PCM (Pulse Code Modulation) TeoFundamentos de Telecomunicações

PCM (Pulse Code Modulation) Profs. Lúcio M. Silva / André Noll Barreto Teoria das Comunicações É na verdade um esquema para digitalização de sinais analógicos Inventado 1937 Usado em CDs (arquivo.wav) Telefonia fixa digital Por que digitalizar?? Maior resistência a ruído Possibilidade de repetidores regenerativos Maior flexibilidade de hardware digital (software) Processamento digital de sinais Comutação Taxas de erro podem ser reduzidas a qualquer valor arbitrário Em troca de banda e/ou potência Possibilidade de encriptação Maior eficiência espectral Multiplexação mais eficiente e flexível Flexibilidade de mídia Armazenamento (quase) sem perda CUSTO mais baixo $$$$$

Filtro passa-baixa Amostrador QuantizadorCodificador Sinal PCM Digitalização de sinais usando o esquema PCM Sinal- mensagem analógico TeoFundamentos de Telecomunicações

Filtro passa-baixa Amostrador QuantizadorCodificador Sinal- mensagem analógico Sinal PCM Sinal analógico filtrado Filtragem anti-aliasing M(f)M(f) M LP (f) Filtragem é necessária, pois todo sinal realizável tem banda infinita TeoFundamentos de Telecomunicações

Filtro passa-baixa Amostrador (S&H) QuantizadorCodificador Sinal- mensagem analógico Sinal PCM Amostragem TeoFundamentos de Telecomunicações

Filtro passa-baixa Amostrador Quantizador Codificador Níveis de quantização (permitidos) 3,5 2,5 1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 -3,5 Quantização TeoFundamentos de Telecomunicações

Filtro passa-baixa Amostrador Quantizador Codificador Codificação 3,5 2,5 1,5 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 -3,5 TeoFundamentos de Telecomunicações

Decodificador Filtro de reconstrução (passa-baixa) Receptor PCM – decodificador TeoFundamentos de Telecomunicações

Decodificador Filtro de reconstrução (passa-baixa) Receptor PCM – filtro de reconstrução TeoFundamentos de Telecomunicações

22  4  3  2 4  3  2   2 3 2 5 2 7 2  2 3 2 5 2 7 2 3  4  x Entrada contínua Saída discreta y 7  2 5  2 3  2  2 Quantização TeoFundamentos de Telecomunicações

Quantização uniforme Quantizador Q[· ] s x(kT ) Amostra analógica Amostra quantizada Tamanho do passo (ou degrau) do quantizador: xi 1xi 1 xi  2xi  2 x 0 x 1 x i  1 x i y i Número de níveis de quantização: L RiRi xL1xL1 xLxxLx vv  mp mp X min  mp mp X max L  2mp 2mp L  v  X max  X min i  1, 2, , Ly i  2 x xx x ii 1,ii 1, Níveis de quantização:  v  x i  x i  1  y i  y i  1 Precisamos de n   log 2 L  bits/amostra Na prática, na maioria das vezes, L = 2 n, n  N * x(kT s )  x ˆ (kT s )  Q  x(kT s )  TeoFundamentos de Telecomunicações

Característica de transferência de um quantizador uniforme  4  3  2 4  3  2   2 3 2 5 2 7 2  2 3 2 5 2 7 2 234x234x y7 25 23 2 2y7 25 23 2 2 Característica de um quantizador uniforme do tipo midrise. x y 3232 357222 357222   2 3 4  2 3 4 Característica de um quantizador uniforme do tipo midtread.  5  322 5  3222  9  722 9  7222 TeoFundamentos de Telecomunicações

Desempenho: razão sinal-ruído de quantização x(t ) : sinal-mensagem original x(kT s ) :k -ésima amostra de x(t ) x ˆ (kT s ) : versão quantizada de x(kT s ) x ˆ (t ) : sinal-mensagem reconstruído usando as amostras quantizadas de x(t ) Erro de quantização q(kT s )  x ˆ (kT s )  x(kT s ) q(t)  x ˆ (t)  x(t) Ruído de quantização Erro e ruído de quantização x ˆ (kT s )  x(kT s )  q(kT s ) x ˆ (t)  x(t)  q(t) Potência média de x(t )  Potência média de q(t )  x2 (t )x2 (t ) q2 (t )q2 (t ) RSR q Razão sinal-ruído de quantização: Cálculo de q 2 (t ) TeoFundamentos de Telecomunicações

