משפט ההרכבה Composition Theorem תהי C מחלקה של פונקציות בוליניות תהי נגדיר סדרת פונקציות שניתנות לחישוב בזמן פולינומיאלי.

דוגמא 1 דוגמא 2

הוא כאשר במקום משתנים שמים טרמים בגודל לכל היותר k דוגמא 3

דוגמא 4

משפט ההרכבה Composition Theorem תהי C מחלקת פונקציות בוליניות תהיסדרת פונקציות כך שכל g i ניתנת לחישוב בזמן T G. אם C ניתן ללמידה מדוגמאות בזמן T(n,m) אזי ניתן ללמידה מדוגמאות בזמן O( T(t,m)+m t T G ) אלגוריתם הלימידה מוציא היפוטזה בגודל poly(t)

הוכחה: יהי A אלגוריתם לימידה ל- C נגדיר אלגוריתם B זמן O( T(t,m)+m t T G )

צריר להוכיח טענה 1: אם קיים קונסיסטנטי עם S אזי קיים קונסיסטנטי עם S New טענה 2: אם h(x) קונסיסטנטי עם S New אזי h(g 1 (x),…,g t (x)) קונסיסטנטי עם S

דוגמא 1 רשימת החלטה (DL) Decision list Ron Rivest

קיים ושני ערכים כך ש- למידת רשימת החלטה מדוגמאות

הוכחת נכונות...

סיבוכיות זמן

דוגמא 2 ( k -DL) k -Decision list

k -DL=DL( k -Term) ממשפט ההרכבה ניתן ללמידה k -DL מדוגמאות בזמן O( T(t,m)+m t T G ) זמן לימידת ( k -DL) זמן חישוב k -Term

קיים ושני ערכים כך ש- אלגוריתם בלי שמוש במשפט ההרכבה

דוגמא 3 עץ החלטה (DT) Decision Tree

משפט נראה שלכל DT יש DNF בגודל שווה למספר העלים שמסומנים ב-1 ויש CNF בגודל שווה למספר העלים שמסומנים ב-0. הוכחה

לשתי מחלקות C 1 ו- C 2 נומר ש- C 1 תת-מחלקה של C 2 אם משפט : יהי. אם ניתן ללמוד מדוגמאות בזמן T אזי ניתן ללמוד מדוגמאות בזמן T הוכחהאותו אלגוריתם רץ בזמן

ראינו ש- נראה ש-

משפט הוכחה

משפט הוכחה כלוזים המכילים

משפט הוכחה

משפט הוכחה

משפט הוכחה

משפט 1 :אם ניתן ללמוד DNF מדוגמאות בזמן T אזי ניתן ללמוד DT מדוגמאות בזמן T משפט 2 : אם ניתן ללמוד DNF מדוגמאות אזי ניתן ללמוד DT מדוגמאות

חזרה לדוגמא 3 עץ החלטה (DT) Decision Tree משפט 1 : משפט 2 : ניתן ללמוד DT מדוגמאות בזמן זמן קואזיפולינומיאלי quazipolynomial האלגוריתם מוציא log s-DL בגודל

משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש נקודות מגיעות לפה מקימות Avrim Blum

משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש נקודות מגיעות לפה מקימות

משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש

משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש

משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש

משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש וכך הלאה

מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש למה : בעץ עם s עלים קיים עלה במרחק log s מהשורש. הוכחה :

בעית גודל ההיפוטזה אנחנו לומדים log s – DL שגודלו יכול להיות עד בעיה פתוחה: האם ניתן ללמוד DT עם היפוטזה בגודל poly(n)

מה עוד ניתן ללמוד בזמן קואזיפולינומיאלי? דוגמא 4 log n-CNF משפט : ניתן ללמוד log n-CNF מדוגמאות בזמן האלגוריתם מוציא log n-CNF בגודל משפט : ניתן ללמוד log n-CNF מדוגמאות בזמן האלגוריתם מוציא log n-CNF בגודל

דוגמאות שליליות דוגמאות חיוביות T קבוצת כל הטרמים האפשריים ז"א טרמים T שלא מקיימים אף דוגמא שלילית T T מכסה חלק מהדוגמאות החיוביות קיים כסוי בגודל s נשתמש ב- Set Cover Set Cover מוצא כיסוי בגודל

משפט 1 : דוגמא 5 DNF משפט 2 : ניתן ללמוד DNF מדוגמאות בזמן זמן סבאקספוננציאלי subexponential האלגוריתם מוציא בגודל

משפט 1 : הוכחה:

קיים l i כך ש- Dirichlet עקרון שׁוֹבָךְ היונים, עקרון Dirichlet

משפט 4 : ניתן ללמוד DNF מדוגמאות בזמן האלגוריתם מוציא בגודל משפט 3 : Adam Klivans Rocco Servedio בעיה פתוחה : ללמוד DNF מדוגמאות בזמן סב-אקספוננציאלי ולהוציא היפוטזה קטנה

משפט 5 : ניתן ללמוד DNF מדוגמאות אם"ם ניתן ללמוד Read-Once-MDNF מדוגמאות.

דוגמא 6 אליפסה Ellipse