 آشنايي با درخت  درخت هاي دودويي  پيمايش درختان  هرم  جنگل اهداف 1

ساختار درختي يعني مجموعه داده هاي سازماندهي شده اي که عناصر اطلاعاتي شان به وسيله انشعاباتي با هم رابطه داشته باشند. درخت 2

درخت مجموعه محدودي از يک يا چند گره به صورت زير مي باشد : داراي گره خاصي به نام ريشه باشد. بقيه گره ها به n ≥ 0 مجموعه مجزا تقسيم شده که هر يک از اين مجموعه ها خود يک درخت هستند. زير درختان ريشه ناميده مي شوند. 3

 به عنصر حاوي اطلاعات و انشعابات به ديگر عناصر، گره اطلاق مي شود.  تعداد زير درختهاي يك گره، درجه آن ناميده ميشود  گره اي كه درجه آن صفر باشد، برگ يا گره پاياني ناميده ميشود و در مقابل بقيه گره ‌ ها گره هاي غيرپاياني ناميده ميشوند.  گره ريشه را در هر زير درخت گره پدر ( والد ) و به گره ‌ هاي متصل شده به آن گره فرزند ميگويند  فرزنداني كه پدر يكسان دارند برادر ( يا همزاد ) ناميده ميشوند 4

A والد B ، C ، D است. B ، C ، D همزادند. A C G D B E HI J M F ريشه درخت L K همزاد درجه A = 3 شکل 1-5 5

اجداد گره : اجداد گره : اجداد يک گره ، گره هايي هستند که در مسير طي شده از ريشه تا آن گره وجود دارند. سطح گره : سطح گره : سطح يک گره بدين صورت تعريف مي شود که ريشه در سطح يک قرار مي گيرد. براي تمامي گره هاي بعدي ، سطح گره برابر است با سطح والد به اضافه يک. ارتفاع درخت : ارتفاع درخت : ارتفاع يا عمق يک درخت به بيشترين سطح گره هاي آن درخت گفته مي شود. 6

يک راه نمايش درخت ، استفاده از ليست است. شکل 1-5 را مي توان به صورت زير نشان داد : (A(B(E(K ، L) ، F) ، C(G) ، D(H(M) ، I ، J))) A C G D B E HI J M F L K 7

 اگر بخواهيم براي نگهداري يك درخت ساختمان داده اي مانند نمايش معمول ( هر گره آدرس گره هاي فرزند خود را داشته باشد ) تعريف كنيم مشكل زير بوجود مي ‌ آيد :  درجه تمام درختها يكي نميباشد لذا مجبور خواهيم شد براي هر گره تعداد متغيري از اشاره گرها داشته باشيم. با اين وجود، نوشتن الگوريتم براي گره ‌ هايي كه طول متغير دارند دشوار خواهد شد  براي حل مشكل بايد از گره هايي با طول ثابت استفاده كنيم. 8

Link k … link 2link 1data  اگر بيشترين درجه درخت k باشد بنابراين هر گره بايد توانايي نگهداري k اشاره گر را داشته باشد و ساختمان داده اي به شكل زير بايد تعريف كنيم. 9

 اگر T درختي از درجه k با n گره باشد و هر گره آن مانند شكل قبل طول ثابتي داشته باشد آنگاه n(k-1)+1 از nk فيلد بچه آن ( اشاره گرهاي به فرزند ) برابر 0‌ (NULL) است.  اثبات :  از آنجا كه هر فيلد بچه غير صفر به يك گره اشاره ميكند و براي هر گره غير از ريشه يك اشاره گر وجود دارد از اينرو تعداد فيلدهاي بچه غيرصفر براي درختي با n گره دقيقاً برابر n-1 است. تعداد كل فيلدهاي بچه براي درختي با n گره از درجه k برابر nk ميباشد. لذا :  تعداد اشاره گرهاي بچه NULL : nk-(n-1)=n(k-1)+1 10

