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5. Begriffe: Richtungsfeld Gegeben sei die DGL y′ = f(x,y). Annahme: Durch jeden Punkt des Definitionsbereiches von f(x,y) gehe genau eine Lösungskurve. Die Steigung der Tangente an die Lösungskurve in P 0 (x 0, y 0 ) lautet y′(x 0 ) = f(x 0, y 0 ) mit y 0 = y(x 0 ). Durch die DGL y′ = f(x,y) wird jedem Punkt P(x,y) aus dem Definitionsbereich von f(x,y) ein Richtungs- oder Steigungswert zugeordnet. Er gibt den Anstieg der durch P(x,y) verlaufenden Lösungskurve an. 5

6. Richtungsfeld ( Skizze: © wikipedia.de ) 6

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8. © FH Jena – Prof.Puhl 8

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16. 9.3 Allgemeine und spezielle Lösung Definition: Die Menge aller Lösungen einer Differentialgleichung heißt deren allgemeine Lösung; sie enthält Konstanten, die als Integrationskonstanten bezeichnet werden. Jede durch eine spezielle Wahl aller Konstanten in der allgemeinen Lösung entstehende Lösung der DGL heißt spezielle oder partikuläre Lösung. Anmerkung: Es gibt jedoch DGLn, die keine (reellen) Lösungen besitzen, z.B. (y′)² = −1. 16

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25. Satz: Die allgemeine Lösung y einer inhomogenen linearen DGL y′(x) + f(x) y(x) = g(x) lässt sich darstellen als y(x) = y 0 (x) + y p (x), wobei y 0 die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen und y p eine beliebige (partikuläre) Lösung der inhomogenen DGL ist. ( „Prinzip der Superposition“ ) 25

26. Vorgehensweise zur Lösung einer inhomogenen DGL durch Aufsuchen einer partikulären Lösung: 1.Bestimmung der allgemeinen Lösung y 0 der zugehörigen homogenen DGL, 2.Bestimmung einer partikulären Lösung yp der inhomogenen DGL mit Hilfe eines geeigneten Funktionsansatzes, 3.Summation y = y 0 + y p liefert die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL. 26

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