1. Lernumgebungen differenziert begleiten Torsten Linnemann, Michaela Turina 1

2. 2 Entwicklungsidee «Kognitiv aktivierende Materialien für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II» – KAMM Die Fachmittelschule ist in der Schweiz einer der Hauptzubringer für das Studium des Primarlehramts. Für diese Schulform sollen Unterrichtsmaterialien entwickelt werden, die  kompetenzorientiert sind,  das Engagement im Mathematikunterricht erhöhen  für angehende Primarlehrpersonen relevant sind Durch begleitende Forschung soll Qualität sichergestellt werden – und auch Erkenntnis generiert werden 2

3. Torsten Linnemann, Michaela Turina3 Lernumgebung Zahlenmauern – Forschungsfragen Welche Unterschiede gibt es in der Bearbeitung analoger Lernumgebungen zwischen PrimarschülerInnen, FachmittelschülerInnen und Studierenden des Primarlehramts? Lassen sich diese Unterschiede durch das Kategoriensystem von Leuders, Naccarella, Philipp (2011) charakterisieren? Wie muss eine Lernbegleitung aussehen, die an diese spezielle Lernumgebung angepasst ist? 3

4. Torsten Linnemann, Michaela Turina4 Vorgehen Einsatz der Lernumgebung «Zahlenmauern I» in der Primarschule und bei Studierenden des 1. Semesters Vergleich der Anzahl Lösungen, der Anzahl Beispiele Qualitativer Vergleich Einsatz der Lernumgebung «Zahlenmauern II» bei Studierenden des 4. Semesters und einer Klasse der Fachmittelschule Vergleich mit dem Kategoriensystem von Leuders/Naccarella/Philipp Charakterisierung verschiedener Lösungsstrategien und daran adaptierte Lernwegbegleitung 4

5. Torsten Linnemann, Michaela Turina5 Aufbau der Präsentation Innermathematisches Experimentieren Lernumgebung Zahlenmauern I Kategoriensystem und Lernumgebung Zahlenmauern II Charakteristische Beispiele, Lernwegbegleitung 5

6. Torsten Linnemann, Michaela Turina6 Innermathematisches Experimentieren (Leuders, Naccarella, Philipp, JMD, 2011) «Das Hypothesenbilden und Hypothesenprüfen, welches sich in einem konkreten Phänomenbereich an Beispielen vollzieht – nach Peirces also das abduktive und induktive Vorgehen – wird im Folgenden als Innermathematisches Experimentieren bezeichnet.» Die streng dargestellte Mathematik ist eine systematische deduktive Wissenschaft, aber Mathematik im Entstehen ist eine experimentelle, induktive Wissenschaft (Polya 1949) 6

7. Torsten Linnemann, Michaela Turina7 Kategoriensystem ( Philipp, Experimentelles Denken, 2013) Beispiele generieren StrukturierungVermutung aufstellen Überprüfung Beispiele generierenAllgemeines BeispielAdhoc-HypotheseBegründung Besonderes BeispielBeispiele sortierenAntworthypotheseBestätigungsbeispiel Großes BeispielEigenschaften identifizieren Beispielorientierte Hypothese Gegenbeispiel Kleinstes BeispielGruppenbildungFolgehypotheseHypothese verwerfen ReihenfolgebeispielStellvertreterbeispielHypothese formulieren UmgebungsbeispielStruktursucheSpezifizierungs- hypothese Vollständigkeits- suche 7

8. Torsten Linnemann, Michaela Turina8 Zahlenmauern I Verändern Sie in der Zahlenmauer oben immer nur einen einzigen Grundstein. Als Deckstein soll 102 herauskommen. Gibt es verschiedene Lösungen? Welche Möglichkeiten gibt es, einen Grundstein der ursprünglichen Mauer zu verändern, um 132 zu erhalten? (Idee aus «Zahlenbuch 6») 8

9. Torsten Linnemann, Michaela Turina9 Typische Lösungen 9

10. Torsten Linnemann, Michaela Turina10 Zahlenmauern I Anzahl Lösungenkeine Lsg Lsg. nur 1. Aufg Prim181.280.060.94 Studierende362.130.140.50 Rechenaufwand zu hoch? Aufgabe zu mühsam? Zuwenig Engagement… Kategorien in schriftlicher Bearbeitung nicht wiederzufinden 10

