AMPERES Enseigner de façon dynamique le produit scalaire en 1re S ?

Première question Q1 : Peut-on par le calcul montrer que deux directions sont orthogonales ou encore que deux droites sont perpendiculaires? Note: les élèves ont appris en seconde à calculer le parallélisme et savent depuis la troisième calculer la distance de deux points dans un repère O.N

Premier bilan Nous avons: (d)  (d')  D  D'  OAB triangle rectangle en O  AB 2 =OA 2 +OB 2  2(x'x+y'y)=0  x'x+y'y=0

Deuxième question Q2. La quantité xx'+yy' a-t-elle une signification géométrique? Dans le cas général nous avons: OA 2 +OB 2 -AB 2 =x 2 +y 2 +x' 2 +y' 2 -(x- x') 2 -(y-y') 2 =2(xx'+yy') On a donc : x'x+y'y=( OA 2 +OB 2 - AB 2 ) ce qui montre que l'expression x'x+y'y dépend uniquement de données géométriques et est indépendante du repère orthonormal choisi. A ce stade on doit pouvoir définir le produit scalaire de deux vecteurs et par :

Troisième étape Utilisation d'un repère particulier pour dégager une autre signification et une autre expression du produit scalaire On peut choisir de telle sorte que Avec ce repère, le calcul donne:. =OA.OB.cos 

Bilan intermédiaire: Utilité du produit scalaire 1° pour démontrer par le calcul une orthogonalité; 2° Pour déterminer un angle, avec la détermination du cosinus Peut-il servir à autre chose?

Q3 Peut-il être d'une autre utilité? Si Vec(OA) =Vec(OB) alors on a [Vec(OA)] 2 =OA 2, le carré d'une longueur!! Q'3 : On peut donc se demander si le produit scalaire pourrait nous servir pour calculer des longueurs

Vers Al-Kashi Soit OAB un triangle et supposons que l'on connaisse OA, OB et l'angle en O. AB est entièrement déterminé!Peut-on calculer la longueur AB? On peut penser à calculer le carré de AB avec le produit.

Calcul de AB 2 Le produit scalaire est-il distributif par rapport à la somme vectorielle?