2. روش عناصر محدود ( برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ ) Finite Element Procedures روش عناصر محدود ( برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ ) Finite Element Procedures کریم عابدی کریم عابدی

3. فصل سوم : فرمول بندی روش عناصر محدود در تحليل خطی ( بخش دوم )

4. الف - تير Euler-Bernouli: اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، همچنان عمود باقي مي مانند. زاويه دوران مساوی است با : پ - 2 ) عناصرتیری : از اين عنصر در تحليل تيرهاي پیوسته، قاب هاي مسطح و قاب هاي فضايي استفاده مي شود. - دو نظریه در تیرها 1 - نظريه تير Euler-Bernoulli ( بدون اثر برش ) ، 2 - نظريه تير Timoshenko ( با اثر برش ).

5. ب - تير Timoshenko اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، در حالت کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی نمی مانند؛ زاويه دوران مساوی است با :

6. در این بخش صرفا فرمول بندی عنصر تیری بر مبنای نظريه تير Euler-Bernoulli ( بدون اثر برش ) ارائه می شود. - مولفه هاي تغييرمكان تعميم يافته ( ) ( اگر چنانچه بطور معمول در تحليل قاب از تغييرشكل هاي محوري صرف نظر شود، فقط لازم است كه در هر گره دو درجه آزادي مدنظر قرار گيرد، يك خيز قائم بر تير w و يك دوران حول محور y ( )). توجه شود که خیز، یک متغیر حالت مستقل و دوران، یک متغیر حالت وابسته می باشد ). - مولفه كرنش ( انحنا ): - مولفه تنش ( لنگر ): - ماتريس مصالح C: - تابع تغييرمكان : ( عنصر یک بعدی می باشد ) - نحوه انتگرال گيري :

7. مراحل تشکیل ماتریس سختی عنصر تیری دوگرهی

9. پ - 3 ) عنصر تنش مسطح : از اين عناصر براي مدل نمودن سازه هاي غشايي، رفتار درون صفحه اي تيرها و صفحه ها استفاده مي شود. در هر يك از اين حالات، يك وضعيت تنش دو بعدي در صفحه x- y وجود دارد و تنش هاي مساوي صفر مي باشند. - مولفه هاي تغييرمكان : v (x,y), u (x,y) - مولفه هاي كرنش : - مولفه هاي تنش : - ماتريس مصالح C: - توابع تغييرمكان ( عنصر دوبعدی می باشد ): - نحوه انتگرال گيري براي بدست آوردن ماتريس سختي :

10. - مولفه هاي تغييرمكان : v (x,y), u (x,y) - مولفه هاي كرنش : - مولفه هاي تنش : - ماتريس مصالح C: - توابع تغييرمكان ( عنصر دوبعدی می باشد ): - نحوه انتگرال گيري براي بدست آوردن ماتريس سختي : پ - 4 ) عنصر كرنش مسطح : از اين عناصر براي نمايش قسمتي ( با ضخامت واحد ) از يك سازه بكار مي روند كه در آن مولفه هاي كرنش مساوي صفر مي باشند. اين وضعيت در تحليل يك سد طويل بكار مي رود.

11. پ - 5 ) عناصر خمش صفحه ای : از این عناصر در تحلیل صفحات نازک نظیر دال های سازه پل ها و واحدهای کف سازی تحت اثر بارهای جانبی قائم ( و / یا لنگر های خمشی ) استفاده می شود ( مقایسه با سازه های شبکه ای ). ویژگی های این نوع سازه ها عبارتند از : - نکته اساسی در این است که در سازه خمش صفحه ای که در یک بعد نازک می باشد، تنش در سرتاسر ضخامت صفحه ( در جهت عمود بر میان سطح ) صفر است (σ zz =0). 1 - ضخامت نسبت به طول و عرض ناچیز می باشد، 2 - تخت می باشند، 3 - تحت اثر بارهای جانبی قائم و لنگر های خمشی حول محورهای x و y قرار دارند، 4 - تحت اثر بارهای درون صفحه ای قرار ندارند، 5 - متغیرهای حالت عبارتند از :

12. بررسی دو نظریه در مورد صفحات : الف ) نظریه صفحه Kirchhoff ( ) ( γ xz, γ yz قابل صرف نظر کردن و ناچیزند ). اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز همچنان عمود باقی می مانند؛ زوايای دوران مساوی است با :

