INTERPOLACIJA PO DIJELOVIMA POLINOMIMA

Interpolacija po dijelovima polinomima Po dijelovima polinomna interpolacija funkcije f je funkcija  t.d.: k=1,...,n Gdje za čvorove interpolacije vrijedi: x0<x1<...<xn pk su polinomi stupnja m određeni s (m+1)-im koeficijentom Da bi odredili polinome pk ukupno moramo odrediti (m+1)n koeficijenata Zadano je 2n interpolacijskih uvjeta: pk(xk-1)=f(xk-1), pk(xk)=f(xk) ,k=1,...,n Za m=1 ne trebamo dodatne uvjeta, ali za m>1 potrebno je dodati uvjete na glatkoću funkcije 

Linearni splajn Linearni splajn je interpolacija po dijelovima polinomima stupnja 1 u obliku: pk(x)=c0,k+ c1,k(x-xk-1) za x  [xk-1,xk] , k=1,...,n Možemo ga zapisati u Newtonovoj formi: pk(x)=f[xk-1]+f[xk-1 ,xk](x-xk-1) Vrijedi: c0,k=f[xk-1]=fk-1 c1,k=f[xk-1 ,xk]=(fk-fk-1)/(xk-xk-1) , k=1,...,n

Binarno pretraživanje Ako želimo aproksimirati vrijednost funkcije f u točki x є [x0 ,xn] prvo treba pronaći između kojih čvorova se točka x nalazi Za to koristimo algoritam binarnog pretraživanja: low:=0; High:=n; while (high-low)>1 do begin mid:=(low+high) div 2; if x<xmid then high:=mid else low:=mid end; Trajanje algoritma je proporcionalno s: log2(n)

Ocjena greške na podintervalu [xk-1,xk] ocjena greške linearne interpolacije je: Pri čemu je: , Graf od (x) na [xk-1,xk] je parabola koja siječe apscisu u xk-1 i xk , pa je maksimum od  (x) u polovištu intervala: Slijedi da je:

Ocjena greške Ocjena greške linearne interpolacije na cijelom intervalu [a,b] je: gdje je: Ako ravnomjerno povećavamo broj čvorova tako da h0 , onda i maksimalna greška teži u 0.

Linearni splajn MANE: Za umjerenu točnost potrebno je dosta točaka Aproksimacijska funkcija nije dovoljno glatka Zbog tih razloga češće se na podintervalima koriste polinomi viših stupnjeva

Kubični splajn Kod kubičnog splajna restrikcija aproksimacijske funkcije  na svaki interval [xk-1,xk] je polinom pk stupnja 3, oblika: pk(x)=c0,k+c1,k(x-xk-1)+c2,k(x-xk-1)2+c3,k(x-xk-1)3 za x є [xk-1,xk] , k=1,...,n Dakle moramo odrediti 4n koeficijenata. Zadano je 2n interpolacijskih uvjeta: pk(xk-1)=f(xk-1), pk(xk)=f(xk) ,k=1,...,n Obično želimo da je i derivacija f-je  neprekidna u čvorovima,pa dobivamo drugih 2n uvjeta: pri čemu su sk neki brojevi

Određivanje koeficijenata Ako znamo vrijednost f-je i prve 3 derivacije u čvorovima onda su koeficijenti:

Određivanje koeficijenata Ako znamo vrijednost f-je i prvu derivaciju u čvorovima onda su koeficijenti: gdje je: hk=xk-xk-1 , k=1,...,n f[x0,x1,..., xn]=( f[x0,x1,..., xn]- f[x0,x1,..., xn])/(xn-x0)

Određivanje koeficijenata Ako znamo vrijednost f-je i drugu derivaciju u čvorovima Uvodimo oznaku: Polinome pk sada možemo pisati:

Gdje se Mk određuju iz matrične jednadžbe: CM=d Pri čemu je:

Prirodni splajn Prirodni splajn je kubični splajn sa zadanim tzv. slobodnim krajevima, tj. ako je: ˝(x0)= ˝(xn)=0

Ocjena greške na podintervalu [xk-1,xk] ocjena greške kubične interpolacije je: pri čemu je: , Maksimum funkcije  (x) na [xk-1,xk] je u nultočki xe od , pri čemu je: Slijedi da je:

Ocjena greške Ocjena greške kubične interpolacije na cijelom intervalu [a,b] je: gdje je: Ako ravnomjerno povećavamo broj čvorova tako da h0 , onda i maksimalna greška teži u 0.