 براي درختان دو نمايش خاص كه از گره ‌ هايي با طول ثابت استفاده ميكند ارائه ميكنيم.  الف ) نمايش درخت بصورت بچه چپ - همزاد راست  ب ) نمايش درخت بصورت يك درخت درجه 2. 11

 براي نمايش درختان دودويي ، دقيقا نياز به دو اتصال يا اشاره گر به ازاي هر گره است. Data right siblingleft child

A C G D B E HI J M F L K A 0 B C D 0 EF 00 K 0 L 00 G 00 HI 0 J 00 M 00 13

A C G D B E HI J M F L K A 0 BCD 0 EF 00 K 0 L 00 G 00 HI 0 J 00 M 00 14

15  مشخصه اصلي يک درخت دودويي بدين شکل است که هر گره آن حداکثر دو انشعاب دارد يعني گره هايي که درجه اي بيشتر از دو نداشته باشند.  براي درخت هاي دودويي زير درخت سمت چپ و راست با يکديگر متمايز است. يک درخت دودويي يا تهي است يا حاوي مجموعه اي محدود از گره ها شامل يک ريشه و دو زير درخت دودويي است. اين درخت ها زير درخت هاي چپ و راست ناميده مي شوند. تعريف :

structure Binary_tree (abbreviated BinTree ) is objects : a finite set of nodes either empty or consisting of a root node ، left Binary_tree ، and right Binary_tree. functions : for all bt ، bt1 ، bt2 BinTree ، item element BinTree Create() Boolean IsEmpty (bt) BinTree MakeBT(bt1 ، item ، bt 2) BinTree Lchild(bt) element Data(bt) BinTree Rchild(bt) 16

در هيچ درخت عادي صفر گره وجود ندارد ، اما درخت دودويي تهي وجود دارد. در يک درخت دودويي ترتيب فرزندان داراي اهميت بوده در حالي که در درخت عادي به اين صورت نيست. 17

 حداکثر تعداد گره ها در سطح i ام يک درخت دودويي 2 i-1 است.  حداکثر تعداد گره ها در يک درخت دودويي به عمق k ، 2 k -1 است. حداکثر تعداد گره ها 18

براي هر درخت دودويي غير تهي مانند T ، اگر تعدادگره هاي پاياني و تعداد گره هاي درجه 2 باشد ، آنگاه خواهيم داشت : رابطه بين تعداد گره هاي برگ و گره هاي درجه 2 19

يک درخت دودويي پر به عمق k ، يک درخت دودويي پر است مشروط به اينكه 2 k -1 گره داشته باشد. يک درخت دودويي با n گره و عمق k کامل است ، اگر و تنها اگر گره هايش مطابق با گره هاي شماره گذاري شده در يک درخت دودويي پر به عمق k باشد. ارتفاع يك درخت دودويي كامل با n گره برابر است

نمايش درخت دودويي به دو صورت است : نمايش آرايه نمايش ليست پيوندي 21

 شيوه شماره گذاري ارايه شده در شکل زير ، اولين نمايش يک درخت دودويي در حافظه را مطرح و پيشنهاد مي کند. از آنجايي که گره ها از 1 تا n شماره گذاري شده اند ، يک آرايه يک بعدي مي تواند براي ذخيره سازي گره ها استفاده شود.

A C B D F G E I H -0 A1 B2 C3 D4 E5 F6 G7 H8 نمايش آرايه اي درخت دودويي 23

اگر يک درخت دودويي کامل با n گره ( يعني عمق ) به ترتيب بالا تعريف شده باشد ، آنگاه براي هر گره با انديس i و ≤ n i 1≤ ، داريم : ◦ (1) اگر i≠1 ، آنگاه پدر i در [i/2] است. اگر i=1 ، i ريشه است و پدري نخواهد داشت. ◦ (2) اگر 2i≤n ، آنگاه فرزند چپ i در 2i است. اگر 2i>n ، آنگاه i فرزند چپ ندارد. ◦ (3) اگر 2i+1≤n ، آنگاه فرزند راست i در 2i+1 است. اگر 2i+1>n ، آنگاه i فرزند راست ندارد

