1. Method of Soil Analysis 1. 5 Geostatistics 1. 5. 1 Introduction 1. 5
Method of Soil Analysis 1.5 Geostatistics Introduction Using Geostatistical Methods
1 Dec. 2004
D1 Takeshi TOKIDA

2. 1.5.1 Introduction
True understanding of the spatial variability in the soil map is very limited.
Distinct boundary (too continuous or sudden change).
Assumption of uniformity within a mapping unit is not necessarily valid.
Spatial and temporal variability diversify our environment. It’s Benefit!
However Soil variation can be problematic for landscape management.
81ページ第1, 2, 3段落

3. 1.5.1 Introduction
There is a need to study surface variations in a systematic manner.
Geostatistical methods are used in a variety of disciplines.
e.g. mining, geology, and recently biological sciences also.
Numerous books have been published.
82ページ、第4, 5段落

4. 1.5.1.1 Geostatistical Investigations
Geostatistics is used to…
map and identify the spatial patterns of given attributes across a landscape.
improve the efficiency of sampling networks.
identify locations in need of remediation.
Disjunctive kriging→Probability map
predict future effects in the landscape.
Random field generation→Conditioned→Predict
82ページ　第1, 2, 3, 4段落　attribute：特性値

5. 1.5.2 Using Geostaitstical Methods 1.5.2.1 Sampling
Consider the appropriate sampling methodology (see Section 1.4)
Analysis
Appropriate data
collection
Objective of the study
P83 第1,2,段落
The analysis of the data depend on the objective of the study and appropriate data collection.

6. Table 1.5-1
P83 第3,4段落
If the Kolmogrov-Smirnov statistic is greater than the critical value, the hypothesis of “not being normal” is adopted.
If the distribution is completely normal, skew and kurtosis values are 0.

7. ? Table 1.5-2 θ ρb Na ln(Na) B ln(B) 1 -0.49 0.06 0.14 0.09 0.19 -0.14
-0.25
-0.02
-0.16
0.67
0.58
0.53
0.57
0.83
0.76
P84 第5段落
Na values can be used to estimates B content at lower cost.

8. Randome function & realization
Observed data are a single realization of the random field, Z(x).
Z(xα)
Realization
P84 第6段落 random field：確率場 realization：実現値 random function:=random field おそらく単純な決定論的関数として表せないためfieldという言葉を使っている。Random variable（確率変数）と同じだろう。
データは物理的環境から生じており、何らかの形で「位置」の影響を受けている、従って領域変数（Regionalized variable）である。領域変数は標本値を含むが、標本のない場所の値も指す概念である。と同時になぜその値をとったかが複雑で容易にわからない場合、確率論的アプローチをとるべきである、つまり標本値は確率変数（random variable）から一つ取り出されたものである、と考える。その二つが合わさり、確率場の概念が生まれる。つまり確率場は確率変数の無限集合であり、領域変数は確率場の一つの実現値である。特定の位置の値は、確率場の部分集合である確率変数の実現値である。
ここで重要なことは、各点において値を発生させるメカニズムは異なる、すなわち確率変数は各点で異なる特性すなわち確率分布を持つ、ということである。となると、確率変数の無限集合である確率場を、各確率分布から組み立てるのは事実上不可能となる。そのためなんらかの簡略化が必要となるが、それが「定常性」の考え方である。 +
Assumptions, i.e. stationarity
Random field
(Random function)

9. 1.5.2.2 Spatial Autocorrelation
Only if a spatial correlation exists, geostatistical analysis can be used.
Fig A: No spatial correlation
Fig B: spatially correlated
Fig

10. 1.5.2.2.a Variogram Variogram Experimental variogram (Estimator)
How to create pairs?
セミバリオグラム、標本バリオグラム
2点間の非類似度を距離（と方向）のみに関数としてとらえる。近接した標本間に類似した傾向が認められる場合、標本間の距離の増加に伴って非類似度が増加していくことが多い。
標本バリオグラムでは、階級に分けてグループ化し、その階級ごとに非類似度の平均をとる。
P86のバリグラムの定義とP87のペアの作り方まで

11. Variogram model Variance is undefined Var(Z) 95% Practical range
球型モデルではh=aでシルに達する。
線型モデルでは非類似度は無限に増加数するのでシルは持たず、したがって分散は定義されない。このような場合、共分散関数は定義できない。
指数型モデルではh=3bでシルの95%に達する。
95%
Practical range

12. Important considerations when calculating the variogram 1
Between a lag interval, in this case 1.5 to 4.5, a wide range of actual separation distance occurs.
Imprecision
compared with a situation where every sampling pair has the same distance
A large number of pairs are used to calculate a variogram value.
It is generally accepted that
30 or more pairs are sufficient to produce a reasonable sample variogram.
Fig

13. Important considerations when calculating the variogram 2
Fig
P89 第2段落 Fig の説明
Width of the lag interval can affect the variance.
This is not the case.
The value for h (actual separation distance) is affected by the lag width.