Potência média do ruído de quantização k  x(t )x(t ) ssssss x(kT ) sinc   k  ss  f (t  kT )   x(kT ) sincf (t  kT )x(t ) ˆ Usando o interpolador ideal podemos escrever:    k    ,q(t )xˆ(t )  x(t ),q(t )xˆ(t )  x(t ) ssssss q(kT ) sinc  f (t  kT )  sss   kT )  )  x(kT ) sinc f (t x(kT ˆ   T 2T 2T 2T 2  T 2T 2T 2T 2       2  k  2 1  lim T   TT   T q (t ) dt 1 T   TT   T ,q 2 (t )  lim sss  (t  kT )  q(kT ) sinc fdt s  q(kT ) x ˆ (kT s )  x(kT s ) TeoFundamentos de Telecomunicações

Potência média do ruído de quantização  valor quadrático médio de q(kT s ) N 2N 2  lim  q 2 (kT s )  lim  q 2 (kT s ) T 2T 2T 2T q (t )  lim sss q(kT ) sinc f T   TT   T dt     (t  kT )       T   T f s k  N   N  1 k  N 2   k      q qp (q)dq 2 2 s  E  q (kT )  0 2    22 q pq (q)1 pq (q)1  Assumindo que  2  q   2 (i.e., X min  x(t )  X max para  t ) e que a distribuição probabilística de q é uniforme nesse intervalo, ou seja: 12 22 X 2X 2 max 3L 2  L   2 X max SeX min   X max, Explorando a ortogonalidade das funções sinc TeoFundamentos de Telecomunicações

Razão sinal-ruído de quantização (uniforme) max Potência média de x(t )  Potência média de q(t )  x2 (t )x2 (t ) x 2 (t )  2 12 q2 (t )q2 (t ) 2 3L23L2 x(t )x(t ) X 2X 2 RSR q  Essa estimativa para RSR q assume que não há sobrecarga do quantizador, isto é, assume que X min  x(t)  X max para todo t.       2 max X 2X 2 x2 (t)x2 (t) RSR  10 log  3L 2  X x2 (t)x2 (t)  6,02n  4,77  10 log  q dB L  2nL  2n Portanto, para cada bit adicional na palavra- código, a RSR q aumenta de  6 dB (isto é, é quadruplicada ). Se X min   X max, L   2 X max TeoFundamentos de Telecomunicações

234234  4  3  2 4  3  2   2 3 2 5 2 7 2  2 3 2 5 2 7 2 7 25 23 2 27 25 23 2 2 x xˆxˆ  2  2 2  2 x q  4  3  2   4  3  2   02340234 X min X max Região de sobrecarga Sobrecarga TeoFundamentos de Telecomunicações

Razão sinal-ruído de quantização    2 max X x2 (t)x2 (t) RSR q dB  60  50  40  30  20   6,02n  4,77  10 log  b  8  L  RSR q (dB) Efeito da sobrecarga max   X 2X 2  10log  x 2 (t ) TeoFundamentos de Telecomunicações

Razão sinal-ruído de quantização Portanto, se P x diminuir (ou aumentar) K dB, a RSR q também diminuirá (ou aumentará) de K dB, se b e X max não forem alterados. Contudo, a equação acima só é válida quando |x(t)|  X max, caso contrário, haverá sobrecarga do quantizador e, nessa condição, um aumento em P x também causará diminuição da RSR q, uma vez que a sobrecarga aumentará. 2 max RSR q  6,02b  4,77  x 2 (t )  10log  X dB TeoFundamentos de Telecomunicações