در بدترين حالت ، يک درخت مورب به عمق k ، به محل و موقعيت نياز دارد که از اين مقدار، فقط k محل اشغال مي شود. 25

اگرچه نمايش ترتيبي ( آرايه اي ) براي درختان دودويي کامل مناسب به نظر مي رسد ، ما براي بسياري از درختان ديگر باعث اتلاف حافظه ميشود به علاوه ، اين روش از نارسايي هاي موجود در نمايش ترتيبي نيز برخوردار است. درج يا حذف گره هاي يک درخت ، مستلزم جابه جايي گره هاست که خود باعث تغيير شماره سطح گره ها مي شود. اين مسايل مي تواند با به کارگيري نمايش پيوندي به آساني حل شود. 26

با اين روش هر گره سه فيلد خواهد داشت : left_child ، data ، right_child که در زبان C به شرح زير تعريف مي شوند : typedef struct node *tree_pointer ; typedef struct node { int data ; tree_pointer left_child ، right_child ; }; 27

class Tree; class TreeNode { friend class Tree; private: char data; TreeNode *LeftChild; TreeNode *RightChild; }; class Tree { public: Tree(); Tree(const Tree& t); private: TreeNode *root; }; 28

right_childdataleft_child dat a right_child نمايش يک گره درخت دودويي

به هنگام پيمايش يک درخت دودويي ، با هر گره و زيردرختانش به طرز مشابهي رفتار کنيم. اگر R ، V ، L به ترتيب حرکت به چپ ، ملاقات کردن يک گره ( براي مثال ، چاپ فيلد داده آن گره ) و حرکت به راست باشد، آنگاه شش ترکيب ممکن براي پيمايش يک درخت خواهيم داشت : RLV ، RVL ، VRL ، VLR ، LRV ، LVR 30

اگر تنها حالتي را انتخاب کنيم که ابتدا به سمت چپ و بعد به سمت راست برود ، تنها سه ترکيب VLR ، LRV ، LVR خواهيم داشت. اين سه حالت را با توجه به موقعيت V نسبت به L و R به ترتيب preordcr ، postorder ، inorder مي ناميم. مثال 31

در پيمايش postorder ، يک گره موقعي ملاقات و چاپ مي شود که زيردرختان چپ و راست آن قبلا ملاقات شده باشند. در پيمايش preorder ، يک گره قبل از پيمايش زيردرختان چپ و راست ، ملاقات مي گردد. 32

درخت زير حاوي يک عبارت رياضي است : A/B*C*D*+E + E * * D C / AB درخت دودويي براي يک عبارت محاسباتي 33

هنگامي که اين پيمايش انتخاب مي شود ، حرکت به سمت پايين به طرف چپ انجام مي شود و اين عمل تا آخرين گره صورت مي گيرد سپس مي توان گره را بازيابي کرد و بعد به سمت راست رفته و به همين ترتيب کار ادامه پيدا مي کند. اين متناظر با شکل infix يک عبارت است. 34

void inorder (tree_pointer ptr ) /* inorder tree traversal */ { if (ptr) { inorder ( ptr -> left_child ); printf ( “ % d ” ، ptr -> data ); inorder (ptr -> right_child); } 35

تابع preorder حاوي دستورات لازم براي شکل دوم پيمايش است. بر اساس اين پيمايش ، گره را ابتدا بازيابي و ملاقات نموده و سپس انشعابات چپ را دنبال و تمام گره ها را بازيابي مي کنيم. اين فرآيند ادامه پيدا مي کند تا به يک گره تهي برسيم. در اين نقطه ، به نزديکترين جدي که داراي يک فرزند راست باشد مراجعه و با اين گره شروع خواهيم نمود. 36

+ E * * D C / AB با پيمايش preorder گره هاي درخت زير خروجي به شکل زير خواهند داشت : خروجي + * * / A B C D E اين به شکل يک عبارت prefix است. 37

Vide preorder (tree_pointer ptr ) /* preorder tree traversal */ { if (ptr) { printf ( “ % d ” ، ptr -> data ); preorder ( ptr -> left_child ); preorder (ptr -> right_child); } 38

