PCM (Pulse Code Modulation) TeoFundamentos de Telecomunicações
PCM (Pulse Code Modulation) Profs. Lúcio M. Silva / André Noll Barreto Teoria das Comunicações É na verdade um esquema para digitalização de sinais analógicos Inventado 1937 Usado em CDs (arquivo.wav) Telefonia fixa digital Por que digitalizar?? Maior resistência a ruído Possibilidade de repetidores regenerativos Maior flexibilidade de hardware digital (software) Processamento digital de sinais Comutação Taxas de erro podem ser reduzidas a qualquer valor arbitrário Em troca de banda e/ou potência Possibilidade de encriptação Maior eficiência espectral Multiplexação mais eficiente e flexível Flexibilidade de mídia Armazenamento (quase) sem perda CUSTO mais baixo $$$$$
Filtro passa-baixa Amostrador QuantizadorCodificador Sinal PCM Digitalização de sinais usando o esquema PCM Sinal- mensagem analógico TeoFundamentos de Telecomunicações
Filtro passa-baixa Amostrador QuantizadorCodificador Sinal- mensagem analógico Sinal PCM Sinal analógico filtrado Filtragem anti-aliasing M(f)M(f) M LP (f) Filtragem é necessária, pois todo sinal realizável tem banda infinita TeoFundamentos de Telecomunicações
Filtro passa-baixa Amostrador (S&H) QuantizadorCodificador Sinal- mensagem analógico Sinal PCM Amostragem TeoFundamentos de Telecomunicações
Filtro passa-baixa Amostrador Quantizador Codificador Níveis de quantização (permitidos) 3,5 2,5 1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 -3,5 Quantização TeoFundamentos de Telecomunicações
Filtro passa-baixa Amostrador Quantizador Codificador Codificação 3,5 2,5 1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 -3,5 TeoFundamentos de Telecomunicações
Decodificador Filtro de reconstrução (passa-baixa) Receptor PCM – decodificador TeoFundamentos de Telecomunicações
Decodificador Filtro de reconstrução (passa-baixa) Receptor PCM – filtro de reconstrução TeoFundamentos de Telecomunicações
22 4 3 2 4 3 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 2 7 2 3 4 x Entrada contínua Saída discreta y 7 2 5 2 3 2 2 Quantização TeoFundamentos de Telecomunicações
Quantização uniforme Quantizador Q[· ] s x(kT ) Amostra analógica Amostra quantizada Tamanho do passo (ou degrau) do quantizador: xi 1xi 1 xi 2xi 2 x 0 x 1 x i 1 x i y i Número de níveis de quantização: L RiRi xL1xL1 xLxxLx vv mp mp X min mp mp X max L 2mp 2mp L v X max X min i 1, 2, , Ly i 2 x xx x ii 1,ii 1, Níveis de quantização: v x i x i 1 y i y i 1 Precisamos de n log 2 L bits/amostra Na prática, na maioria das vezes, L = 2 n, n N * x(kT s ) x ˆ (kT s ) Q x(kT s ) TeoFundamentos de Telecomunicações
