1 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 政治大學財政所與東亞所選修 課程名稱：應用計量分析 -- 中國財政研究 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：報告結果 與選擇函數型式 參考書目： Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期： 2012 年 4 月 23 日

2 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 簡單線性迴歸模型 Y t = β 1 + β 2 X t +e t e t ~N(0,1) 兩個分析模型的理由： 解釋應變數 (y t ) 會如何隨著自變數 (x t ) 的改變而 改變。 在 x 0 已知下預測 y 0 。

3 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 總平方和 (SST) 可解釋的平方和 (SSR) 誤差平方和 (SSE) SST = SSR + SSE

4 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 R 2 = 判定係數 0 < R 2 < 1 越接近 1 越好 若 R 2 = 1: 表示迴歸模型「完全地」配合這份資料。 R 2 = 0: 表示 y 與 x 的樣本資料並不相關，而且未 顯示任何的線性關係，則最小平方配適 線為「水平的」。

5 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 註 : R2 是一個敘述性的衡量值。它本身並不能 衡量迴歸模型的品質，只著重將 R2 最大化的迴 歸決策並非好方法。 解釋 : R2=0.32 表示 Y 的變異中有 32% 可以 用 X 的變異來解釋，或是說迴歸模型可以解釋 32% Y 的變異，剩下 68% 的變異無法解釋。 這樣的 R2 看起來很低嗎 ? 不，在使用橫斷面資料的迴歸研究，以不同時點 觀察同一個體或其他經濟行為的樣本時，是很 具有代表性的。

6 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 (2) R 2 =(Y t, ) 的相關係數 = 簡單線性迴歸的相關分析 (1) r 2 = R 2, r = Cov(X,Y) / = 舉例來證明 r 2 = 舉例來證明 r 2 =R 2

7 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 報告迴歸結果 = X t R 2 = ( ) (0.0305) (s.e) 或 = X t R 2 = (1.84) (4.20) (t)

8 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 選擇函數形式 簡單線性迴歸模型指的是參數不會相乘、相除、 平方、立方等。 滿足 SR1 SR5 簡單線性迴歸模型 轉換（ Transformation ） (1) 變數間的線性關係 : β 2 = 斜率（ slope ） (2) 倒數（ Reciprocal ） :

9 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 給定一個模型，使其誤差項具有下列性質： 1. E(e t )=0 2. Var (e t )=σ 2 3. Cov(e i,e j )=0 4. e t ~N(0, σ 2 ) 運用其他函數形式來進行迴歸分析。

10 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 選擇函數形式：實證議題 1. 散佈（ plot ） 2. 模型 Y t =β 1 +β 2 X t +e t 3. 估計 4. 預測 5. 殘差分佈 → 檢查是否為常態分配 ? 技術的改變 時間

11 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 其他形式 Y t =β 1 +β 2 X t 3 +e t Z t 3 =X t 3 / = Z t 3 R 2 =0.751 R 2 ↑ Notice : 殘差模式也有許多其他的不足之處，例 如有被忽略的變數，異質變異性 （ heteroskedasticity ），自我相關 （ autocorrelation ） 錯誤建立迴歸模型。

12 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 殘差為常態分配嗎？ 1. 平均值 →0 2. 傑古貝拉檢定（ Jarque-Bera test for normality ），用來檢定常態性。 Ho: 常態， H 1 : 非常態 若 P ＞ α 無法拒絕虛無假設

13 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 JB = T: 觀察值的個數 S: 偏態（ skewness ） k: 峰態（ kurtosis ） Ex: T=40 ， S= ， K= JB=1.077 JB ﹤ 5.99 =  2 2, 0.05 JB 值

14 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 Ho ：常態分配（ Normal distribution ） JB ＜ 常態分配 包含截距項的係數個數 JB ＞ 拒絕常態分配 P ＜ 0.05 拒絕 Ho

15 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 y=  1 +  2 X+  3 Z 理論模型 解釋 β 1, β 2, β 3 Model: y=E(y)+e t =  1 +  2 X+  3 Z +e t 假設 : (1) E(e t )=0 (2) Var(e t )=σ 2 (3) Cov(e t,e s )=0 (4) e t ~N(0, σ 2 ) 複迴歸模型

16 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 最小平方估計式的變異數與共變數 (1) σ 2 Var(b 2 ) 越不精確 (2)T Var(b 2 ) 越精確 (3)Var(X 2 ) Var(b 2 ) 越精確 (4)Cov(X 2, X 3 ) Var(b 2 ) 越不精確

17 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 誤差為常態分配之最小平方估計式的性質 * K: 未知係數項的個數

18 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 衡量配適度 R 2 =1-(SSE/SST) R 2 的一個難題 R 2 的難題是若加入越來越多的變數，會變的很 大，即使這些加入的變數在理論上不具任何適 當性。 若模型中包含 T-1 個變數，則 R 2 =1 R 2 =1- 其中， T 代表觀察數目 K 代表變數個數 SSE SST