13. ب ) نظریۀ صفحه Reissner/Mindlin ( ) ( γ xz, γ yz قابل صرفنظر کردن نمی باشند ). اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، در حالت کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی نمی مانند؛ زوايای دوران مساوی است با :

14. - نحوه استخراج معادلات حاکم بر خمش صفحه

21. اکنون می توان فرمول بندی عناصر محدود عنصر خمش صفحه ای را با استفاده از مفهوم مختصات تعمیم یافته به دست آورد : - عنصر خمش صفحه ای را به شکل مستطیل در نظر می گیریم ( با 12 درجه آزادی ): دوران ها طبق قانون دست راستی عقربه های ساعت تعریف می شوند. - مولفه های تغییرمکان تعمیم یافته متغیر حالت مستقل متغیر حالت وابسته

22. - توابع تغییرمکان ( عنصر دوبعدی ): برای حالت خاص عنصر خمش صفحه مستطیلی با 4 گره داریم : توجه شود که برای فرمول بندی عنصر خمش صفحه از نظریه صفحه Kirchhoff استفاده کرده ایم.

24. - مولفه های کرنش : - مولفه های تنش : - ماتریس مصالح C: - نحوه انتگرال گیری برای یافتن ماتریس سختی عناصر :

26. مثال : مطلوبست استخراج ماتريس دوران T براي يك عنصر خمش صفحه با درجات آزادي محلي و كلي نشان داده شده در شكل زير :

27. در ابتدا پیوستگی تغییرمکان در المان محدود مستطیلی برای مسائل الاستیسیته صفحه ای ( حالت تنش مسطح یا کرنش مسطح ) را در نظر می گیریم : بررسی پیوستگی تغییرمکان ها و دورا ن ها در المان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه - بنابراین چهار معادله چهار مجهولی داریم، پس به اندازه کافی معادله برای حل ضرایب مربوط به این مقادیر موجود است و لذا واضحا تغییر مکان های u, v در امتداد لبه 1-3 کاملا به وسیله حرکات انتهایی لبه ( گره های 1 و 3 ) به طور منحصر بفرد تعیین می شوند، به عبارت دیگر پیوستگی u, v در امتداد لبه هایی که y ثابت است، کسب می شود. به همین ترتیب می توان ثابت کرد که پیوستگی u, v در امتداد لبه هایی که x ثابت است ارضا می گردد، به عبارت دیگر در دو المان مجاور در تمام نقاط مزبور مشترک، تغییر مکان های u, v برابر هستند. بنابراین توابع انتخابی، توابع ایده الی می باشند.

28. اکنون وضعیت پیوستگی خیز و دوران ها در المان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه ای را مورد بررسی قرار می دهیم : - لذا شش معادله با 8 مجهول در دست است، بنابراین نمی توان ضرایب را تعیین کرد. - با یک بررسی دقیق می توان دید که شامل چهار ضریب هستند. در صورتی که شامل چهار ضریب دیگر است. بنابراین برای چهار معادله چهار مجهولی در دست است و می توان را بر حسب تغییرمکان های گرهی تعیین نمود. پس تغییرمکان و دوران در امتداد لبه کاملا بوسیله حرکات انتهایی لبه ( گره های 1 و 2 ) به طور منحصر بفرد تعیین می شوند. به عبارت دیگر پیوستگی در امتداد لبه هایی که x ثابت است ، تامین می گردد. - دو معادله باقیمانده برای تعیین چهار ضریب مجهول موجود در کافی نیست لذا دوران عمود بر لبه به طور منحصر بفرد مشخص نمی شود. بنابراین در امتداد این لبه ناپیوسته است. به همین ترتیب می توان ثابت نمود که در لبه دیگر (y=0) ، در امتداد لبه ناپیوسته است.