اين پيمايش دو فرزند يک گره را قبل از بازيابي آن گره ملاقات و چاپ مي کند. اين مساله بدين مفهوم است که فرزندان يک گره قبل از خود آن گره بازيابي مي گردد. 39

خروجي حاصل از پيمايش postorder شکل زير به صورت زير است : + E * * D C / AB خروجي A B/ C* D* E + اين خروجي مانند يک عبارت postfix است. 40

Void iter_pointer (tree_pointer node ) { int top = -1 ; /* initialize stack */ tree_pointer stack [MAX_STACK_SIZE] ; for ( ; ; ) { for (; node ; node = ->left_child) add ( &top ، node ); /* add to stack */ node = delete (&top); /*delete from stack */ if (! Node) break ; /* empty stack*/ printf ( “ % d ”، node-> data ) ; node = node -> right_child; } 41

3-5 پيمايش inorder غيربازگشتي تحليل inorder2 : فرض کنيد تعداد گره هاي درخت n باشد ، اگر عمل iter_inorder را در نظر بگيريم ، مشاهده مي شود که هر گره درخت فقط يک بار در پشته قرار گرفته و يا از آن خارج مي شود. بنابراين اگر تعداد گره هاي درخت n باشد ، پيچيدگي زمان تابع برابر با O(n) مي باشد. حافظه مورد نياز برابر با عمق درخت است که مساوي با O(n) مي باشد. 42

پيمايش هاي inorder ، preorder ، postorder چه به صورت بازگشت پذيري نوشته يا به صورت غيربازگشتي ، همگي نيازمند پشته مي باشند. اين پيمايش ، ترتيب سطحي ، ابتدا ريشه را بازيابي ، سپس فرزند چپ ريشه و به دنبال آن فرزند راست ريشه بازيابي مي گردد. اين شيوه با بازيابي از گره منتهي اليه سمت چپ به سمت راست هر سطح جديد تکرار مي گردد. اين پيمايش از صف استفاده مي کند. 43

3-5 پيمايش ترتيب سطحي پيمايش ترتيب سطحي درخت زير به صورت زير است : + E * * D C / AB *E *D / C A B 44

1 - کپي کردن درختان دودويي 2 - تعيين برابري و تساوي دو درخت 3 - مساله Satisfiability 45

تعداد اتصالات تهي در يک درخت دودويي بيشتر از تعداد اشاره گرهاي غيرتهي است. در يک درخت دودويي تعداد n + 1 اتصال از کل اتصالات آن يعني ، 2n تهي است. يک راه براي به کارگيري اين اتصالات توسط پرلين و تورنتن پيشنهاد شد. راه حل اين بود که از اتصالات تهي براي ارتباط با ديگر گره هاي يک درخت استفاده شود که در اين صورت درخت را درخت نخي مي نامند. 46

براي ايجاد اتصالات نخي از قوانين زير استفاده مي شود : 1) اگر ptr-> left_child تهي باشد ، آن را طوري تغيير مي دهيم که به گره اي که در پيمايش inorder قبل از ptr قرار دارد ، اشاره کند. 2) اگر ptr-> right_child تهي باشد ، آن را طوري تغيير مي دهيم که به گره اي که در پيمايش inorder بعد از ptr قرار دارد ، اشاره کند. 47

هنگامي که درختي را در حافظه نمايش مي دهيم ، بايستي بتوانيم بين اتصالات نخي و واقعي تفاوتي قايل شويم. اين کار را با افزودن دو فيلد اضافي به هر گره انجام مي دهيم که آنها را right_thread ، left_thread مي ناميم. 48

A C B D F G E I H درخت نخي متناظر A C B D F G E I H اتصالات نخي 49

براي هر گره مانند ptr ، در يک درخت دودويي ، چنانچه ptr->right_thread = TRUE باشد ، طبق تعريف گره بعدي ptr در پيمايش inorder ، ptr->right_child مي باشد. در غير اين صورت گره بعدي ptr ، با پايين رفتن روي مسير فرزندان چپ ptr از طرف فرزند سمت راست ptr تا وقتي که به گره اي با وضعيت left_thread = TRUE برسيم ، تعيين مي شود. 50