Característica de transferência de um quantizador uniforme 4 3 2 4 3 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 2 7 2 234x234x y7 25 23 2 2y7 25 23 2 2 Característica de um quantizador uniforme do tipo midrise. x y 3232 357222 357222 2 3 4 2 3 4 Característica de um quantizador uniforme do tipo midtread. 5 322 5 3222 9 722 9 7222 TeoFundamentos de Telecomunicações
Desempenho: razão sinal-ruído de quantização x(t ) : sinal-mensagem original x(kT s ) :k -ésima amostra de x(t ) x ˆ (kT s ) : versão quantizada de x(kT s ) x ˆ (t ) : sinal-mensagem reconstruído usando as amostras quantizadas de x(t ) Erro de quantização q(kT s ) x ˆ (kT s ) x(kT s ) q(t) x ˆ (t) x(t) Ruído de quantização Erro e ruído de quantização x ˆ (kT s ) x(kT s ) q(kT s ) x ˆ (t) x(t) q(t) Potência média de x(t ) Potência média de q(t ) x2 (t )x2 (t ) q2 (t )q2 (t ) RSR q Razão sinal-ruído de quantização: Cálculo de q 2 (t ) TeoFundamentos de Telecomunicações
Potência média do ruído de quantização k x(t )x(t ) ssssss x(kT ) sinc k ss f (t kT ) x(kT ) sincf (t kT )x(t ) ˆ Usando o interpolador ideal podemos escrever: k ,q(t )xˆ(t ) x(t ),q(t )xˆ(t ) x(t ) ssssss q(kT ) sinc f (t kT ) sss kT ) ) x(kT ) sinc f (t x(kT ˆ T 2T 2T 2T 2 T 2T 2T 2T 2 2 k 2 1 lim T TT T q (t ) dt 1 T TT T ,q 2 (t ) lim sss (t kT ) q(kT ) sinc fdt s q(kT ) x ˆ (kT s ) x(kT s ) TeoFundamentos de Telecomunicações
Potência média do ruído de quantização valor quadrático médio de q(kT s ) N 2N 2 lim q 2 (kT s ) lim q 2 (kT s ) T 2T 2T 2T q (t ) lim sss q(kT ) sinc f T TT T dt (t kT ) T T f s k N N 1 k N 2 k q qp (q)dq 2 2 s E q (kT ) 0 2 22 q pq (q)1 pq (q)1 Assumindo que 2 q 2 (i.e., X min x(t ) X max para t ) e que a distribuição probabilística de q é uniforme nesse intervalo, ou seja: 12 22 X 2X 2 max 3L 2 L 2 X max SeX min X max, Explorando a ortogonalidade das funções sinc TeoFundamentos de Telecomunicações
Razão sinal-ruído de quantização (uniforme) max Potência média de x(t ) Potência média de q(t ) x2 (t )x2 (t ) x 2 (t ) 2 12 q2 (t )q2 (t ) 2 3L23L2 x(t )x(t ) X 2X 2 RSR q Essa estimativa para RSR q assume que não há sobrecarga do quantizador, isto é, assume que X min x(t) X max para todo t. 2 max X 2X 2 x2 (t)x2 (t) RSR 10 log 3L 2 X x2 (t)x2 (t) 6,02n 4,77 10 log q dB L 2nL 2n Portanto, para cada bit adicional na palavra- código, a RSR q aumenta de 6 dB (isto é, é quadruplicada ). Se X min X max, L 2 X max TeoFundamentos de Telecomunicações
234234 4 3 2 4 3 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 2 7 2 7 25 23 2 27 25 23 2 2 x xˆxˆ 2 2 2 2 x q 4 3 2 4 3 2 02340234 X min X max Região de sobrecarga Sobrecarga TeoFundamentos de Telecomunicações
Razão sinal-ruído de quantização 2 max X x2 (t)x2 (t) RSR q dB 60 50 40 30 20 6,02n 4,77 10 log b 8 L RSR q (dB) Efeito da sobrecarga max X 2X 2 10log x 2 (t ) TeoFundamentos de Telecomunicações
