1. Uso polinomi di Butterworth ● Simulazione delle funzioni di rete ● Simulazione dei circuiti con le assegnate funzioni di rete ● Simulazione Funzioni di Buttherworth A ● Simulazione Filtri di Buttherworth B

2. Simulazione Buttherworth ● Osservazioni: (1) -40 dB/dec

3. Scalamento in Frequenza ● Simulazione Funzioni di Buttherworth (2) f -3dB = 0.16 Hz Frequenza di Taglio -3dB = 0.16 Hz

4. Scalamento in Frequenza Buttherworth

5. Scalamento in frequenza

6. Scalamento in Frequenza ● Applicazione dello scalamento alle funzioni di rete: - Dividere tutte le variabili dipendenti da ω per il fattore di normalizzazione ω o ● Applicazione dello scalamento ai circuiti associati alle funzioni di rete: - Dividere tutti gli elementi direttamente dipendenti da ω per il fattore di normalizzazione ω o

7. Scalamento in frequenza ● Simulazione della funzione di rete ( c ) ● Simulazione del circuito ( d )

8. Scalamento in Ampiezza ● Problema: circuito della simulazione ( d ) chiuso su carico resistivo unitario.... come posso variare il carico ??? ● Simulazione circuito ( e )

9. Scalamento in Ampiezza ● Analisi dei circuiti e funzioni di rete

10. Scalamento in Ampiezza ● Regole della normalizzazione in ampiezza: a) Moltiplicare tutte le impedenze per lo stesso fattore Znorm ● Se: la funzione non cambia ● Se: la funzione è moltiplicata per Znorm ● Se: la funzione è divisa per Znorm

11. Scalamento in ampiezza ● Simulazione F con le osservazioni su tensioni e correnti

12. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev I polinomi di Chebyshev del I° tipo sono definiti dalla relazione ricorrente:

13. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev I polinomi di Chebyshev del I° tipo possono essere espressi mediante le seguenti identità trigonometriche:

14. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev...

15. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev Si può facilmente verificare che:

16. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev Forma chiusa per lo sviluppo dei polinomi di Chebyshev del I° tipo:

17. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev Utilizzando la formula di DeMoivre: otteniamo:

18. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev Infine, se sostituiamo cos(θ) con x, possiamo scrivere:

19. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev The first few Chebyshev polynomials of the first kind are

20. Approssimazione ● Filtri di Chebyshev Risposta in Frequenza di un polinomio del IV ordine con ω0 = 1 and ε = 1

21. Approssimazione ● Filtri di Chebyshev: ricerca dei poli Assumiamo che la frequenza di taglio sia uguale a uno. Cerchiamo i poli della funzione di rete: Ponendo − js = cos(θ) e usando la definizione trigonometrica otteniamo:

22. Approssimazione ● Polinomi di Chebyshev: ricerca dei poli I poli delle funzioni di Chebyshev sono dunque:

23. Approssimazione ● Filtri di Chebyshev Risposta armonica di polinomio di Chebyshev del V ordine con eps=0.5