تابع insucc بدون استفاده از پشته ، گره بعدي در پيمايش inorder را در يک درخت نخي دودويي پيدا مي کند. براي پيمايش inorder مي توانيم با فراخواني مکرر insucc تمام گره ها را بازيابي کنيم. 51

threaded_pointer insucc (threaded_pointer tree) { /* find the inorder sucassor of tree in a threaded binary tree */ threaded_pointer temp ; temp = tree -> right_child ; if (! Tree -> right_thread) while (! temp -> left_thread) temp = temp -> left_child ; return temp ; } تابع insucc : پيدا نمودن گره بعد ، يک گره خاص در پيمايش inorder 52

Void tinorder (threaded_pointer tree) { /* traverse the threaded binary tree inorder */ threaded_pointer temp = tree ; for ( ; ; ) { temp = insucc (temp) ; if (temp = tree ) break ; printf ( “ % 3c ” ، temp -> data ) ; } 53

 نحوه اضافه كردن يك گره جديد به درخت نخ كشي شده را بررسي نماييد.  براي ارائه روش از نرم افزار power point براي انيميشن دادن به كار استفاده نماييد.  بايد الگوريتم كار با دقت آورده شده و ميتوانيد از شبه كد نيز استفاده كنيد. 54

max tree max tree درختي است که مقدار کليد هر گره آن کمتر از مقادير کليدهاي فرزندانش نباشد. max heap max heap يک درخت دودويي کامل است که يک max tree نيز مي باشد. min tree min tree درختي است که مقدار کليد هر گره آن بيشتر از مقادير کليدهاي فرزندانش نباشد. min heap min heap يک درخت دودويي کامل است که در واقع يک min tree مي باشد. 55

[1] [2] [4] [5] [3] 6 [6] [1] [2] [4] [5] [3] 6 [6] [1] [2] [4] [3] [1] [2] [4] [3] مثال از max heap مثال از min heap 56

ايجاد يک هرم (heap) تهي جايگذاري عنصر جديد به هرم (heap) حذف بزرگترين عنصر از هرم (heap) 57

صف اولويت ها غالبا هرم ها براي پياده سازي صف اولويت ها استفاده مي شوند. در صف اولويت ها عنصري که داراي بالاترين ( يا پايين ترين ) اولويت هست ، حذف مي شود. آرايه ساده ترين نمايش براي يک صف اولويت مي باشد. 58

DeletionInsertionRepresentation Θ(n)Θ(1)Unordered array Θ(nΘ(1)Unordered linked list Θ(1)O(n)Stored array Θ(1)O(n)Stored linked list Max heap 59

[1] [2] [4] [3] 10 [5] الف - درخت heap قبل از درج ب - محل اوليه گره جديد درج عنصر جديد اضافه کردن گره جديد در هر موقعيت ديگري ،تعريف heap را نقض مي کند زيرا نتيجه يک درخت دودويي کامل نخواهد بود [1] [2] [4] [3] 10 [5] 60

61

 از آنجا که heap يک درخت کامل با n عنصر مي باشد ، داراي ارتفاع log 2 (n) مي باشد. اين بدين معني مي باشد که حلقه while به ميزان log 2 (n) تکرار شود. بنابراين پيچيدگي تابع درج برابر log 2 (n) مي باشد. 62

[1] [2] [4] [3] 1010 [5] هنگامي که عنصري از max heap حذف مي شود ، آن را از ريشه درخت heap مي گيريم [1] [2] [4] [3] [5] 20 removed حذف يک عنصر از max heap 63

64

 پيچيدگي حذف برابرمي باشد.  زمان حذف يک عنصر دلخواه از درخت heap با n عنصر ، برابر O(n) مي باشد. 65