Razão sinal-ruído de quantização Portanto, se P x diminuir (ou aumentar) K dB, a RSR q também diminuirá (ou aumentará) de K dB, se b e X max não forem alterados. Contudo, a equação acima só é válida quando |x(t)| X max, caso contrário, haverá sobrecarga do quantizador e, nessa condição, um aumento em P x também causará diminuição da RSR q, uma vez que a sobrecarga aumentará. 2 max RSR q 6,02b 4,77 x 2 (t ) 10log X dB TeoFundamentos de Telecomunicações
Exemplo: quantização de sinais de voz 2 max X x2 (t)x2 (t) RSR 6,02n 4,77 10 log q dB 2 2x2x 2x2x x 2 2 x2(t)Ex(t)x2(t)Ex(t) x2(t)x2(t) Regra prática: X max 4 x 4 RSR q dB 6,02b 7,27 para n 8 dB RSR q 41 dB, 60 50 40 30 20 10 0 max X 2X 2 (dB) x2(t )x2(t ) RSR q (dB) n 8 L 256 12 dB 10log 2 X 2 x max Sinais de voz: fdp laplaciana 0, 35% das amostras [ X max, X max ] 22 p( x) 1 e x fdp laplaciana: 2 | x| x TeoFundamentos de Telecomunicações
Quantização não Uniforme - Motivação A potência média do sinal de voz na entrada de um codificador PCM da rede telefônica pode variar de 40 dB (10.000). TeoFundamentos de Telecomunicações
Redução da RSR com a redução de x 60 50 40 30 20 10 0 max X 2X 2 (dB) x2(t )x2(t ) b 8 L RSR q (dB) 12 dB 2 X 2 x max 10log 4 X max, x Se x 2 (t ) 41 dB RSR q dB Contudo, se x2 (t )x2 (t ) 4,4, X max x 2 X 2 x max 10log 52 dB q dB RSR 0,9 dB 2 max X x2 (t)x2 (t) RSR 6,02n 4,77 10 log q dB 60 TeoFundamentos de Telecomunicações
Erro de quantização relativo ,1 1,01,2 10,1 10,010,2 x x 1,0 x 10,0 x ˆ 1,1 x ˆ 10,1 q 0,1 (10%) (1%) q 0,1 2 q q q max independe da magnitude de x IDEAL: 100% % q x max q relativo (ou percentual) independe da magnitude de x QUANTIZADOR NÃO-UNIFORME TeoFundamentos de Telecomunicações
Quantização não-uniforme baseada em compansão Compressor C[ · ] y(kT s ) x(kT s ) Quantizador uniforme Q[ · ] yˆ(kTs )yˆ(kTs ) Codificador c(k) Palavra -código binária Decodificador yˆ(kTs )yˆ(kTs ) c(k)c(k) Expansor C -1 [ · ] xˆ(kTs )xˆ(kTs ) compressão + expansão = compansão TeoFundamentos de Telecomunicações
Quantização não-uniforme baseada em compansão Não- uniforme x X max x x Compressor C[ · ] y(kT s ) x(kT s ) y Uniforme Quantizador uniforme Q[ · ] yˆ(kTs )yˆ(kTs ) TeoFundamentos de Telecomunicações
Características de compressão Lei -A x X max Lei - TeoFundamentos de Telecomunicações
max max x sgn(x),0 X 1 X max x x C( x) ln(1 ) ln 1 ln X max( ) 1 min( ) Valor usado nos E.U.A. e Japão : 255 Sistema PCM Lei- x x RSR lei- para X max 6,02n 4,77 20 log ln(1 ) (dB) (dB) 2 max μσ x X X 22 X X 10 log 1 max 6,02n 4,77 20 log ln(1 ) TeoFundamentos de Telecomunicações
1 1 1 1 1 ln 1 1 0 0 X max max sgn(x), X max x AX A xA x 1 ln A X 1 ln A A x sgn(x), C( x)C( x) A x max( ) A min( ) Valor padronizado pelo ITU- T : A 87,6 Sistema PCM Lei-A x lei- A para A X max RSR 6,02n 4,77 20 log ln A (dB) TeoFundamentos de Telecomunicações
