1 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 政治大學公企中心必修課 課程名稱：社會科學研究方法（量化分析） 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：隨機解釋變數與時間落 差分配模型 參考書目： Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期： 2011 年 12 月 6 日

2 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 SR5 ： X 並非隨機變數，並且至少要有兩個不一 樣的值。 放寬 X 不是隨機變數的假設：資料是來自於控 制實驗。 X 是隨機的，並且與誤差項 e 相關。 E(e X)=0 表示： 1. 沒有遺漏重要變數。 2. 使用正確的函數形式。 3. 沒有會使得誤差項與 X 相關的因素存在。 隨機解釋變數

3 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 但是，第三點不太可能是直覺性的。 若 X 與 e 有相關，則 Cov(X,e)≠0 ，且可以說 E(e X)≠0 。 若 X 是隨機，只要資料取自於隨機樣本，並 且其他的一般假設成立，則迴歸方法是不需 要改變的。 當 T ∞ 時，所有機率會集中到 β 2 附近。

4 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 A13.3* E(e)=0 且 Cov(X,e)=0 在 A13.3 的假設之下，當 T ∞ 時，最小平方估計 式會趨近於真正的值。 在假設 A13.1~A13.5. ， A13.3* 之下，當 T ∞ 時， 最小平方估計式會趨近於常態分配。 若 Cov(x,e)≠0 X 與 e 是相關的，則最小平方估 計式在大樣本中不會是一致的。 因此，最小 平方估計式並不適用。

5 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 迴歸方程式的誤差衡量 數種情況之下，最小平方估計式會不適用，因 為解釋變數與誤差項之間有相關性。 變數中包含誤差 誤差衡量。 Y t =β 0 +β 1 X t *+V t X t * 無法得知 X t =X t *+u t X t 是隨機變數 Y t =β 0 +β 1 (X t -u t )+V t =β 0 +β 1 X t +e t e t =V t -β 2 u t

6 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 則 Cov(X t,e t )=E(X t,e t ) =E[(X*+u t )(V t - β 2 u t )] =E(-β 2 u t 2 ) =-β 2 σ u 2 ≠0 所以最小平方估計式有誤差且不一致。

7 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 工具變數估計的實證例子 與 X 相關，但與誤差項不相關。 兩階段最小平方值估計： 1. 將 X 對常數項 Z 、 W 跑迴歸，便會得到預測 值 。 2. 用 作為 X 的工具變數。 當 1. 將 X 對常數項 Z 、 W 跑迴歸，便會得到預測 值 。 2. 簡單線性迴歸普通最小平方式的估計。

8 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 檢定解釋變數和誤差項之間的相 關性 虛無假設 H 0 ： Cov(X,e)=0 對立假設 H 1 ： Cov(X,e)≠0 若 H 0 為真，最小平方估計式與工具變數估計式 一致。當 T ∞ ， 即 q(b ols - ) 0 。 若虛無假設不為真，最小平方估計式並不一致； 工具變數估計式是一致的。當 T ∞ ，即 q(b ols - ) C≠0 。

9 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 Hausman 檢定 使 Z t1 和 Z t2 為 X 的工具變數。 X t =a 0 +a 1 Z t1 +a 2 Z t2 +V t H 0 ： δ=0 X 與 e 不相關 H 1 ： δ≠0 X 與 e 相關 若有兩個 δ ， δ 1 、 δ 2 ，則 H 0 ： δ 1 = δ 2 =0 ； H 1 ： Otherwise 。 F 檢定！

10 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 時間落差分配模型 會造成經濟變數改變的經濟決策會持續很長的 一段時間。例如：貨幣及財政政策。 Y t =f(X t,X t+1,X t+2, … ) 我們必須知道有多少政策的改變會發生在時間 的改變。有多少改變會發生在一個月之後，有 多少改變將會發生在兩個月之後。 有個問題是，我們必須知道要回朔到多久以前？ 或是時間分配落差的長度。

11 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 有限的模型 Y t =α+β 0 X t +β 1 X t-1 +β 2 X t-2 +…+β n X t-n +e t t=n+1,…,T 假設 E(e t )=0 ， Var(e t )=σ 2 ， Cov(e t,e s )=0 觀察值： T-n 個 α ：截距項 β i ：時間落差分配權數

12 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 β i 反映出衡量在其他事情保持不變之下，過去撥款 變數 ΔX t-i 對當期預期支出 E(Y t ) 的影響。 若 e t 具有一般性，則可以用最小平方式估計。 注意：共線性的問題！若 X t-i 和 X t-i-1 循著一個相似 的模式，則 X t-i 和 X t-i-1 就會相關。 估計係數的符號不正確、很大的標準誤 ( 不顯著 ) 。 最小平方估計式可能不具信賴性。 要制衡共線性的副作用 給予模型的參數某些 限制。

13 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 多項式時間分配 =r 0 +r 1 i+r 2 i 2 i=0, …,n 若 i=0 ， =r 0 若 n=4 ，則 Y t =α+β 0 X t +β 1 X t-1 +β 2 X t-2 +β 3 X t- 3 +β 4 X t-4 +e t t=5,…,T β 0 =r 0 ， β 1 =r 0 +r 1 +r 2 ， β 2 =r 0 +2r 1 +4r 2 ， β 3 =r 0 +3r 1 +9r 2 ， β 4 =r 0 +4r 1 +16r 2 。 Y t =α+r 0 Z t0 +r 1 Z t1 +r 2 Z t2 +e t 用最小平方式估計 r 0 、 r 1 、 r 2