يک درخت جستجوي يک درخت دودويي است که ممکن است تهي باشد. اگر درخت تهي نباشد خصوصيات زير را برآورده مي کند : هر عنصر داراي يک کليد است و دو عنصر نبايد داراي کليد يکسان باشند ، در واقع کليدها منحصر به فردند. کليدهاي واقع در زيردرخت غيرتهي چپ بايد کمتر از مقدار کليد واقع در ريشه زيردرخت راست باشد. کليدهاي واقع در زيردرخت غيرتهي راست بايد بزرگتر از مقدار کليد واقع در ريشه زيردرخت چپ باشد. زيردرختان چپ و راست نيز خود درختان جستجوي دودويي ميباشند. 66

مثال 67

class BSTNode { friend class BST; private: BSTNode *left; int key; BSTNode *right; public: int GetKey(); }; class BST { public: BST(); bool Insert(int key); BSTNode* Search(int key); void DeleteNode(BSTNode* pNode,bool bRight); private: BSTNode *root; }; در كلاس نوشته شده فرض شده كه هر گره تنها يك مقدار كليد دارد ولي در طراحي پيشرفته تر ميتوان از قالبها استفاده نمود. 68

فرض کنيد خواسته باشيم دنبال عنصري با کليد key بگرديم. ابتدا از ريشه (root) شروع مي کنيم ، اگر ريشه تهي باشد ، درخت جستجو فاقد هر عنصري بوده و جستجو ناموفق خواهد بود. در غير اين صورت key را با با مقدار کليد ريشه مقايسه کرده : اگر key کمتر از مقدار کليد ريشه باشد ، هيچ عنصري در زيردرخت راست وجود ندارد که داراي کليدي برابر key باشد ، بنابراين زيردرخت چپ ريشه را جستجو مي کنيم. اگر key بزرگتر از مقدار کليد ريشه باشد ، زيردرخت راست را جستجو مي کنيم. 69

اگر h ارتفاع يا عمق يک درخت جستجوي دودويي باشد ، عمل جستجو را در مدت O(h) انجام مي شود. 70

BSTNode* BST::Search(int key) { return Search(root, key); } BSTNode* BST::Search(BSTNode* p, int key) { if (!p) return 0; if(key ==p→key) return p; if(key <p→key) return Search(p→left, key); else return Search(p→right, key); } 71

BSTNode* BST::Search(int key) { BSTNode *p=root; while(p!=NULL) { if(key < p→key) p = p→left; else if(key > p→key) p = p→right; else return p; } return 0; } 72

براي درج عنصر جديدي به نام key ، ابتدا بايد مشخص نمود که آيا کليد با عناصر موجود متفاوت است يا خير. براي انجام اين کار بايد درخت را جستجو کرد، اگرجستجو ناموفق باشد ، عنصر را در محلي که جستجو خاتمه پيدا نموده است ، درج مي کنيم. 73

جايگذاري 80 جايگذاري 35 مثال 74

زمان لازم براي جستجوي num در يک درخت برابر O(h) مي باشد به نحوي که h برابر با عمق يا ارتفاع درخت است. بقيه الگوريتم نياز به زمان Θ(1) دارد. بنابراين زمان کل مورد نياز insert_node برابر با Θ(h) مي باشد. 75

bool BST::Insert(int key) { BSTNode *p=root; BSTNode *q; while(p!=NULL) { q = p; if(key < p→key) p = p→left; else if(key > p→key) p = p→right; else return false; //Error for duplicate key } p = new BSTNode (key); if (!root) { root = p; return true; } if(key < q→key) q→left = p; else q→right = p; return true; } 76

براي حذف 35 از درخت زير بايد فيلد فرزند چپ والد اين گروه را برابر NULL قرار داده و گره را آزاد نمود :

