmiterm([BRL 1 1 S],C',C);
lmiterm([BRL 1 2 X],1,B);
lmiterm([BRL 2 2 S],-1,1);
% 2nd LMI X > 0
Xpos=newlmi;
lmiterm([-Xpos 1 1 X],1,1);
% 3rd LMI S > I
Slmi=newlmi;
lmiterm([-Slmi 1 1 S],1,1);
lmiterm([Slmi 1 1 0],1);

22. بیان مسئله و استخراج جواب
TYPE 3
بیان مسئله و استخراج جواب
مسائل شدنی
[tmin,xfeas] = feasp(lmis)
مثال
setlmis([])
p = lmivar(1,[2 1])
lmiterm([1 1 1 p],1,a1,'s') % LMI #1
lmiterm([2 1 1 p],1,a2,'s') % LMI #2
lmiterm([3 1 1 p],1,a3,'s') % LMI #3
lmiterm([ p],1,1) % LMI #4: P
lmiterm([ ],1) % LMI #4: I
lmis = getlmis

23. بیان مسئله و استخراج جواب
مسائل برنامه ریزی خطی
[copt,xopt] = mincx(lmisys,c,options,xinit,target)
ndec = decnbr(lmisys)
پیدا کردن ابعاد c

24. بیان مسئله و استخراج جواب
decvec = mat2dec(lmisys,X1,X2,X3,...)
مثال
decv = mat2dec(lmisys,X0,Y0)
Ans=

25. فهرست عناوين تعاریف اولیه و معرفی LMI انواع مسائل LMI کد نوبسی در متلب

26. تبدیل متجانس (Congruent transformation)
تکنیکهای تبدیل به LMI
تغییر متغیر
تبدیل متجانس (Congruent transformation)
مکمل شور(Schur complement )

27. تکنیکهای تبدیل به LMI
تغییر متغیر

28. تبدیل متجانس (Congruent transformation)
تکنیکهای تبدیل به LMI
تبدیل متجانس (Congruent transformation)

29. با تشكر