19 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 R 2 （調整後 R 2 ） 的使用 : * 優點 : 當變數增加時 R 2 並不會一直上升。 * 缺點 : (1) 失去原有的解釋，即 R 2 不再是被解釋的變異百 分比。 (2) 此修正後的 R 2 有時會被誤用為選擇一組適當的 解釋變數之方法。 (3) 若模型未包含截距項，則衡量的 R 2 就不適合了。

20 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 受限制的最小平方 單一參數 t 檢定 聯合虛無假設 F 檢定 F 檢定的基礎是在於比較原始且未受限制之複 迴歸模型的誤差平方和，以及認為虛無假設為 真時的迴歸模型之誤差平方和 。 複迴歸模型的進一步推論

21 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 例 : y=α 0 +α 1 X 1 +α 2 X 2 + α 3 X 3 + e H 0 : α 2 = α 3 = 0 即 y= α 0 +α 1 X 1 + e F= F ≧ F (J,T-K, α) 拒絕虛無假設 P=P ﹝ F (2,96) ≧ F ﹞＜ 0.05 拒絕虛無假設 SSE R -SSE u /J SSE u /(T-K) J=2 T= 觀察值個數 (100) K=4 2, 96, 0.05

22 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 虛無假設中不能包含任何「大於」或者「小於」 的假設。 H 0 : β 2 =0, β 3 =0… β K =0 H 1 : β 2  0 或 β 3  0 ，或兩者都不為零， β K 中至 少有一個不是零 若 J=1 ， F= T 2

23 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 注意若模型為 : y= β 0 + β 1 X 1 + β 2 X e =2β 2 X 2 隱含 X 2 對每個 y 有不 同程度的影響 =β 1 X 1 對於所有的 y 的影響都相同 dy dX 2 dy dX 1

24 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 其他例子 y= β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + e H 0 : β 1 =β 2 H 1 : β 1  β 2 y= β 0 + β 1 (X 1 + X 2 )+ e F test F (1,T-3, α)

25 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 模型設定 模型選擇的三個重要要素 : (1) 函數形式的選擇 (2) 選擇包含的解釋變數（迴歸式）的模型。 (3) 複迴歸模型的假設 MR1-MR6 是否成立。

26 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 1. 遺漏以及不相關的變數 例 :y= β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + e 假設我們漏了 X 2, 以下列式子進行迴歸分析： y= β 0 +β 1 *X 1 + e 若 Cov(X 1,X 2 )  0 則 β 1 *  β 1 我們得到非常強的虛無假設， β 2 =0 。 然而， Cov(X 1,X 2 )=0 的情形非常少見 E(b 1 *)=β 1 +β 2 Cov(X 1, X 2 ) Var(X 1 )

27 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 若估計出的方程式有出現未預期，或大小不符 現實的係數時，造成這些怪異結果的一個可能 原因就是遺漏了重要的變數。 T 檢定或 F 檢定這兩種顯著檢定可以評估是否一 個變數或一組變數包含在一個方程式中。

28 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 必須注意，有兩種可能的原因，不拒絕虛無假 設的結果。 (1) 對應的變數不會影響 y ，且可以排除在模型之 外。 ( 但是結果不能拒絕虛無假設 ) (2) 對應的變數對於納入模型來說是很重要的，但 因資料不夠充分而無法拒絕 H 0 。

29 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 1.P( 無法拒絕 H 0 │ 虛無假設為真 ) Accept H 0 => 不顯著係數 2.P( 無法拒絕 H 0 │ 虛無假設不為真 ) 如果因為不顯著就去除此變數，要小心喔！ 我們可能會排除一個不相關的變數，但也可能 造成剩餘的係數估計值會產生遺漏變數的偏誤。

30 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 所以 ，儘可能在模型中納入最多的變數 ? Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +e <= true model (1) 但是估計 Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +β 3 X 3 +e (2) Var (b 1 ),Var (b 2 ),Var (b 3 ) 在 (2) 式中 比在 (1) 式中 來的大。 若 X 3 與 X 2 ， X 1 相關，但是理論上 X 3 不影響 Y 。

31 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 2. 檢定模型是否設定錯誤 : RESET 檢定 是否設定錯誤可用下列問題瞭解 : (1) 是否遺漏重要變數？ (2) 是否納入重要變數？ (3) 是否選擇錯誤的函數形式？ (4) 是否違背假設？ RESET 檢定（ Regression Specification Error Test ） RESET 的用意是發現遺漏的變數，以及不正確 的函數形式。

32 政治大學財政所與東亞所選修 -- 應用計量分析 -- 中國財政研究 黃智聰 假設 : Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +e =b 0 +b 1 X 1 +b 2 X 2 Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +r 1 2 +e (1) Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +r r 2 3 +e (2) (1) 檢定 H 0 : r 1 =0 H 1 : r 1 ≠0 (2) 檢定 H 0 : r 1 = r 2 =0 H 1 : r 1 ≠0 或 r 2 ≠0 拒絕 H 0 表示原始的模型不適當，且可以改進。 無法拒絕 H 0 表示此檢定沒有發現任何設定錯誤 的情況。 只能告訴模型不好，不能告訴模型是好的。