Exemplo: quantização de sinais de voz    2 max X x2 (t)x2 (t) RSR  6,02n  4,77  10 log  q dB 2 2x2x 2x2x x   2  2        x2(t)Ex(t)x2(t)Ex(t)  x2(t)x2(t) Regra prática: X max  4  x  4 RSR q dB  6,02b  7,27 para n  8 dB RSR q  41 dB,  60  50  40  30  20  10 0 max X 2X 2 (dB) x2(t )x2(t ) RSR q (dB) n  8  L  256  12 dB 10log 2 X 2 x max    Sinais de voz: fdp laplaciana   0, 35% das amostras  [  X max, X max ] 22 p( x)  1 e   x fdp laplaciana: 2 | x| x TeoFundamentos de Telecomunicações

Quantização não Uniforme - Motivação A potência média do sinal de voz na entrada de um codificador PCM da rede telefônica pode variar de 40 dB (10.000). TeoFundamentos de Telecomunicações

Redução da RSR com a redução de  x  60  50  40  30  20  10 0 max X 2X 2 (dB) x2(t )x2(t ) b  8  L  RSR q (dB)   12 dB 2 X 2 x max 10log   4  X max, x Se   x 2 (t )  41 dB RSR q dB Contudo, se x2 (t )x2 (t ) 4,4, X max x   2 X 2 x max 10log    52 dB q dB RSR  0,9 dB    2 max X x2 (t)x2 (t) RSR  6,02n  4,77  10 log  q dB 60 TeoFundamentos de Telecomunicações

Erro de quantização relativo ,1 1,01,2 10,1 10,010,2 x   x  1,0  x  10,0  x ˆ  1,1  x ˆ  10,1  q  0,1 (10%) (1%) q  0,1 2 q  q   q max independe da magnitude de x IDEAL: 100%   %  q x max q relativo (ou percentual) independe da magnitude de x QUANTIZADOR NÃO-UNIFORME TeoFundamentos de Telecomunicações

Quantização não-uniforme baseada em compansão Compressor C[ · ] y(kT s ) x(kT s ) Quantizador uniforme Q[ · ] yˆ(kTs )yˆ(kTs ) Codificador c(k) Palavra -código binária Decodificador yˆ(kTs )yˆ(kTs ) c(k)c(k) Expansor C -1 [ · ] xˆ(kTs )xˆ(kTs ) compressão + expansão = compansão TeoFundamentos de Telecomunicações

Quantização não-uniforme baseada em compansão Não- uniforme x X max  x x Compressor C[ · ] y(kT s ) x(kT s )  y Uniforme Quantizador uniforme Q[ · ] yˆ(kTs )yˆ(kTs ) TeoFundamentos de Telecomunicações

Características de compressão Lei -A x X max Lei -  TeoFundamentos de Telecomunicações

  max max  x  sgn(x),0  X  1 X max  x x C( x)  ln(1   ) ln  1  ln X max(  )    1 min(  ) Valor usado nos E.U.A. e Japão :   255 Sistema PCM Lei-   x x RSR lei-  para   X max  6,02n  4,77  20 log  ln(1   )  (dB) (dB)   2  max    μσ x  X X   22  X X  10 log  1   max   6,02n  4,77  20 log  ln(1   )   TeoFundamentos de Telecomunicações

   1 1 1 1     1  ln  1 1 0 0  X max max  sgn(x), X max x AX A xA x  1  ln A   X   1  ln A  A x sgn(x), C( x)C( x) A x max(  )  A min(  ) Valor padronizado pelo ITU- T : A  87,6 Sistema PCM Lei-A x  lei- A para A  X max RSR  6,02n  4,77  20 log  ln A  (dB) TeoFundamentos de Telecomunicações

Razão sinal-ruído de um sistema baseado em compansão  60  50  40  30  20  10 0  max X 2X 2 10log  x 2 (t ) RSR q (dB) Efeito da sobrecarga   255   0 G c n  8  L  TeoFundamentos de Telecomunicações

Rb=fs  nRb=fs  n Taxa de amostragem (amostras por segundo) Taxa de bits (bps) PCM Número de bits por amostra BmBm Hz fsfs 8 kHz n 12 bits L níveis RbRb 96 kbps Ex.: Sinal de voz com banda telefônica, Quantizador uniforme Taxa de bits do PCM quando σ x  X max 4 q dB RSR  6,02n  7,27  65dB, TeoFundamentos de Telecomunicações

