2. @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS1 LÍMITES DE FUNCIONES U.D. 6 * 2º BCS

3. @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS2 LÍMITES EN EL INFINITO U.D. 6.4 * 2º BCS

4. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 LIMITES EN EL INFINITO El límite de una función f, cuando x tiendo a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a 00, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L x  ± oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. Ejemplo: y = x/( x-3) del ejemplo anterior Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000  y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega. LÍMITES EN EL INFINITO

5. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 ASÍNTOTA HORIZONTAL ASÍNTOTA HORIZONTAL Si una función f(x) presenta límite en el infinito, o sea hay un valor real, L, tal que: L = lím f(x) o L = lím f(x) x  oo x  – oo Entonces en ese valor de y=L la función presenta una asíntota horizontal. Se llaman asíntotas o ramas infinitas de una función racional aquellas rectas con las que la función tiende a coincidir, aproximándose a ellas tanto como queramos, en el infinito. Asíntota vertical Asíntota horizontal Asíntota oblicua. 0 3 x Y1Y1

6. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Max Mín RAMAS INFINITAS

7. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 ASÍNTOTAS VERTICALES ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x  a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x  2 x  2 En x = 2 hay una Asíntota Vertical.

8. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 EJEMPLO_2 Sea la función f(x) = (4 – x 2 )/(x + 3) En x = – 3 la función no existe. Lím f(x) = Lím (4 – x 2 )/(x + 3) = (4 – 9) / 0 = – oo x  – 3 x  – 3 En x = – 3 hay una Asíntota Vertical. EJEMPLO_2 Sea la función f(x) = (4 – x 2 )/(x + 2) En x = – 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím (2 – x)·(2 + x)/(x + 2) = (2 – (– 2)) = 4 x  – 2 x  – 2 En x = – 2 NO hay una Asíntota Vertical, aunque la función no existe.

9. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 ASÍNTOTAS HORIZONTALES ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x  ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x  oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m), para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo

10. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Ejemplo_2 Sea la función f(x) = – 4 / (x – 3) Lím f(x) = Lím (– 4 / (x – 3) = – 4 / oo = 0 x  oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. Ejemplo_3 Sea la función f(x) = (3 – 5·x) / (3·x – 5) Lím f(x) = Lím [(3 – 5·x) / (3·x – 5)] = – 5·(– oo)/3·(– oo)= – 5/3 x  – oo x  – oo La recta y = – 5/3 es una Asíntota Horizontal. Ejemplo_4 Sea la función f(x) = e x Lím f(x) = Lím e x = e –oo = 1 / e +oo = 1 / oo = 0 x  – oo x  – oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal.

11. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 ASÍNTOTAS OBLICUAS ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x  ± oo x x  ± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x 2 – 3) / x f(x) x 2 – 3 m =Lím ------ = Lím -------- = 1 ; n = Lím [ f(x) – m.x ] = 0 x  oo x x  oo x 2 x  oo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua.

12. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 Ejemplo_2 Sea la función: f(x) = (x 2 – 3) / (5 – x) f(x) x 2 – 3 m =Lím ------ = Lím ----------- = – 1 x  oo x x  oo 5·x – x 2 n = Lím [ f(x) – m.x ] = lím (x 2 – 3) / (5 – x) + x = – 5 x  oo x  oo La recta y = – x – 5 es una asíntota oblicua. Ejemplo_3 Sea la función: f(x) = x 2 / (x – 3) f(x) x 2 m =Lím ------ = Lím -------------- = 1 x  oo x x  oo x 2 – 3·x n = Lím [ f(x) – m.x ] = lím x 2 / (x – 3) – x = 3 x  oo x  oo La recta y = x + 3 es una asíntota oblicua.

13. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 Gráfica Ejemplo_1 x 2 – 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x 2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x  0 + x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x 2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x  0 - x - 0 0 3 x Y1Y1

14. @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 Gráfica Ejemplo_2 x 2 + 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x 2 + 3 +3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x  0 + x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x 2 + 3 + 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x  0 - x - 0 0 3 x Y Max Mín