29. پ - 6 ) عناصر با محور تقارن ( Axisymmetric Element ) از اين عناصر در تحليل محيط های پيوسته با محور تقارن استفاده مي شود. - نمونه ای از سازه های با تقارن محوری، مخازن تحت فشار، دیسک های دوار، سیلوها، برج های خنک کننده، گنبدها و شمع ها می باشند که هم از نظر شکل و هم از نظر نیروهای اعمال شده، دارای تقارن دورانی می باشند. - سازه های با محور تقارن ( از نظر هندسی و بارگذاری ) را مي توان به دو بخش تقسيم کرد : الف - پوسته های مدور جدارنازک که در آنها ضخامت سازه نسبت به قطرش کوچک است، ب - پوسته های مدور جدارکلفت که ضخامت آنها در مقايسه با قطرشان قابل ملاحظه است. اگر سازه ای با تقارن محوری هندسی به طور غير متقارن بارگذاری شود، در اين صورت يا بايد از تجزيه فوريه بارها برای جمع آثار جواب های هارمونيک استفاده کرد و یا اینکه به صورت زیر عمل کرد : الف - در تحلیل پوسته های مدور جدارنازک، از عناصر پوسته ای عمومی استفاده نمود، ب - در تحلیل پوسته های مدور جدارکلفت، از عناصر سه بعدی عمومی استفاده نمود.

30. پ - 6-1 ) پوسته های مدور جدارنازک تفاوت با عنصر خمش صفحه ای : عناصر مدور جدارنازک تحت اثر نیروهای درون صفحه ای قرار دارند و تحت اثر برش و لنگر پیچشی قرار ندارند. تفاوت با عنصر تنش مسطح : عناصر مدور جدارنازک تحت اثر لنگر خمشی قرار دارند. تفاوت با عنصر پوسته ای عمومی : عناصر مدور جدارنازک تحت اثر برش و لنگر پیچشی قرار ندارند.

31. - عنصر پیشنهادی دارای دو گره حلقوی است. - هر گره شامل حرکت های محوری، شعاعی و یک دوران می باشد. - مولفه های بردار تغییرمکان گرهی : - مولفه های بردار نیروی گرهی : یا

32. : نحوه گسسته سازی در حالت صفحه مسطح دایروی در حالت پوسته استوانه ای مدور

33. : توابع تغییرمکان

34. :- مولفه های کرنش - مولفه های تنش : - ماتریس مصالح C: - نحوه انتگرال گیری : توجه شود که در حالت داریم : پوسته استوانه ای مدور توجه شود که در حالت داریم : صفحه مسطح دایروی

35. پ - 6-2 ) پوسته های مدور جدارکلفت - اجسام با محور تقارن و بدنه های دیوار ضخیم و دوار ( مانند پیستونها و راکت ها ) با استفاده از عناصر محدود خاصی تحلیل می شوند. - هر عنصر حاوی یک حلقه توپری است که سطح مقطع آن به شکل خاصی نظیر مستطیلی، چهار ضلعی و مثلثی ایجاد می گردد. - با توجه به سادگی و قابلیت کاربرد، عناصر مثلثی دوار بیشتر مورد توجه قرار گرفته اند. جسم با محور تقارن المان با محور تقارن

36. : نحوه گسسته سازی

37. بسط ماتریس های سختی این عناصر شبیه به بسط ماتریس های مربوط به عنصر مثلثی الاستیسیته صفحه ای می باشد. اختلاف اصلی در مولفه های تنش است. به عبارت دیگر یک مولفه اضافی به نام تنش محیطی اضافه می گردد. - مولفه های تغییر شکل : - توابع تغییرمکان :

38. - مولفه های تنش : - مولفه های کرنش :

40. - نحوه انتگرال گیری : به منظور اجتناب از عملیات طولانی انتگرال گیری، یک تقریب ساده ای که منجر به نتایج خوبی گردیده است استفاده می شود. تقریب مذکور به این صورت است که ماتریس B برای یک نقطه مرکز شکل درون المان به وسیله مختصات تقریب می شود، مورد ارزیابی قرار می گیرد. لذا ماتریس سختی به سادگی به صورت زیر درمیآید که سطح مثلث است. به جای r,z مقادیر جایگذاری می شود.

41. پ - 7 ) عنصر پوسته ای - پوسته ها سازه هایی هستند که دارای انحناء ( در یک بعد مانند استوانه، در دو بعد مانند گنبد و...) می باشند و ضخامت آنها در مقایسه با دو بعد دیگر به طور قابل ملاحظه ای کوچک است. در ضمن تحت بارگذاری دلخواهی قرار دارند. - وجه تمایز پوسته ها با صفحات خمشی آن است که صفحات تنها تحت اثر نیروهای خمشی و برشی قرار دارند، در حالی که پوسته ها علاوه بر نیروهای خمشی و برشی، تحت اثر نیروهای غشایی ( محوری ) ( Membrane ) نیز قرار دارند. - در یک سازه صفحه ای که با عنصر خمش صفحه مدل شده است، در هر گره سه درجه آزادی داریم : w, θ x, θ y - ولی در یک سازه پوسته ای که با عناصر پوسته ای مدل شده است در هر گره شش درجه آزادی داریم : (θ x, θ y, θ z, u, v, w) - وضعیت تنش در پوسته ها مشابه وضعیت تنش در صفحات خمشی می باشد. - بنابراین وجه تشابه صفحات خمشی و پوسته ها این است که می باشد، یعنی تنش در سرتاسر ضخامت پوسته یا صفحه ( در جهت عمود بر میان سطح ) صفر می باشد.