Razão sinal-ruído de um sistema baseado em compansão 60 50 40 30 20 10 0 max X 2X 2 10log x 2 (t ) RSR q (dB) Efeito da sobrecarga 255 0 G c n 8 L TeoFundamentos de Telecomunicações
Rb=fs nRb=fs n Taxa de amostragem (amostras por segundo) Taxa de bits (bps) PCM Número de bits por amostra BmBm Hz fsfs 8 kHz n 12 bits L níveis RbRb 96 kbps Ex.: Sinal de voz com banda telefônica, Quantizador uniforme Taxa de bits do PCM quando σ x X max 4 q dB RSR 6,02n 7,27 65dB, TeoFundamentos de Telecomunicações
Log-PCM: Lei-A ou Lei- BmBm Hz fsfs 8 kHz n 8 bits L 256 níveis RbRb 64 kb/s Sinal de voz com banda telefônica 6,02b 4,77 20 log 1 ln A 38,2 (dB) 6,02b 4,77 20 log ln(1 ) 38,1 (dB) (dB) RSR lei-A (dB) RSR lei- A 87,6 2 55 TeoFundamentos de Telecomunicações
Largura de banda de transmissão requerida pelo PCM Por um canal não-ruidoso com uma largura de banda de transmissão de B T Hz é possível transmitir, sem erro, no máximo 2 B T elementos de informação (ou símbolos) independentes por segundo Hz 2 min -teo T BB RsRs Largura de banda de transmissão mínima teórica requerida para transmitir R s símbolos por seg. Hz 2 min -teo 2 logM RbRb Rb2IMRb2IM T BB RRbRb b S M2M2 IlogM RR Para codificação binária R s =R b TeoFundamentos de Telecomunicações
Preditor xˆ[k]xˆ[k] dˆ[k]x~[k]dˆ[k]x~[k] Decodificador Codificação PCM diferencial – DPCM Q[· ] - x[k]x[k] d[k]d[k] dˆ[k]dˆ[k] x[k]x[k] + + Codificador Preditor x[k 1] x[k]x[k] x[k 1] T s x[k 2] t kT s xˆ[k] x~[k] dˆ[k]xˆ[k] x[k] e[k]e[k] ?xˆ[k] x~[k] dˆ[k]xˆ[k] x[k] e[k]e[k] ? e[k] : erro de reconstrução TeoFundamentos de Telecomunicações
Preditor xˆ[k]xˆ[k] dˆ[k]x~[k]dˆ[k]x~[k] Decodificador Codificação PCM diferencial – DPCM Q[· ] - x[k]x[k] d[k]d[k] dˆ[k]dˆ[k] x[k]x[k] + + Codificador Preditor xˆ[k] x~[k] dˆ[k]xˆ[k] x~[k] d[k] q[k]xˆ[k] x[k] [k] d[k] q[k]xˆ[k] x[k] q[k] [k]xˆ[k] x[k] e[k]xˆ[k] x~[k] dˆ[k]xˆ[k] x~[k] d[k] q[k]xˆ[k] x[k] [k] d[k] q[k]xˆ[k] x[k] q[k] [k]xˆ[k] x[k] e[k] Esse componente do erro de reconstrução pode assumir valores muito grandes ˆ d[k] d[k] q[k]x~[k] x[k] [k]x[k] d[k] x[k]e[k] q[k] [k]d[k] d[k] q[k]x~[k] x[k] [k]x[k] d[k] x[k]e[k] q[k] [k] p p i i 1i 1 i 1i 1 x[k] ai x[k i]x[k] ai x[k i] a x[k i]a x[k i] ˆ x[k] x[k] ~ TeoFundamentos de Telecomunicações
Filtro transversal usado como preditor linear x[k]?x[k]? Entrada Atraso T s apap Saída Atraso T s Atraso T s Atraso T s ap-1ap-1 a2a2 a1a1 TeoFundamentos de Telecomunicações
Efeito da predição na faixa dinâmica das amostras Sinal original, x[k] Erro de predição, d[k] = x[k] – x[k – 1] TeoFundamentos de Telecomunicações
Q[· ] x[k]x[k] dˆ[k]dˆ[k] Preditor xˆ[k]xˆ[k] dˆ[k]x~[k]dˆ[k]x~[k] CodificadorDecodificador Sistema DPCM prático x[k]x[k] Preditor + + xˆ[k] x~[k] dˆ[k]xˆ[k] x~[k] d[k] q[k]xˆ[k] x~[k] dˆ[k]xˆ[k] x~[k] d[k] q[k] xˆ[k] x[k] q[k]xˆ[k] x[k] q[k] d[k]-x~[k]d[k]-x~[k] xˆ[k]xˆ[k] erro de reconstrução de x ˆ [k] q[k] erro de quantização de d[k] TeoFundamentos de Telecomunicações