زماني که يک گره برگ با دو فرزند حذف مي شوند ، گره را با بزرگترين عنصر در زير درخت چپ و يا کوچکترين عنصر در زيردرخت راست آن گره جايگزين و تعويض کرد. عمل حذف در زمان O(h) انجام مي گيرد ، به نحوي که h عمق درخت مي باشد. 78

void DeleteNode (BSTNode* pNode,bool bRight) { BSTNode *CurNode = pNode→left; if (bRight) CurNode = pNode→right; if( !CurNode→right && !CurNode→ left) { delete CurNode; return; } if(CurNode→right && !CurNode→ left) { if (bRight) pNode→right = CurNode→right; else pNode→left = CurNode→right; delete CurNode; return; } if(!CurNode→right && CurNode→ left) { if (bRight) pNode→right = CurNode→left; else pNode→left = CurNode→left; delete CurNode; return; } if(CurNode→right && CurNode→ left) { BSTNode *tmp = CurNode→left; pNode = CurNode; bRight = false; while (tmp→right) { pNode = tmp; bRight = true; tmp = tmp→right; } CurNode→key = tmp→key; DeleteNode(pNode, bRight); } } 79

درختان جستجو با بيشترين عمق، درختان جستجوي متعادل ناميده مي شوند. درختان جستجوي متعادلي وجود دارند که عمل جستجو ، درج و حذف را در زمان O(h) ممکن مي سازند از جمله درختان red_black ، 2-3 ، AVL 80

فرض کنيد داراي k مجموعه و رشته مرتب شده اي از عناصر هستيم که بايد در يک رشته واحد ادغام شوند. هر دنباله يا ترتيب شامل تعدادي رکورد به ترتيب غيرنزولي و فيلد مشخصي به نام key مي باشد. اجرا (run)  يک دنباله مرتب اجرا (run) ناميده مي شود.  فرض کنيد که n ، تعداد رکوردها در k اجرا باشد، عمل ادغام مي تواند با تکرار رکورد با کوچکترين کليد انجام شود. 81

کوچکترين کليد بايد ازبين k امکان موجود پيدا شود و مي تواند رکوردي قبل از هر k اجرا (k-runs) باشد. بهترين روش براي ادغام k اجرا (k-runs) ، نيازمند k-1 مقايسه براي تعيين و انتقال رکورد بعدي به خروجي مي باشد. به ازاي k>2 ، مي توانيم با استفاده از ايده درخت انتخابي ، تعداد مقايسه هاي لازم جهت تعيين کوچکترين عنصر را کاهش دهيم. 82

يک درخت انتخابي ، يک درخت دودويي است که هر گره آن کوچکتر از دو فرزند خود مي باشد بنابراين ، گره ريشه نشان دهنده کوچکترين گره در درخت مي باشد. 83

[1] [2] [4] [3] [5] [12] [11][10] [9][8] [6] [14] [13] [15] [7] مثال run1 run 2 run 3 run 4 run 5 run 8 run 7 run 6

 زمان تجديد ساختار درخت برابر مي باشد.  زمان لازم براي ادغام تمام n رکورد برابر مي باشد.  زمان کل لازم جهت ادغام k اجرا (run) برابر مي باشد. 85

جنگل مجموعه n ≥ 0 درخت مجزا مي باشد. اگر ريشه درخت را حذف کنيم ، آنگاه داراي يک جنگل خواهيم بود. 86

براي تبديل اين جنگل به يک درخت دودويي واحد : ابتدا نمايش دودويي هر يک از درختان جنگل را به دست مي آوريم سپس تمام درختان دودويي را از طريق فيلد همزاد گره ريشه به يکديگر متصل مي کنيم. 87

A D B C E F G I H A E B F G I H C D تبديل به درخت دودويي 88

اگر جنگلي از درختان باشد ، آنگاه درخت دودويي متناظر با اين جنگل يعني B: (1) اگر n=0 باشد ، تهي خواهد بود. (2) داراي ريشه اي برابر با ريشه مي باشد ، داراي زيردرخت چپي برابر با مي باشد، و در نهايت داراي زيردرخت راست مي باشد. 89

پيمايش هاي postorder ، inorder ، preorder متناظر درخت دودويي T يک جنگل F داراي يک تناظر طبيعي با پيمايش هاي F مي باشند. 90

