1. Ekonometria WYKŁAD 4 Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

2. Plan Czym się zajmiemy: 1.Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego 2.Modele liniowe i nieliniowe – przykłady

3. Prognozowanie – podstawowe pojęcia (1) ►Prognozowanie (albo predykcja) to określanie nieznanych wartości zmiennej objaśnianej na podstawie modelu ekonometrycznego opisującego kształtowanie się wartości tej zmiennej ►Prognozowanie na podstawie wyestymowanego modelu wymaga aby: ►model był pozytywnie zweryfikowany (w szczególności nie było podstaw do podejrzewania braku stabilności modelu) ►zasadna jest ekstrapolacja wartości zmiennych objaśniających i objaśnianej na okres poza próbą ►Przy takich założeniach prognoza jest nieobciążona tzn. wartość oczekiwana odchylenia prognozy od rzeczywistej wartości oczekiwanej zmiennej objaśnianej jest równa 0

4. Prognozowanie – podstawowe pojęcia (2) ►Dla oszacowanego modelu wartość zmiennej objaśnianej na okres 0, odpowiednio, rzeczywista i prognozowana na podstawie modelu wynosi ►Błąd prognozy wynosi wtedy: ►Ponieważ oraz są równe 0 to zachodzi

5. Prognozowanie – podstawowe pojęcia (3) ►Źródła błędów prognozy: ►Błąd estymacji - oszacowane parametry różne od prawdziwych ►Błąd losowy – wartość składnika losowego w okresie prognozy różna od 0 ►Błąd struktury stochastycznej – niespełnione założenia MNK ►Błąd warunków endogenicznych – zmiana warunków kształtowania się zmiennej objaśnianej ►Błąd warunków egzogenicznych - błędne założenia odnośnie do kształtowania się zmiennych egzogenicznych ►Błąd pomiaru – zmiana danych na podstawie których oszacowany był model

6. Prognozowanie – podstawowe pojęcia (4) ►Dekompozycja prognozy

7. Prognoza punktowa ex ante ►Prognoza punktowa: lub: ►Błąd prognozy ex ante oblicza się według wzoru: ►W celu sprowadzenia go do porównywalnych kategorii wyraża się jego wartość w odniesieniu do wartości prognozowanej zmiennej otrzymując względny błąd prognozy ex ante

8. Prognoza przedziałowa ex ante ►Jeśli spełnione jest założenie o normalności rozkładu składnika losowego, to zmienna losowa ma rozkład t-Studenta z n-(k+1) stopniami swobody ►Dla zadanego poziomu ufności przedział ufności to:

9. Prognoza punktowa ex post (1) ►Prognoza ex post wyznaczana jest wtedy, gdy znane są rzeczywiste wartości zmiennej objaśnianej ►Celem wyznaczania prognozy ex post jest analiza własności prognostycznych modelu ►Badanie własności prognostycznych opiera się na kilku rodzajach miar błędów prognoz: ►Średni błąd predykcji (mean error – ME) – główan wada: zmniejszanie wartości błędów dodatnich przez ujemne ►Średni błąd absolutny (mean absolute error - MAE) - porównanie z ME pozwala wykryć systematyczne różnice

10. Prognoza punktowa ex post (2) ►Błąd średniokwadratowy (meand square error – MSE), w praktyce posługujemy się jego pierwiastkiem (RMSE); duże róznice w stosunku do MAE wskazują na pojawianie się bardzo dużych błędów prognozy ►Średni absolutny błąd procentowy (mean absolute percentage error - MAPE)

11. Prognoza punktowa ex post (3) ►Współczynnik Theila – MSE odniesiony do sumy kwadratów wartości rzeczywistych ►Współczynnik Theila i MSE można zdekomponować na trzy elementy, wskazujące trzy różne źródła powstawania błędu prognozy ►systematyczne obciążenie prognozy: ►Mała elastyczność modelu względem zmian wartości zmiennej objaśnianej ►Błąd niesystematyczny:

12. Prognoza punktowa ex post (4) ►Współczynnik rozbieżności U: nadaje się do porównywania własności prognostycznych modeli o różnych wartościach zmiennej objaśnianej, gdyż przyjmuje wartości z przedziału [0,2]

13. Modele liniowe ►Modele liniowe względem parametrów i zmiennych np.: ►Jeśli funkcja g (y)=y, to model jest bezpośrednio liniowy względem parametrów, w przeciwnym przypadku model jest linearyzowany np. ►Modele liniowe względem parametrów, lecz nieliniowe względem zmiennych np.: lub w postaci ogólnej: lub po zlinearyzowaniu:

14. Typowe modele liniowe wzg. parametrów ►Modele bezpośrednio liniowe: ►Modele funkcji kwadratowej (zależność U-kształtna) ►Model ze zmiennymi interakcyjnymi ►Modele linearyzowane: ►Model potęgowy: ►Model wykładniczy: ►Model hiperboliczny:

15. Interpretacja parametrów regresji w modelach z logarytmami ►Model liniowy : poziom – poziom - wyjaśnione wcześniej ►Model logarytmiczny : poziom – logarytm Interpretacja: wzrost x o 1% prowadzi do wzrostu y o jednostek ►Model wykładniczy : logarytm– poziom Interpretacja: wzrost x o 1 prowadzi do wzrostu y o ►Model potęgowy: logarytm– logarytm Interpretacja: wzrost x o 1% prowadzi do wzrostu y o

16. Co oznacza przyrost logarytmu? ►Wyrażenie oznacza tempo wzrostu zmiennej x ►Dla zmiennej przekrojowej oznacza natomiast procentowy przyrost zmiennej x ►Dowód: ►Z rozwinięcia Taylora mamy stąd dla mamy:

17. Elastyczność a logarytmy ►Elastyczność cząstkowa zmiennej y po zmiennej x dana jest wzorem: ►Dowód: oznaczając u=lny, v=lnx, x=e^lnx=e^v otrzymujemy

18. Interpretacja parametru w wykładniczym modelu trendu parametr stojący przy zmiennej t oznacza stopę wzrostu zmiennej y ►Dowód: ►W modelu postaci co ze wzoru Maclaurina jest równe

19. Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna ►Funkcja logistyczna to funkcja określona wzorem ►Wykres funkcji logistycznej postaci

20. Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna ►Własności funkcji logistycznej: ►parametr jest poziomem nasycenia zmiennej y, gdyż zachodzi : ►dla t= 0 funkcja przyjmuje ►punktem przegięcia funkcji jest ►funkcję można sformułować w innej wersji, w której przyjmuje wartość nasycenia równą 1, stąd nadaje się do modelowania prawdopodobieństwa (podstawa tzw. modelu logistycznego)

21. Dziękuję za uwagę