14 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 Z t0 =X t +X t-1 +X t-2 +X t-3 +X t-4 Z t1 =X t-1 +2X t-2 +3X t-3 +4X t-4 Z t2 =X t-1 +4X t-2 +9X t-3 +16X t-4 則 用 F 檢定來檢查模型的一致性 有限制模型的參數個數： 3 個參數 沒有限制模型的參數個數： 5 個參數（ n+1 個） 參數限制式個數： 5-3=2

15 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 有限制的模型：有較小的標準誤，並且具有更 精確的參數估計。 V(β i )=V(r 0 )+i 2 V(r 1 )+i 4 V(r 2 ) SE(β i )=

16 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 有限時間落差長度的選擇 基於「配適度」準則，我們提供兩個建議。 1. 選擇一個願意去考慮的時間落差長度 N 的最大 值。 檢查 n≤N Akaike 的 AIC 準則 Schwarz 的 SC 準則 增加額外時間落差的 懲罰函數

17 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 尋找可以最小化的 AIC 或 SC 準則的時間落差長度 n* ，因為越多的時間落差變數會減少 SSE 。

18 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 幾何時間落差 幾何時間落差 β i 0 ，當 i Yt=α+β 0 X t +β 1 X t-1 +β 2 X t-2 +β 3 X t-3 +…+e t =α+β(X t +  X t-1 +  2 X t-2 +  3 X t-3 )+e t 三個參數： α ：截距項 β ：規模因子  ：控制權數的下降比 率

19 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 如何去估計？ 模型中的參數是非線性的 不可能的任務。 Toyck 轉換 Y t -  Y t-1 =α+β(X t +  X t-1 +  2 X t-2 +  3 X t-3 )+e t -  [α+β(X t-1 +  X t-2 +  2 X t-3 +  3 X t-4 )+e t-1 ] =α(1-  )+βX t +(e t -  e t-1 )

20 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 Y t =α(1-  )+  Y t-1 +βX t +(e t -  e t-1 ) =δ 1 +δ 2 Y t-1 +δ 3 X t +V t δ 1 =α(1-  ) δ 2 =  δ 3 =β V t =(e t -  e t-1 )

21 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 Koyck 模型的工具變數估計 兩個特點： 1. 其中一個解釋變數是時間落差應變數 Y t-1 。 2. 誤差項 V t 決定於 e t 與 e t-1 。 Cov(Y t-1,V t )≠0 。 最小平方估計式的參數會有偏誤及不一致性。 我們無法利用最小平方式來得到參數 δ 1 、 δ 2 及 δ 3 。 使用工具變數估計式來估計的問題是變數 Y t-1 ， X t-1 與 Y t-1 有相關，但是與 V t 無關，因為 X t-1 具外 生性。

22 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 兩階段最小平方 第一階段： 簡單最小平方式。 然後 最小平方式。

23 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 檢定有時間落差應變數之模型中的 自我相關 RHS 變數包含時間落差獨立變數，但我們並不知 道是否這個時間落差獨立變數與誤差項有關。 如果無關 → 可以用最小平方估計法。 如果有關 → 不該使用最小平方估計法。 關鍵的問題在於，是否誤差項 V t 是連續相關的。 由於迴歸式包含 Y t-1 ，因此不能夠使用 DW 檢定。 利用 LM 檢定！ 如果拒絕虛無假設 (a 4 =0) ，則會產生自我相關。

24 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 自我迴歸時間落差分配 有限時間落差模型：選擇時間落差長度及共線性 的問題。 無限時間落差模型：解決時間落差長度的問題， 但是要求限制時間落差權數的結構，來避免無限 數量參數的問題。 如果在一個無限的模型當中，尖峰效應沒有發生？ 如果多項時間分配落差或是幾何時間落差都不適 用？

25 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 ARDL ：無限時間落差模型 Y t =μ+β 0 X t +β 1 X t-1 +γ 1 Y t-1 +e t ARDL(1,1) ARDL(1,1) ARDL(p,q) 一個時間落差值 X 一個時間落差值 Y P 個時間落差值 Xq 個時間落差值 Y

26 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 α=μ(1+γ 1 +γ 1 2 +γ 1 3 +…)=μ/(1-γ 1 ) U t =e t +γ 1 e t-1 +γ 1 2 e t-2 +… ∴ α 0 =β 0 α 1 =β 1 +γ 1 β 0 α 2 =γ 1 α 1 α 3 =γ 1 2 α 1

27 政治大學國務院國安碩專班選修課 -- 社會科學研究方法（量化分析） -- 黃智聰 Y t =(1-γ 1 )α+α 0 (X t -X t-1 )+γ 1 Y t-1 +V t 若 Cov(et,es)=0 沒有連續性自我相關 則 LOS 估計式： Y t =μ+β 0 X t +β 1 X t-1 +γ 1 Y t-1 +e t 利用 、 、 、 來計算 α 0 =β 0 α 1 =(β 1 +γ 1 β 0 ) α 2 =γ 1 α 1 α 3 =γ 1 2 α 1 畫圖求出 α i 最大時的 i=?