پيمايش preorder مربوط به T معادل با بازيابي گره هاي F در درخت preorder مي باشد : 1) اگر F تهي باشد ، برگرديد. 2) ريشه درخت اول F را بازيابي کنيد. 3) زيردرخت ، درخت اول را به صورت preorder پيمايش کنيد. 4) ساير درختان F را به صورت preorder پيمايش کنيد. 91

پيمايش inorder مربوط به T معادل گره هاي F در درخت inorder است که به صورت زير تعريف مي شود : 1) اگر F تهي باشد ، برگرديد. 2) ريشه درخت ، درخت اول را به صورت inorder پيمايش کنيد. 3) ريشه درخت اول را بازيابي کنيد. 4) ساير درختان را به صورت inorder پيمايش کنيد. 92

هيچ گونه معادل طبيعي براي براي پيمايش postorder درخت دودويي متناظر يک جنگل وجود ندارد. پيمايش postorder يک جنگل F را به صورت زير بيان ي کنيم : 1 ) اگر F تهي باشد ، برگرديد. 2 ) زيردرخت ، اولين درخت F را به صورت postorder پيمايش کنيد. 3 ) ساير درختان باقي مانده F را به صورت postorder پيمايش کنيد. 4 ) ريشه اولين درخت F را بازيابي کنيد 93

ده عضو از 0 تا 9 که به سه مجموعه مجزا از هم تفکيک شده باشند ، مي توانند بدين صورت باشند : مثال 94

در هر مجموعه بر خلاف معمول که اشاره گرها به از والد به فرزندان در نظر گرفته مي شدند، در اينجا اشاره گرها از فرزندان به والد تنظيم مي شوند و يا در حقيقت گره ها با رابطه پدري اتصال يافته اند. 95

حداقل اعمالي که بر روي مجموعه انجام مي شود ، به شرح زير است : 1) اجتماع مجموعه مجزا (union) : اگر دو مجموعه مجزا باشند ، انگاه اجتماع آنها به صورت زير تعريف مي شود : { همه اعضا به صورت x که x يا عضوباشد يا عضو } 2) find(i)( پيداکردن i ) : مجموعه اي که i عضو آن است را پيدا کنيد 96

مثال

قانون Weighting براي Union(i,j ) : اگر تعدا گره ها در درخت i کمتر از تعداد گره ها در درخت j باشد ، j را والد i ، در غير اين صورت i را والد j قرار مي دهيم. تعريف 98

براي پياده سازي قانون Weighting بايد بدانيم که در هر درخت چند گره وجود دارد. اين کار را بدين ترتيب انجام مي دهيم که در ريشه هر درخت يک فيلد count قرار مي دهيم. اگر i يک گره ريشه باشد ، آنگاه در count[i] تعداد گره هاي آن درخت خواهد بود. Count به صورت يک عدد منفي در فيلد parent گذاشته مي شود. زماني که قانون Weighting را بيان مي کنيم ، عمل اجتماع به اين صورت را union2 مي ناميم. 99

اصل موضوعي : اصل موضوعي : فرض کنيد T يک درخت با n گره باشد که توسط union2 ايجاد شده باشد ، در اين صورت هيچ گرهي در T ، سطحي بيشتر از نخواهد داشت. اگر در يک درخت n عضو وجود داشته باشد ، بيشترين زمان براي يافتن يک عضو به صورت خواهد بود. اگر ترکيبي از n-1 عمل union و m عمل find داشته باشيم ، در بدترين حالت ممکن ، زمان به صورت درمي آيد. تعريف ( قانون تخريب ) : تعريف ( قانون تخريب ) : اگر j گرهي روي مسير از i تا ريشه خود باشد ، آنگاه j را فرزند ريشه قرار دهيد. 100

تعداد درختان دودويي مجزا : تعداد درختان دودويي با n گره ، تعداد جايگشت هاي از 1 تا n با استفاده از يک پشته و بالاخره تعداد راههاي ضرب n+1 ماتريس ، باهم مساوي اند. 101

براي به دست آوردن تعداد درختان مجزا با n گره از تابع زير استفاده مي کنيم : تابع فوق توليدکننده تعداد درختان دودويي است. کهبرابر است با : در نتيجه داريم : 102