42. - در هر نقطه از پوسته جمعا ده کميت زير مشخص کننده برآيند نيروهای داخلی در پوسته مي باشند : - نیروهای غشایی یا میدان غشایی : - نیروهای برشی، لنگرهای خمشی و پیچشی یا میدان خمشی : وضعيت نيروهای داخلی در پوسته ها :

43. روابط نيرو – تنش در پوسته های عمومی نازک :

44. - طبقه بندی پوسته ها از نظر گسترش پذيری : الف - پوسته های گسترش پذير - پوسته هايي هستند که سطح هندسی آنها را بدون اينکه در آن بريدگی بوجود آورده و يا اينکه بوسيله ای در پوسته تنش و تغييرشکل ايجاد کنيم، بتوان به شکل صفحه ای مستوی در آورد. پوسته های استوانه ای که دارای انحناء یکجانبه می باشند از نوع پوسته های گسترش پذیر به شمار می روند. ب - پوسته های گسترش ناپذير - پوسته هايي هستند که سطح هندسی آنها را صرفا مي توان از طريق بريدگی و يا ايجاد تنش و تغييرشکل به شکل صفحه ای مستوی در آورد. پوسته های کروی که دارای انحناء دو جانبه می باشند از نوع پوسته های گسترش ناپذیر به شمار می روند.

45. از نظر شکل هندسی : الف - سطوح انتقالی سطح حاصله از لغزاندن يک منحنی صفحه ای را روی منحنی صفحه ای ديگر، يک سطح انتقالی مي گويند. ب ) سطح دورانی سطح حاصله از دوران يک منحنی صفحه ای حول يک محور دوران را سطح دورانی مي گويند. پ ) سطح لغزشی چنانکه انتهای خطی مستقيم بر روی دو منحنی صفحه ای قرار داشته و اين خط روی آن دو منحنی بلغزد، سطحی حاصل مي شود که آن سطح را سطح لغزشی می نامند.

46. از ترکيب انواع سطوح سه گانه انتقالی، دورانی و لغزشی مي توان سطوح مرکب بيشماری را بدست آورد. ت ) سطح مرکب از نظر شعاع های انحناء : الف - چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته – که انحنای گوسی ناميده مي شود - مثبت باشد، پوسته سين کلاستيک ناميده مي شود. ب - چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته منفی باشد، پوسته آنتی کلاستيک ناميده مي شود. پ - چنان که يکی از دو شعاع انحناء مساوی صفر باشد، پوسته با انحناء گوسی صفر ناميده مي شود.

47. در حالت کلی دو نوع عنصر پوسته ای وجود دارد : 1- عنصر پوسته ای عمومی که برای مدل نمودن پوسته های با انحناء زیاد به کار می رود ( عناصر پوسته ای عمومی ایزوپارامتریک که علاوه بر کارایی و کارامدی فوق العاده، توانایی در برگرفتن اثر تغییر شکل های برشی را نیز دارند ). ( فرمول بندی این نوع عنصر پوسته ای در سرفصل های دوره دکترای سازه ارائه خواهد شد ). 2- عنصر پوسته ای تخت مستطیلی که برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی که علاوه بر نیروهای خمشی و برشی، تحت اثر نیروهای درون صفحه ای یا غشایی قرار دارند، به کار می رود ( نظیر شبکه های دو لایه با صفحه تقویتی در لایه فشاری و نیز سازه های پلیسه ای ).