Log-PCM: Lei-A ou Lei-  BmBm Hz fsfs 8 kHz n 8 bits L 256 níveis RbRb 64 kb/s Sinal de voz com banda telefônica  6,02b  4,77  20 log  1  ln A   38,2 (dB)  6,02b  4,77  20 log  ln(1   )   38,1 (dB) (dB) RSR lei-A (dB) RSR lei-  A  87,6   2 55 TeoFundamentos de Telecomunicações

Largura de banda de transmissão requerida pelo PCM Por um canal não-ruidoso com uma largura de banda de transmissão de B T Hz é possível transmitir, sem erro, no máximo 2 B T elementos de informação (ou símbolos) independentes por segundo Hz 2 min -teo T BB RsRs Largura de banda de transmissão mínima teórica requerida para transmitir R s símbolos por seg. Hz 2 min -teo 2 logM RbRb Rb2IMRb2IM T  BB RRbRb b S M2M2 IlogM  RR Para codificação binária R s =R b TeoFundamentos de Telecomunicações

 Preditor xˆ[k]xˆ[k] dˆ[k]x~[k]dˆ[k]x~[k] Decodificador Codificação PCM diferencial – DPCM Q[· ] - x[k]x[k] d[k]d[k] dˆ[k]dˆ[k] x[k]x[k] + +  Codificador Preditor x[k  1] x[k]x[k] x[k  1] T s x[k  2] t kT s xˆ[k] x~[k]  dˆ[k]xˆ[k] x[k]  e[k]e[k]  ?xˆ[k] x~[k]  dˆ[k]xˆ[k] x[k]  e[k]e[k]  ? e[k] : erro de reconstrução TeoFundamentos de Telecomunicações

 Preditor xˆ[k]xˆ[k] dˆ[k]x~[k]dˆ[k]x~[k] Decodificador Codificação PCM diferencial – DPCM Q[· ] - x[k]x[k] d[k]d[k] dˆ[k]dˆ[k] x[k]x[k] + +  Codificador Preditor xˆ[k] x~[k]  dˆ[k]xˆ[k] x~[k]  d[k]  q[k]xˆ[k] x[k]  [k]  d[k]  q[k]xˆ[k] x[k]  q[k]  [k]xˆ[k] x[k]  e[k]xˆ[k] x~[k]  dˆ[k]xˆ[k] x~[k]  d[k]  q[k]xˆ[k] x[k]  [k]  d[k]  q[k]xˆ[k] x[k]  q[k]  [k]xˆ[k] x[k]  e[k] Esse componente do erro de reconstrução pode assumir valores muito grandes ˆ d[k]  d[k]  q[k]x~[k] x[k]  [k]x[k]  d[k] x[k]e[k]  q[k]  [k]d[k]  d[k]  q[k]x~[k] x[k]  [k]x[k]  d[k] x[k]e[k]  q[k]  [k]  p p i i 1i 1 i 1i 1 x[k]  ai x[k  i]x[k]  ai x[k  i] a x[k  i]a x[k  i] ˆ x[k] x[k]  ~ TeoFundamentos de Telecomunicações

Filtro transversal usado como preditor linear x[k]?x[k]? Entrada Atraso T s apap  Saída Atraso T s Atraso T s Atraso T s ap-1ap-1 a2a2 a1a1 TeoFundamentos de Telecomunicações

Efeito da predição na faixa dinâmica das amostras Sinal original, x[k] Erro de predição, d[k] = x[k] – x[k – 1] TeoFundamentos de Telecomunicações

Q[· ] x[k]x[k] dˆ[k]dˆ[k]  Preditor xˆ[k]xˆ[k] dˆ[k]x~[k]dˆ[k]x~[k] CodificadorDecodificador Sistema DPCM prático x[k]x[k] Preditor + +  xˆ[k] x~[k] dˆ[k]xˆ[k] x~[k] d[k] q[k]xˆ[k] x~[k] dˆ[k]xˆ[k] x~[k] d[k] q[k] xˆ[k] x[k] q[k]xˆ[k] x[k] q[k] d[k]-x~[k]d[k]-x~[k]  xˆ[k]xˆ[k] erro de reconstrução de x ˆ [k]  q[k]  erro de quantização de d[k] TeoFundamentos de Telecomunicações