11. Torsten Linnemann, Michaela Turina11 Lernumgebung Zahlenmauern II Gehen Sie aus von einer Zahlenmauer, bei der alle Grundsteine gleich 5 sind. Der Deckstein ist dann 40. a)Verändern Sie einen der vier Grundsteine so, dass der Deckstein 52 ist. Welche Möglichkeiten gibt es? b)Wie ist es mit dem Deckstein 49? Welche Möglichkeiten gibt es bei 48? c)Reflexion: Wie sind Sie bei der Bearbeitung vorgegangen? Welche Beispiele haben Sie gebildet, welche Erkenntnisse sind Ihnen gekommen? 11

12. Torsten Linnemann, Michaela Turina12 Zahlenmauern I und II Anzahl Lösungen1 Lsg Lsg. nur 1. Aufg Personen mit Beispielen Personen mit Struktursuche Prim, I181.280.610.940.560.00 Stud. 1. Sem, I362.130.190.500.530.39 Stud, 4. Sem, II172.340.000.120.59 FMS, II143.500.000.140.360.79 Analyse FMS: Kategorien experimentelles Denken – Linnemann Analyse Studierende: Lernwege - Turina 12

13. Torsten Linnemann, Michaela Turina13 Zahlenmauern Bearbeitungen FMS 13

14. Torsten Linnemann, Michaela Turina14 FMS – Zahlenmauern 14

15. Torsten Linnemann, Michaela Turina15 Typisches Vorgehen FMS Formulierung eines Beispiels – Beispielraum Ohne schriftliche Fixierung andere Beispiele andenken (Problem verstehen) – Strategieraum. Ohne schriftliche Fixierung eine (vage) Hypothese erstellen – Hypothesenraum. Ohne schriftliche Fixierung einen Ansatz zur Verifizierung suchen (Plan ausdenken) – Strategieraum. 15

16. Torsten Linnemann, Michaela Turina16 Typisches Vorgehen FMS II Einen Lösungsansatz schriftlich bearbeiten (Plan durchführen) – Strategieraum. (Strukturierung oder Überprüfung, nicht entscheidbar) Hypothese oder Lösungsalgorithmus formulieren – Hypothesenraum. Die Formulierung der konkreten Lösung erfolgt irgendwo dazwischen. 16

17. Torsten Linnemann, Michaela Turina17 Folgerung 3-Räumemodell erfasst den Prozess, aber auch Polyas Heuristik. Es gibt mehrere Wechsel zwischen den Räumen. Prozess der Hypothesengenerierung (Abduktion) bleibt bei der Analyse schriftlicher Arbeiten im Dunkeln. Innermathematisches Experimentieren ändert sich mit der Expertise. Beispiele bleiben wichtig. Ein Experiment ist es aber auch, algebraisch oder allgemein- arithmetische Ansätze zu verfolgen. Das Kategoriensystem muss um algebraische/arithmetische Aspekte erweitert werden.. 17

18. Aspekte der Begleitung Erfolgreiches Bearbeiten von mathematischen Lernumgebungen bedingen nebst einer reichhaltigen Aufgabestellung eine entsprechende Anpassung des Unterrichts und der Rolle aller Beteiligten. Wenn SuS wenig bis keine Anregungen erhalten, bleibt es beim Lösen der Aufgaben ohne Vertiefung. 18

19. Rolle der LP (Hirt/ Wälti 2010) Natürliche Differenzierung ist erst durch die aktive Rolle und hohe Präsenz der Lehrperson möglich. Aktives Begleiten, bedingt primär eine fachliche Durchdringung des Aufgabenmaterials. Benötigt werden Kompetenzen in FW, FD, Diagnosekompetenz sowie Klassenführungskompetenzen Nicht alles ist planbar. Hält sich mit Erklärungen zurück. Repertoire an Unterstützungsmöglichkeiten. Fordert die Kinder heraus. Klärt die Rahmenbedingungen. Moderiert Gesprächen zum Austausch. 19

20. Rolle der Lernenden Ihr Wissen ist gefragt. Dies bringen sie aktiv ein. Sie produzieren Rechnungen oder gewinnen Daten. Fordern sich selbst in der Eigentätigkeitsphase heraus. Es finden kaum Gespräche mit anderen statt. Schwache SuS warten nicht auf Hilfe von starken. Verfolgen die eigenen Ideen und Strukturen. Trainieren sich in prozessbezogenen Kompetenzen. Tauschen sich mit anderen Kindern/Lernenden aus. Kommunizieren ist ein konstruktiver Prozess. (Götze 2010) Entwickeln ihr mathematisches Verhalten durch die Unterstützung der LP weiter. 20

