روشهای حل معادلات ریاضی

روشهای حل معادلات ریاضی شامل: 1- حل تحلیلی: h= f(x,y,z,t) یعنی h تابع t,z,y,x (مکان وزمان ) است مثال حل تحلیلی معادله حاکم تایس است. 2- حل عددی: (روش های تفاضل محدود ، المانهای محدود) 3- روش تحلیلی المانتی:Analytic Element Methods (AEM)

حل تحلیلی

محدودیت مدل های تحلیلی : قابلیت انعطاف مدلهای تحلیلی معطوف به ساده بودن آنها است. این سادگی ها یا مفروضات ساده موجود در مدل تحلیلی عبارت اند ازهمگنی، ایزوتروپی، شرایط اولیه ساده، وضعیت هندسی ساده و جریان ماندگار. اما وضعیت زمین شناسی پیچیده است واین شرایط زمین شناسی منجر به ناهمگنی، انیزوتروپی، شرایط اولیه پیچیده، وضعیت هندسی پیچیده و جریان ناماندگار می شود. نتیجتاً این پیچیدگی دروضعیت زیرزمینی نیاز به حل پیچیده تر دارد که این حل پیچیده در روش های عددی ارائه می شود.

Math simple: وقتی بررسی تحلیلی انجام می دهیم می توان مسئله را بادست حل کرد درصورتی می توان از روش تحلیلی استفاده کرد که مساله سا ده، ایزو تروپ و ما ندگار باشد. روش های تحلیلی روش هایی هستند که برای حالت یک بعدی و دوبعدی به کار می روند در جایی که مقاومت در مقابل جریان در یک بعد یا دو بعد نا چیز با شد این معادلات را می توان به روش دستی یا با برنامه های کامپیوتری نسبتاً ساده حل کرد علا وه بر این درجایی استفاده می شوند که داده های کافی درمنطقه موجود نباشد یا وضعیت هندسی منطقه منظم نیست. در بیشتر آبخوانهای محصور وبعضی آبخوا ن های آزاد، ایجاد مدلی که تقریبی است از سیستم واقعی، با توجه به مفروضات زیر صورت می گیرد: 1) جریان حالت ماندگار داشته باشد. 2) مقاومت در برابر جریان عمودی ناچیز وفقط مقاومت در برابر جریان افقی مد نظر گرفته شود. 3) T آبخوان همگن وثابت باشد.

وقتی که حل برای جریان یکنواخت قرار می گیرد فرمولی که به کار می رود: خلا صه ای است که برای مجموع مشتق دوم = عملگر لاپلاس فرمول عمومی برا ی معادله ماندگار به صورت همگن و ایزوتوپ می باشد. اگر طرف راست معادله را صفر درنظر بگیریم معادله به شکل زیر درمی آید:

معادله فوق یک معادله دیفرانسیل جزئی است که دارای کاربرد های فراوانی در حرارت، رسانایی حرارت، الکتریسیته و الاستیته است. نام گذاری آن براساس نام یک نجوم شناس وریاضی دان فرانسوی به نام لاپلاس بوده است. راه حل های مختلفی برای معا دله های لاپلاس وجود دارد که بعضی از آنها درمسائل عمومی هیدرولوژی به کارمی رود . هرکدام ازمعادلات به کار رفته را میتوانیم از حالت سه بعدی به دو بعدی و یا یک بعدی توسط حذفz یا y ازمعادلات کاهش بدهیم. حذف z درمعادلات به این معنی که جهت z درمعادلات صفر است یعنی جریان عمودی وجود ندارد. یعنی:

جریان اشباع دوبعدی در آبخوان: اگر آبخوان ها به صورت دو بعدی مورد بررسی قرار گیرند، مدل در حالت دو بعدی در یک صفحه افقی در نظر گرفته می شود. زمانی می توانیم این حالت رابرای آبخوانها در نظر بگیریم که ضخامت آبخوان نسبت به گسترش افقی آن ناچیز باشد. به این مفهوم که مثلاً ابعاد افقی صدها یا هزاران برابر نسبت به ضخامت عمودی در بیشتر آبخوانها است. مقاومت کلی در امتداد مسیرهای خاصی مثلا ًمسیر افقی مورد نظر قرار می گیرد. دراین حالت سیستم سه بعدی واقعی را می توانیم به صورت منطقی با استفاده از سیستم دو بعدی مورد بررسی قرار دهیم. این حالت انجام شدنی است با فرض اینکه h درجهت x,y تغییر می کند و درجهت z تغییری پیدا نمی کند. به همین دلیل ابعاد مساًله ریاضی محدود به یک صفحه افقی می شود. فرمول دوپویی فورشهایمر: این معادله دو پویی مفروضاتی برای مدلسازی جریان آبخوان به صورت دو بعدی مورد ملا حظه قرار می دهد و نام گذاری با آن استفاده از دو هیدروژئولوژیست فرانسوی وآلمانی که این مدل را ارائه وگسترش دادند صورت گرفته است.