48. عنصر تخت مستطيلی پوسته ای برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی به کار مي روند که علاوه بر نيروهای خمشی و برشی تحت اثر نيروهای درون صفحه ای يا غشايي قرار دارند. ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار خمشی عنصر ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار غشايي عنصر پ - 7-1 ) عنصر محدود پوسته های تخت مستطيلی يک عنصر تخت مستطيلی پوسته ای ساده را مي توان از جمع آثار رفتار خمش صفحه ای و رفتار تنش مسطح عنصر مورد استفاده به دست آورد. ماتريس سختی عنصر پوسته ای عبارت است از : اين عنصر پوسته ای را مي توان مستقيما در تحليل انواع مختلفی از سازه های پوسته ای به کار برد. از آنجا که در اين تحليل ها، در هر گره شش درجه آزادی داريم، ماتريس های سختی عنصری را که متناظر با درجات آزادی کلی مي باشند مي توان با استفاده از تبديل زير محاسبه نمود : ماتريس تبديل بين درجات آزادی محلی و کلی عنصر مي باشد نحوه اصلاح رابطه تا ضرايب سختی مربوط به دوران های محلی حول محور z در گره ها را شامل شود. اين ضرايب مساوی صفر قرار داده شده اند به اين دليل که اين درجات آزادی در فرمول بندی عنصر در نظر گرفته نشده اند جواب يک مدل را ميتوان با استفاده از رابطه فوق به دست آورد، به شرط اينکه عناصر احاطه کننده يک گره هم صفحه نباشند. در غير اينصورت ماتريس سختی کلی مي تواند به علت وجود عناصر قطری صفر و مشکلات ناشی از حل معادلات تعادل کلی تکين باشد. برای اجتناب از اين مساله داريم :

49. پ - 8 ) عنصر سه بعدی عمومی - برای تحلیل اجسام جامد سه بعدی (Three-dimensional solid body) که تحت اثر بارگذاری دلخواهی قرار دارند، به کار می روند. - مولفه های تغییرشکل :u, v, w - توابع تغییرشکل ( عنصر سه بعدی می باشد ): - مولفه های کرنش ( حالت عمومی کرنش ): - مولفه های تنش ( حالت عمومی تنش ): - ماتریس مصالح C: - نحوه انتگرال گیری :

51. 7 - همگرایی (Convergence) الف ) منظور از همگرایی مروری دیگر بر فرایند تحلیل عناصر محدود :

52. منظور اصلی از همگرایی جواب های تقریبی تحلیل عناصر محدود (Approximate finite element solution) ، همگرایی به جواب کامل ( Closed-form solution- Analytical solution - Exact solution) مدل ریاضی می باشد. جواب تقریبی عناصر محدود جواب کامل مدل ریاضی اگر معادلات دیفرانسیل حرکت، مانند حالت تحلیل یک پوسته پیچیده، نامشخص باشند و یا پیدا کردن جواب های تحلیلی امکان پذیر نباشد، در این صورت همگرایی جواب های تحلیل عناصر محدود را می توان تنها بر مبنای این واقعیت ارزیابی نمود که تمامی شرایط اساسی سینماتیک، ایستایی و شرایط مشخصه که در مدل ریاضی نهفته هستند، باید در نهایت در همگرایی تامین شوند.

53. ب - خطاهای تحلیل عناصر محدود - اگر جواب های تقریبی تحلیل عناصر محدود را با پاسخ کامل مدل ریاضی در نظر بگیریم، در این صورت شناخت منابع خطا که در نتایج حل عناصر محدود اثر می گذارند، ضروری است. در جدول زیر خطاها و منبع وقوع خطاها نشان داده می شوند.

54. در حالت کلی خطاها را می توان به دو گونه طبقه بندی کرد : الف ) خطاهای ناشی از عملیات ریاضی، ب ) خطاهای ناشی از گسسته سازی. آنچه که در اصل مد نظر است، ” کاهش خطاهای ناشی از گسسته سازی است “. به عبارت دیگر ما ” مدلی را در نظر می گیریم که در آن سایر خطاهای ناشی از انجام عملیات ریاضی رخ نمی دهند؛ یعنی یک مساله ایستایی خطی با هندسه ای که به طور کامل با محاسبه کامل ماتریس های عناصر محدود و حل کامل معادلات نمایش داده می شود و نیز از خطاهای گرد کردن نیز صرفنظر می شود “. پ - تعریف همگرایی : - برای مساله مدل مذکور معادله اصلی کار مجازی حاکم بر جواب کامل مدل ریاضی را به صورت زیر می نویسیم : بحثی در مورد تعریف همگرایی با استفاده از : معیار تغییر مکان، معیار نیرو، معیار انرژی.