21. Unterrichtskonzept Struktur nach ähnlichem Konzept zur Orientierung (vor allem auch für schwache SuS) Kurze, klare Einleitung zur Einführung und evt. Klärung der Aufgabenstellung. Die SuS übernehmen das Zepter. Anerkennungskultur stärkt das Selbstkonzept des Kindes. Gespräche in unterschiedlichen Formen und Inhalten. Austausch, Vergleich, Anregung, Strategiekonferenz, Forscherrunde… Mitteilen von inhaltlichen Erkenntnissen, keine Konvergenz in den Ergebnissen. Weniger ist mehr! 21

22. Charakterisierung und Begleitung Lesekompetenz! 22

23. Rückwärts arbeiten I (häufigste Strategie) Allgemeines Beispiel. Aufgabenstellung wird visualisiert. „Wer das Muster erkannt hat, kann immer nach dem selben vorgehen.“ Forderung zur Abstrahierung: „Damit hast du eine Übersicht geschaffen. Bestimmt kannst du daraus eine allgemeine Aussage zu machen.“ Änderung der Sozialform: Gruppenarbeit zur Algebraisierung. Forderung nach Vollständigkeit: „Findest du nun Möglichkeiten für innere Steine?“. 23

24. Rückwärts rechnen II Strategie bringt zuerst nicht weiter. Zeigt jedoch gleichzeitig die Eigenschaft der äusseren Reihe auf. Möglichkeiten werden ausgeschlossen. Hypothesenbildung geschieht spontan: „durch überlegen erschien mir, dass die 9 passen könnte“. 24

25. Rückwärts rechnen - Lernbegleitung Anregung zur Strukturerkennung der Mauer durch die äusseren Steine. Weg gehen lassen. Anregung zum Wechsel des Ansatzes erst, wenn der erste „ausgeschlachtet“ ist. Der nächste Schritt erfolgt daraus meist automatisch. Forderung nach Begründung! Überlegung bestätigen. 25

26. Probieren und Erkennen „Es sind immer drei weniger. Also muss ich um 48 zu erreichen, einen anderen Grundstein ändern.“ Produkte des Probierens verwendet um Struktur der Mauer zu erfassen. Aufforderung zur Formulierung: „Suche eine Begründung zu deiner Erkenntnis.“ Gruppenaustausch bestärkt. Verallgemeinerung ergibt sich als nächster Schritt. 26

27. Systematisierung durch Struktursuche 27

28. Algebraischer Zugang „Habe zuerst versucht algebraisch vorzugehen, kam dann jedoch nicht weiter.“ Ansatz ist zu allgemein Gruppenaustausch mit ähnlich denkenden! Fehler und Übersetzung selber entdecken. Mehr Stärkung des Selbstkonzeptes. Dran bleiben! 28

29. Differenz verwenden / Stärkung des Selbstkonzeptes „Wenn ich nur einen Eckstein verändere, kann ich eine genaue Aussage machen, um wie viel sich der obere Stein verändert.“ „Wenn ich die mittleren 2 Bausteine verändere, dann ist die Aussage schwieriger, eine schnellere Zunahme findet statt, da ich 2 Elemente vergrössere.“ „Sorry, ich finde nicht die richtigen Worte und bin auch nicht 100% sicher, dass ich es richtig verstanden habe!“ Lösungsalgorithmus halbwegs beschrieben. Struktur der Mauer inklusive Symmetrie erkannt. Braucht mehr Anerkennung und Bestätigung für Zwischenschritte. Zeit! 29

30. Diagnose/ Interpretation / Begriffsklärung 30 Die äusseren Grundsteine setzen sich bis oben fort. Die inneren potenzieren sich.

31. Fazit Selbsterfahrung der Studierenden mit Lernumgebungen und Lernbegleitung. Positive Erfahrungen zur Stärkung des Selbstkonzeptes. (Erste Zahlen zur Motivation in der FMS sind vorhanden) Fachwissenschaftliche Vertiefung zur Durchdringung der Aufgabe. Fachdidaktische Ergänzung in Bezug auf ihr Unterstützungsrepertoire und ihr Unterrichtskonzept/ Zeitmanagement. Das ist eine gute Lösung. Wie bist du darauf gekommen? Ist es die Einzige? Erkläre, was damit gemeint ist? Was sagt dir das? Gibt es Zusammenhänge? Wo und warum? Weshalb bist du dir sicher, dass du alle Möglichkeiten gefunden hast?... 31

32. Ausblick/ neue Fragestellung Langzeitstudie: Schülerinnen und Schüler der FMS später an der PH beobachten: Wie nachhaltig ist das Potenzial der FMS Leute? Kann man in 4 Jahren Veränderungen in den Grundvoraussetzungen feststellen? 32