حل جریان یکنواخت: یکی از راههایی که برای معادله لاپلاس ارائه می شود معادلاتی بوده که جریان یکنواخت در یک جهت را مورد بررسی قرار می دهد. اگر این حالت در نظر گرفته شود در این حالت می توانیم راه حل هایی را در نظربگیریم که معادله لاپلاس را به صورت زیر در می آورند: (2-6) اگر این دو معادله واقعیت داشته باشد انتگرال گیری از آنها بصورت و می باشد.A و B مقدار ثابتی هستند. باز انتگرال گیری از این دو معادله منجر به راه حل (3-6) h= Ax+By+c می شود که A,B دارای مقدار ثابتی هستند. این راه حل نشان دهنده جریان یکنواخت در یک سطح پتانسیومتری صفحه ای است. ثوابت A,Bشیب هیدرولیکی در جهت x ,yدرمعادله (2-6)هستند (معادله لاپلاس تبدیل به معادله خطی شده است).

مثال: شکل زیر پلان رو به بالا(منظره از بالا ) سه چاه مشاهده ای (غیر پمپاژی) در یک آبخوان محصور نشان داده می شود که بار هیدرو لیکی در هر کدام اندازه گیری شده است. مدل ریاضی را برای جریان یکنواخت برای مسئله تعیین کنید و با استفاده از مدل بار هیدرولیکی را در نقطه p پیش بینی کنید. (می توان از طریق درون یابی نیز حل کرد)

(A,B,C) دارای مقدار ثابت هستند و مختصات هر کدام و بار هیدرولیکی برای نقاط خاص مشخص هستند. H = Ax + By + c

به عبارت دیگر ثوابت(A,B,C) مجهول هستند که مشخص کننده سه شرایط خاص اند با استفاده از معادله (3- 6) برای نقطه m می توان به صورت زیر نوشت: c=120 hm=A(0)+B(0)+c معادله خطی در موقعیت n به صورت زیراست: hn=A(500)+B(0)+c hn=A(500)+120 A=0.008 درموقعیت o ho=A(0)+B(-300) +c ho=B(-300)+120 B=-0.0066

معادله نهایی: درنقطه ای که دراین منطقه است می توان با قرار دادن Xو Y آن،h را بدست آورد برای مثال نقطه P: برای جریان شعاعی به درون چاه این راه حل دارای مفروضات زیر است: 1) جریان به طرف چاه به صورت شعاعی است. 2) مبداً سیستم مختصاتی به صورت خط مر کزی نسبت به چاه در نظر گرفته می شود با توجه به این راه حل تمام جریان به صورت سیستماتیک شعاعی در جهت r می باشد.

اگر بخواهیم این فرض را مورد نظر قرار دهیم مرز مسئله به صورت استوانه ای دارای شعاعr به مرکزیت چاه است. ضخامت آبخوان برابر b می باشد. نتیجتاً سطحی که از طریق آن آب وارد می شود از طریق استوانه مذکور برابراست با : میزان دبی ویژه در جهت منفی r (به طرف چاه ) در هر محلی بر روی این سطح استوانه ای برابر است با: کل دبی عبوری از درون این استوانه برابر حاصلضرب دبی ویژه و سطح استوانه می با شد که باید برابر با دبی چاه باشد: اگر dh را مجهول بگیریم: انتگرال گیری از دو طرف معدله منجر به راه حلی برای جریان ماند گار شعاعی در آبخوان می شود که دارای T ثابت است.