55. Bilinear form linear form به عبارت دیگر داریم : برای اینکه جواب کامل مدل ریاضی باشد، باید تغییرمکان های مجازی اختیاری ( و کرنش های مجازی متناظر ) در رابطه مذکور صدق کنند، با این شرط که تغییرمکان های از پیش تعیین شده و متناظر با آن باید صفر باشند. - معادله (a) را با یک نمادگذاری ساده نشان می دهیم : - تغییرمکان های کامل u ( و تنش های متناظر ) را به گونه ای پیدا کنید که به ازای تمام تغییرمکان های قابل قبول v ( معادل تغییرمکان های مجازی ) داشته باشیم : بنابراین فرم های دو خطی و خطی مذکور، به طور ضمنی دلالت بر یک پروسه انتگرال گیری دارند.

56. - فرض می کنیم که جواب تحلیل عناصر محدود ، می باشد (h در اینجا نشانگر اندازه عنصر عمومی می باشد و از این رو یک شبکه خاص را نشان می دهد ) ، در این صورت همگرایی را به صورت زیر تعریف می کنیم : از نقطه نظر فیزیکی، گزاره مذکور، بدین معنی است که به میزانی که شبکه عناصر محدود ریزتر می شود، انرژی کرنشی محاسبه شده از طریق حل عناصر محدود به انرژی کرنشی کامل مدل ریاضی همگرا می شود. از رابطه a(u, v)=(f, v) ، انرژی کرنشی مربوط به جواب کامل u به صورت زیر به دست می آید :

57. - در تحلیل عناصر محدود تغییرمکان ها در کل کمتر از حد واقعی تخمین زده می شوند و بنابراین سختی مدل ریاضی نیز در کل بیش از حد واقعی ارزیابی می گردد. این تخمین بیش از حد واقعی سختی ( به طور فیزیکی ) ناشی از قیدهای تغییرمکانی داخلی می باشد که آنها نیز به علت فرض های تغییرمکان، به طور ضمنی بر جواب تحلیل اعمال می گردند. به میزانی که گسسته سازی عناصر محدود ریزتر می گردد، قیدهای تغییرمکانی داخلی کاهش پیدا می کنند و همگرایی به جواب کامل و سختی مدل ریاضی حاصل می شود. فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان، منجر به یک کران پایین تر (Lower bound) در روی انرژی کرنشی کامل سیستم مورد نظر می شود، یعنی، فرمول بندی تغییر مکان، سختی سیستم را Overestimate و تغییر مکان سیستم را Underestimate می کند. Finite element stiffness Exact stiffness Exact displacements Finite element displacements Exact strain energy Finite element strain energy α میزان رواداری مورد نظر ( بر مبنای انرژی ) برای همگرایی است. ( مفهوم همگرایی یکنوا )

59. مثالی از همگرایی یکنوا گسسته سازی 4 عنصریگسسته سازی 16 عنصری

60. گسسته سازی 36 عنصری گسسته سازی 64 عنصری گسسته سازی 100 عنصری تغییر مکان V در زیر بار P تغییر مکان U در زیر بار P گسسته سازی -102.236E-0367.5259E-034 عنصری -124.911E-0374.9082E-0316 عنصری -138.265E-0380.6202E-0336 عنصری -147.104E-0384.0879E-0364 عنصری -153.502E-0386.4E-03100 عنصری

61. آنایز حساسیت شبکه عناصر محدود

62. مثالی از همگرایی یکنوا خمش صفحه : گسسته سازی 4 عنصری

63. گسسته سازی 16 عنصری گسسته سازی 64 عنصری

64. گسسته سازی 256 عنصری تغییر مکان w در زیر بار P گسسته سازی -0.0594 4 عنصری -0.278658 16 عنصری -0.300838 64 عنصری -0.305912 256 عنصری

65. آنایز حساسیت شبکه عناصر محدود

66. - برای همگرایی یکنوا دو شرط لازم است : - کامل بودن عنصر (Complete) - سازگار بودن عناصر و شبکه (Compatible) ت ) معیارهای همگرایی یکنوا (Monotonic convergence) اگر دو شرط فوق تامین شوند، در این صورت به میزانی که تظریف شبکه عناصر محدود ادامه پیدا می کند، دقت نتایج حل به طور پیوسته افزایش خواهند یافت. تظریف شبکه باید از طریق تقسیم نمودن عناصر مورد استفاده پیشین به دو عنصر یا بیشتر انجام گیرد، در این صورت شبکه قدیمی در شبکه جدید لحاظ می شود. از نکته نظر ریاضی، این بدان معنی است که فضای جدید توابع درون یابی عناصر محدود شامل فضای استفاده شده پیشین خواهد بود و به میزانی که شبکه تظریف می شود، بعد فضای جواب های عناصر محدود به طور پیوسته افزایش پیدا می کند تا در نهایت شامل جواب کامل شود.

67. سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود : 1 - روش تحلیل h: - مطابق با این روش، در دنباله ای از شبکه ها، از یک نوع عنصر استفاده می شود و اندازه عناصر به طور یکنواخت کاهش پیدا می کند ( کاهش h).

68. سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود : 2 - روش تحلیل p - مطابق با این روش، یک شبکه اولیه با عناصر نسبتا بزرگ و با مرتبه پایین تر انتخاب شده و سپس درجه بسط های چند جمله ای تغییرمکان در عناصر، به طور پیاپی افزایش داده می شود ( افزایش p درجه بسط چند جمله ای ) ( معادل اضافه نمودن گره ها در یک عنصر ).

69. سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود : 3 - روش تحلیل h/p: - مطابق با این روش ، همزمان تعداد عناصر محدود و نیز مرتبه توابع تغییرمکان در عناصر افزایش داده می شوند.

70. شرط کامل بودن یک عنصر بدین معنی است که توابع تغییرمکان عنصر باید قادر باشند که تغییرمکان های صلب جسمی را به نمایش گذارند.

71. تعداد مدهای صلب جسمی یک عنصر مساوی تعداد درجات آزادی عنصر منهای تعداد مدهای کرنشی می باشد. تعداد درجات آزادی = تعداد مدهای صلب جسمی + تعداد مودهای کرنشی برای عناصر محدود پیچیده تر، تعداد مدهای کرنشی و مدهای صلب جسمی را می توان به طور موثری با نمایش ماتریس سختی عنصر بر مبنای ویژه بردارها نشان داد یعنی : - ضرایب سختی مستقیما سختی عنصر را در مد تغییرمکان مربوطه نشان می دهد ( از آنجا که تحلیل عناصر محدود سختی سازه را بیش از اندازه واقعی تخمین می زند، از این رو هر اندازه ویژه مقادیر کوچکتر باشند، عنصر موثرتر خواهد بود ).

73. شرط سازگاری (Compatibility requirement) بدین معنی است که تغییرمکان ها در عناصر و در سرتاسر مرزهای عناصر باید پیوسته باشند. بنابراین از نکته نظر فیزیکی، هنگامی که سازه بارگذاری می شود، شرط سازگاری تضمین می کند که هیچ گونه فاصله و درزی بین عناصر ایجاد نشود. هنگامی که تنها درجات آزادی انتقالی در گره های عناصر تعریف می شوند، در این صورت پیوستگی در تغییرمکان های u, v, w - هر کدام که قابل کاربرد باشند - باید حفظ شود. هنگامی که درجات آزادی دورانی در گره های عناصر تعریف می شوند که از مشتق گیری تغییرمکان های جانبی بدست می آیند، در این صورت ضروری است که پیوستگی در مشتقات اول تغییرمکان های مربوطه نیز تامین شوند ( مثلا در صفحات پیوستگی əw/ əx و əw/ əy در امتداد لبه های عنصر باید تامین شوند ). - سازگاری بین عناصر خرپایی و تیری به طور خودکار تامین می شود، زیرا آنها تنها در نقاط گرهی به یکدیگر اتصال می یابند و لبه های مجاور در این عناصر وجود ندارد.

74. - حفظ سازگاری در حالت کرنش مسطح دوبعدی، تنش مسطح و تحلیل متقارن محوری و نیز هنگامی که در تحلیل سه بعدی فقط درجات آزادی u,w,v به عنوان متغیرهای نقاط گرهی مورد استفاده قرار می گیرند، امکان پذیر است. - احراز شرایط سازگاری در تحلیل پوسته ها و صفحات که در آنها دوران ها از مشتقات تغییرمکان جانبی بدست می آیند، دشوار می باشد. بدین علت، تاکید زیادی به سمت بسط و ایجاد عناصر صفحه ای و پوسته ای سوق داده شده است که در آنها تغییرمکان ها و دوران ها به عنوان متغیر مستقل با توابع درون یابی خاص مربوط به خود در نظر گرفته می شوند.