Sistema DPCM: transmissor e receptor c(k )c(k )  s Preditor Quanti _ zador Codificador  Codificador PCM Sinal analógico, x(t ) s d(kT ) s ^d(kT )^d(kT ) s ^x(kT )^x(kT ) + -~x(kTs )+ -~x(kTs ) Sinal digital PCM x(kT ) Erro de predição Valor estimado para a k- a mostra k-ésima amostra codificada Sinal DPCM Transmissor ésima  Preditor Decodificador Sinal DPCM s ^x(kT )^x(kT ) x(kT s ) ~ s ^d(kT )^d(kT ) Conversor D/A x ^ (t ) Sinal analógico reconstruído Recepto r TeoFundamentos de Telecomunicações

Ganho de predição 12 Quantizador uniforme: q P2P2 q, PCM P q, PCM P x q, DPCM P q, DPCM PxPx RSR   q, DPCM x RSR P PdPd Gp Gp   RSR q, PCM 12 2 2XL2XL 22 P q, PCM  PCM  max 12 2DL22DL2 22 P q, DPCM  DPCM  max PdPd PxPx Gp Gp  X D2D2 PP q, DPCM P q, PCM RSR q, PCM RSR q, DPCM  2 max q PxPx RSR q  P q2 (t )q2 (t ) x2 (t )x2 (t ) TeoFundamentos de Telecomunicações

Ganho de Predição 2 x p d P x  Potência de d (t )P d  2 2 Ganho de predição  G  Potência de x(t )   No caso de sinais de voz, esse ganho é de 4 a 11 dB. Isso permite que o número de bits por amostra em um sistema DPCM seja 1 a 2 bits menor que aquele requerido pelo PCM para propiciar a mesma RSR. Para uma taxa de amostragem de 8 kHz, isso significa uma economia de 8 a 16 kbps. Um ganho maior do que o mencionado pode ser obtido se o preditor e o quantizador do esquema DPCM forem adaptativos. Nesse caso, o esquema é denominado ADPCM (adaptive differential pulse-code modulation). Um ADPCM que despende 32 kbps pode propiciar praticamente a mesma qualidade de um PCM lei-A que despende 64 kbps. TeoFundamentos de Telecomunicações

Padrões ITU-T para telefonia fixa PadrãoEsquema Taxa de amostragem Bits por amostra Taxa de bits Qualidade (MOS & ) Ano de conclusão G.711 Log- PCM 8 kHz8 bits 64 kbps 4,31972 G.721 $ ADPCM8 kHz4 bits 32 kbps 4,11984 $ Atualmente o padrão G.721 faz parte do padrão G.726 & MOS: mean opinion score(escore médio de opnião) — é uma medida subjetiva da qualidade de um sinal de voz, com uma escala de cinco pontos: 5 (excelente), 4 (boa), 3 (satisfatória ou razoável), 2 (ruim) e 1 (muito ruim) TeoFundamentos de Telecomunicações

Sistema DM (delta modulation)  dˆdˆ d One-bit quantizer (a)Transmissor (b)Receptor   x[k]x[k] x ˆ [k  1] d[k]d[k] dˆ[k]dˆ[k] xˆ[k]xˆ[k]  dˆ[k]dˆ[k] xˆ[k]xˆ[k] TeoFundamentos de Telecomunicações

Transmissor DM   x[k]x[k] x[k]  x ˆ [k  1] d[k]d[k] dˆ[k]dˆ[k] xˆ[k]xˆ[k] dˆdˆ d  Quantizador de um bit TeoFundamentos de Telecomunicações

Ilustração da modulação delta (delta modulation – DM) x(t )x(t ) xˆ(t )xˆ(t ) TeoFundamentos de Telecomunicações

Ilustração dos dois tipos de erro de quantização na modulação delta x(t )x(t ) xˆ(t )xˆ(t ) TeoFundamentos de Telecomunicações