اگر بار هیدرولیکی در نقطه ای نزدیک به چاه باشد مقدار c را در این رابطه می توان مشخص کرد اگر بار هیدرولیکی در شعاع r0 مساوی با h0 باشد راه حل درr=r0 معادله را به صورت زیر در می آورد: (6-6) حل معادله فوق برای cبرابر خواهد بود با: جایگذاری مقدار c در معادله (6-6)معادله ای را ارائه می دهد که در آن بار هیدرولیکی در نقطه ای نزدیک به چاه مشخص می باشد: این معادله، معادله تیم نامیده می شود. در نقطه r=r0 ، h=h0 است. یا نقطه r=r0 و h=h0 را می توان در شعاع چاه پمپاژی منظور کرد اگر شما سطح آب در چاه پمپاژی را بدانید یا نقطه مذکور در هر محلی در نزدیکی چاه یا پیزومتر مورد بررسی قرار دهیم

مثال:در آبخوانی محصور چاهی وجود دارد که با دبی 500 m3/dپمپاژ می شود و در این حالت آب در آبخوان به صورت ماندگار است. در نزدیکی چاه دو چاه A,B به فواصل 10و25 متر قراردارند. بار هیدرولیکی در سطح این چاه ها hA=80 وhB=82 می باشد. با توجه به اطلاعات مذکورK,T را برای آبخوان تعیین کنید و سطح آب را در دیواره اسکرین چاه که شعاع آن rw = 0.5 m پیش بینی کنید. چون سطح آب یا بار هیدرولیکی دریک چاه نزدیک به چاه پمپاژ مشخص می باشد رابطه زیر به عنوان شروع مورد استفاده قرار می گیرد. ما سطح آب را در چاه A در معادله مورد استفاده قرار می دهیم ولی می توانیم چاه B را نیز هم مورد استفاده قرار دهیم.

اگرمقدارسطح آب درچاه B مورد استفاده قرار گیرد: با مشخص شدن T سطح آب در چاه بدست می آید:

حل عددی

مدل(3D F.D) را می توان به صورت زیرحل کرد: روش های عددی: تما م روشهای عددی شامل مشخص کردن حوضه جریان توسط تعدادی نقاط پراکنده به نام گره می باشد. نتیجتأ مجموعه ای ازمعادلات ایجاد می شود تا مقادیر گره ای متغیرهای وابسته را به طریقی به هم ارتباط دهند که معادله پارشال دیفرانسیل رابه صورت تقریبی یا دقیق حل کند. حل عددی: حل گسسته ای است از بار هیدرولیکی در نقا ط گره ای انتخا ب شده که شامل حل عددی مجموعه ای ازمعادلات جبری است. مثا ل برای مدلهای تفاضلات محدود مدل Mod flow است و برای المانهای محدود مدلsutra است. مدل های تفا ضل محدود اگر به صورت سه بعدی باشد (3-D Finite Difference Models) مستلزم گسترده سازی عمودی مدل لایه بندی آن است. vertical discretization )) مدل(3D F.D) را می توان به صورت زیرحل کرد: 1- از طریق برنا مه کا مپیوتری ما نند FORTRAN 2- از طریق صفحه گسترده مانند EXCEL

معادلات تفاضل محدود: در هر شبکه تفاضل محدود برای هر گره یک معادله جبری وجود دارد که این معادله جبری بار هیدرولیکی در گره مذکور را به بار هیدرولیکی گره های مجاور ارتباط می دهد؛ و در حالت شبیه سازی ناماندگار بار هیدرولیکی در گره مذکور را به بار هیدرولیکی در گره ها در زمان های مختلف ارتباط می دهد. این معادله بوسیله الزام بقاء حجم آب برای یک بلوک شبکه ایجاد می شود. با فرض اینکه چگالی آب زیرزمینی ثابت می باشد، قانون بقای حجم به صورت قانون بقای جرم در نظر گرفته می شود. یعنی: Conservational water value = conservation mass ( آبهای ورودی به یک سلول برابر آبهای خروجی از سلول می باشد)

مسئله پنج نقطه ای: اگر چاههای مشاهداتی در شکل زیر مورد بررسی قرار دهیم می توانیم با تقریب منطقه ای مشتق بار هیدرولیکی در نقطه D بین دو چاه 1وo به صورت زیر بنویسیم. توجه شود که چاههای مشاهداتی درفاصله مساوی از یکدیگر قرار دارند (فاصله گره ها مساوی است) شکل (2-20)

به طریق مشابه می توان مشتق دوم در نقطه o ( محل چاه مرکزی ) می توانیم به صورت زیر بنویسیم . اگر چاه شماره 3و 4 را که درشکل (20-2b) نشان داده شده برروی خطی درنظر بگیریم که به موازات محور y ها ست. می توان به طریق مشابه در نقطه o یعنی نقطه مشابه o درشکل( 20-2a) درنظر گرفت.