Sistema DPCM: transmissor e receptor c(k )c(k ) s Preditor Quanti _ zador Codificador Codificador PCM Sinal analógico, x(t ) s d(kT ) s ^d(kT )^d(kT ) s ^x(kT )^x(kT ) + -~x(kTs )+ -~x(kTs ) Sinal digital PCM x(kT ) Erro de predição Valor estimado para a k- a mostra k-ésima amostra codificada Sinal DPCM Transmissor ésima Preditor Decodificador Sinal DPCM s ^x(kT )^x(kT ) x(kT s ) ~ s ^d(kT )^d(kT ) Conversor D/A x ^ (t ) Sinal analógico reconstruído Recepto r TeoFundamentos de Telecomunicações
Ganho de predição 12 Quantizador uniforme: q P2P2 q, PCM P q, PCM P x q, DPCM P q, DPCM PxPx RSR q, DPCM x RSR P PdPd Gp Gp RSR q, PCM 12 2 2XL2XL 22 P q, PCM PCM max 12 2DL22DL2 22 P q, DPCM DPCM max PdPd PxPx Gp Gp X D2D2 PP q, DPCM P q, PCM RSR q, PCM RSR q, DPCM 2 max q PxPx RSR q P q2 (t )q2 (t ) x2 (t )x2 (t ) TeoFundamentos de Telecomunicações
Ganho de Predição 2 x p d P x Potência de d (t )P d 2 2 Ganho de predição G Potência de x(t ) No caso de sinais de voz, esse ganho é de 4 a 11 dB. Isso permite que o número de bits por amostra em um sistema DPCM seja 1 a 2 bits menor que aquele requerido pelo PCM para propiciar a mesma RSR. Para uma taxa de amostragem de 8 kHz, isso significa uma economia de 8 a 16 kbps. Um ganho maior do que o mencionado pode ser obtido se o preditor e o quantizador do esquema DPCM forem adaptativos. Nesse caso, o esquema é denominado ADPCM (adaptive differential pulse-code modulation). Um ADPCM que despende 32 kbps pode propiciar praticamente a mesma qualidade de um PCM lei-A que despende 64 kbps. TeoFundamentos de Telecomunicações
Padrões ITU-T para telefonia fixa PadrãoEsquema Taxa de amostragem Bits por amostra Taxa de bits Qualidade (MOS & ) Ano de conclusão G.711 Log- PCM 8 kHz8 bits 64 kbps 4,31972 G.721 $ ADPCM8 kHz4 bits 32 kbps 4,11984 $ Atualmente o padrão G.721 faz parte do padrão G.726 & MOS: mean opinion score(escore médio de opnião) — é uma medida subjetiva da qualidade de um sinal de voz, com uma escala de cinco pontos: 5 (excelente), 4 (boa), 3 (satisfatória ou razoável), 2 (ruim) e 1 (muito ruim) TeoFundamentos de Telecomunicações
Sistema DM (delta modulation) dˆdˆ d One-bit quantizer (a)Transmissor (b)Receptor x[k]x[k] x ˆ [k 1] d[k]d[k] dˆ[k]dˆ[k] xˆ[k]xˆ[k] dˆ[k]dˆ[k] xˆ[k]xˆ[k] TeoFundamentos de Telecomunicações
Transmissor DM x[k]x[k] x[k] x ˆ [k 1] d[k]d[k] dˆ[k]dˆ[k] xˆ[k]xˆ[k] dˆdˆ d Quantizador de um bit TeoFundamentos de Telecomunicações
Ilustração da modulação delta (delta modulation – DM) x(t )x(t ) xˆ(t )xˆ(t ) TeoFundamentos de Telecomunicações
Ilustração dos dois tipos de erro de quantização na modulação delta x(t )x(t ) xˆ(t )xˆ(t ) TeoFundamentos de Telecomunicações