حال اگر فاصله بندی بین دو چاه مشابه باشد می توان معادله تقریبی زیر را بدست آورد. مسئله 5 نقطه ای اولین مساله برای حل تفاضل محدود است. برای اینکه معادله را به شکل کامپیوتری درآورند معادله را به دو صورت معادله دارسی و معادله جرمی می نویسند . هدف درست کردن یک معادله تفاضل محدود برای معادله زیر است.

مطابق با قانون معادله دارسی وقانون بقای جرم: تمام جریانهای ورودی وخروجی ازسلول مورد نظر باید مساوی با نرخ تغییرات ذخیره درسلول باشد با فرض اینکه چگالی آب زیرزمینی ثابت است با استفاده ازکاربرد موازنه جرمی در پریود برای یک سلول معین رابطه زیر برقرار است: اگرمحاسبه را به عنوان ضریب ذخیره سلول درنظر بگیریم سمت راست معادله نشان دهنده حجم آب درسلول است . بطور کلی معادله مشخص می کند که میزان خالص حجم آب ورودی به داخل سلول درزمان مساوی با ذخیره آب در داخل سلول است. این معادله به صورت دیگر نیز بیان می شود. بیلان از طریق این معادله بدست می آید. معادله فوق ازطریق تبدیل معادله حاکم بدست آمده است.

میزان جریان به درون سلول ( i, j, k) از 6 سلول مجاور در شکل (23 - 4) مورد بررسی قرار می گیرد. شکل (23- 4)

ورودی وخروجی برخی از این سلولها: میزان جریان به درون سلول i,j-1,k درجهت ردیف i,j,k از این سلول مطابق با قانون دارسی به صورت زیر بیان می شود: : برای مشخص کردن فاصله بین گره ها به کار می رود. : فاصله بین دو گره سلول i,j,k و i,j-1,k : برحسب واحد طول مکعب درزمان : میزان جریانی که اتفاق می افتد بین وجهی ازسلول i,j,k و i,j-1,k : هدایت هیدرولیکی برحسب واحد طول بر زمان : نشان دهنده هدایت هیدرولیکی در امتداد ردیف بین گره های i,j,k و i,j-1,k

معادلات یا عبارات مشابهی می توان برای جریان به درون به درون سلول، یا جریان های خروجی از سلول برای 5 وجه دیگر مورد بررسی قرار دارد. برای مثال میزان جریان ورودی در جهت ردیف ها بین وجه سلول های برابر با رابطه زیراست: برای جهت ستون ها میزان جریان از وجه رو به رو از بلوک به صورت زیر: برای جهت ستون درسلولی که درعقب است به صورت زیر است: (112-4)

به علت این که ابعاد سلولها و هدایت هیدرولیکی در تمام فرایند حل معادله حاکم ثابت است. روابط را می توان به صورت ساده تری نوشت برای مثال رابطه (4- 112) می توان به صورت رابطه (4-118) نوشت: (118-4) تنها تفاوتی که بین این دو رابطه است بار هیدرولیکی دراین معادله حذف شده است. : از حاصلضرب قسمتهای ثابت بدست می آید و معروف به رسانایی (conductance) است که برحسب L2/T بیان می شود . رسانائی درفرمول بیان شده درجهت ردیف i ولایه k بین گره های I,j-1/2,k و I,j,k است .با جایگزین کردن رسانائی ازمعادله (4- 118) درمعادله (4- 112) خواهیم داشت: (4-119)

به طریق مشابه روابط(4-113) تا (4-117) را می توان به صورت زیر نوشت: (120-4) (121-4) (122-4) (123-4) (124-4)

میزان جریان های ورودی به سلول از خارج به آبخوان: معادلات (119-4) تا(124- 4) مربوط به جریان های ورودی به سلول I,j,k از 6 سلول مجاور هستند. ورودی های دیگری نیز نیاز می باشد که جریان های ورودی به سلول در خارج از آبخوان مورد بررسی قرار می دهیم نظیر نشست از بستر رود خانه، زهکش ها، تبخیر و تعرق چاهها این جریان ها ورودی به درون سلول می تواند وابسته به بارهیدرولیکی سلول دریافت کننده باشد و یا مستقل از بارهیدرولیکی نقاط دیگر درآبخوان باشند. یا اینکه این جریانها ممکن است کاملاً مستقل از بارهیدرولیک در سلول دریافت کننده باشند. ولی به طورکلی جریان از خارج آبخوان را می توان توسط رابطه زیر بیان کرد.

(125-4) مستقل از هد وابسته به هد که در این رابطه ai,j,k,n نشان دهنده میزان جریان از nامین منبع خارجی به درون سلول i,j,k می باشد. و که هردو برحسب هستند جز ثوابت می باشند. برای مثال سلولی را در نظر بگیرید که آب از دو منبع دریافت می کند یکی ازآنها تغذیه ازیک چاه و دیگری تغذیه از بستررودخانه است .برای اولین منبع یا جریان n=1می باشد چون جریا ن از چاه از بار هیدرولیکی است.

Pi,j,k,1 مساوی صفر است و میزان تغذیه ازچاه است برای این حالت واژه ai,j,k,1 فقط مساوی با خواهد بود. برای منبع دوم n=2 میزان نشت متناسب با تفاوت سطح آب رودخا نه و بارهیدرولیکی در سلول می باشد. بنابراین واژه مساوی خواهد بود با: که دراین رابطه عبارت است conductanceرودخانه l2/T) ) : تفاوت بین سطح آب درسلول و رودخانه و بار هیدرولیکی در رودخانه است. معادله (127-4) را می توان به صورت زیر نوشت:

به طور کلی اگر N منبع خارجی یا تنش برروی یک سلول تاثیر بگذارد مجموعه جریان ها به صورت زیر بیان می شود. با توجه به اینکه به صورت زیر تعریف می شوند: (131-4) (130-4) باتوجه به رابطه (129-4)واژه مربوط به جریان خارجی برای سلول i,j,k را می توان به صورت زیر خلاصه کرد:

معادله پیوستگی (111- 4) این معادله شامل تمام جریان ها بین i,j,k و 6 گره اطراف آن می باشد وهمچنین شامل جریان های خارجی می باشد که اگر موارد مذکور در رابطه قرارداده شوند رابطه نهایی پیوستگی به صورت (4-133) در می آید: (133- 4) : تقریب تفاضل محدود برای تغییر بارهیدرولیک نسبت به زمان می باشد. : ضریب ذخیره ویژه سلول i,j,k

: برابر با حجم سلول i,j,k می باشد : برابر با حجم سلول i,j,k می باشد. با جایگذاری معادله (119- 4) تا (124- 4) و معادله (132- 4) به درون معادله (133-4) معادله نهایی تقریب تفاضل محدود برای سلول i,j,k به صورت زیر حاصل می گردد.

Mathematical Model of the Toth Problem h = c x + zo Laplace Equation 2D, steady state

Analytical Solution Numerical Solution continuous solution Toth Problem z h = c x + zo Mathematical model x Analytical Solution Numerical Solution continuous solution discrete solution

Analytical Solution Numerical Solution h(x,z) = zo + cs/2 – 4cs/2 … Toth Problem z h = c x + zo Mathematical model x Analytical Solution Numerical Solution h(x,z) = zo + cs/2 – 4cs/2 … (eqn. 2.1 in W&A) z x continuous solution discrete solution

hi,j = (hi+1,j + hi-1,j + hi,j+1 + hi,j-1)/4 Toth Problem z h = c x + zo Mathematical model x Analytical Solution Numerical Solution h(x,z) = zo + cs/2 – 4cs/2 … (eqn. 2.1 in W&A) z hi,j = (hi+1,j + hi-1,j + hi,j+1 + hi,j-1)/4 x continuous solution discrete solution

Hinge line Add a water balance & compute water balance error Example of spreadsheet formula

OUT IN Q= KIA Hinge line OUT – IN = 0

Hinge line Add a water balance & compute water balance error

Q = KIA=K(h/z)(x)(1) x=z  Q = K h z x z x 1 m

Mesh centered grid: area needed in water balance (x/2) x No Flow Boundary x (x/2) water table nodes

x=z  Q = K h

Block centered grid: area needed in water balance No flow boundary x x water table nodes

Toth Problem (2D, steady state) z water table Governing Equation: Groundwater divide Groundwater divide Impermeable Rock x