14. Fig & 1.5-5
P89第3段落、Fig の説明
The variograms reproduce spatial structure of simulated random fields.
Fig

15. Example of variogram
Sill
Sill
Nugget effect
P89第4段落-P91第1段落
バリオグラムは空間構造の情報を与えてくれる。この例ではナゲットが大きい。これはサンプリング間の最小距離が48.53mで、それより小さいスケールの情報を失ってしまっているためと考えられる。
また両方の例でシルがあり、ともに空間的相関のある範囲は900 mぐらいであると言える。
Range
Some information at the smaller scales (less than 48 m) has been lost.
For both attribute, the range is about 900 m.

16. 1.5.2.2.d Directional Variograms
Geometric anisotropy
Fig
Fig
Often there is a preferred orientation with higher spatial correlation in a certain direction.
For many situations, the anisotropic variogram can be transformed into an isotropic variogram by a linear transformation.

17. Impossible to determine the probability distribution at the point!
e Stationarity
A sample at a location
Impossible to determine the probability distribution at the point!
The joint distribution do not depend on the location.
Assumption:
P92, Stationarity 場所ごとに確率変数は異なるが、場所ごとに確率分布を求めることは不可能。なぜならサンプルをとっているうちにその場所の特性は変わってしまうから。
なにかしら、仮定が必要→Stationarity：定常性
強定常性：どこにいっても物体は個々にあるものと変わらない。どの点でも同じ同時確率分布を持つ。こんな定常性の条件はきつすぎる。現実にはない。
A stationary Z(x) has the same joint probability distribution for all locations xi and xi+h.

18. Second-Order Stationarity
Autocovariance
1.5-3, 1.5-6 ＊
C(0)
g(h)
2次定常：期待値と共分散がともに移動不変である。つまり期待値は領域内の任意の点xにおいて同一の値をとる。また領域における任意位置のデータ対の共分散は、データ間の距離（ベクトル）hのみに依存する。この仮説を元にして、共分散関数が作られる。
分散はh=0の時の共分散とも読み替えられる事に注意が必要。
共分散関数からはバリオグラム関数をいつでも導くことができる。しかしバリオグラムは必ずしも有界ではないので、一般に逆は真ではない。バリオグラムの固有仮説の方が一般性が高い。 g
Sill
Nugget effect
C(h) h
Range

19. Intrinsic Stationarity (Hypothesis)
No Drift
Theoretical Variogram
Intrinsic Stationarity：固有定常性　対をなす二点間の差分値に対して一次、および二次の定常性を仮定する。つまり、ドリフトと呼ばれる増分の平均は0である。また分散の増分はhの大きさと方向に依存し、位置に無関係な有限の値を持つ。バリオグラムの概念を導く重要な性質。
Drift?
No Drift?
Fig If
, the random field is stationary in terms of Intrinsic hypothesis.

20. c Integral Scale
1.5-5
A measure of the distance for which the attribute is spatially correlated.
1.5-4
Autocorrelation function:
normalized form of the autocovariance function

21. 1.5.2.3 Geostatistics and Estimation
Kriging produces a best linear unbiased estimate of an atribute together with estimation variance.
Multivariate or cokriging: Superior accuracy
Powerful tool, useful in a wide variety of investigations.
第一段落　最良線形不偏推定量を出す
第二段落　multivariate or cokriging
第三段落　いろんな例

22. 1.5.2.3.a Ordinary Kriging Z* should be unbiased:
We wish to estimate a value at xo using the data values and combining them linearly with the weiths: λi xo
1.5-7
Z* should be unbiased:
増分の期待値が0→推定量の不偏性が保証されている。
1.5-9

23. Derivation of equation 1.5-10
Z* should be best-linear, unbiased estimator.
Our goal is to reduce as much as possible the variance of the estimation error.
First, rewrite the estimation variance
推定分散をできるだけ小さくするのが目標

24. Derivation of equation 1.5-10
Let’s rewrite the estimation variance in terms of the semivariogram.
We assume intrinsic hypothesis.
From the definition of the semivariogram we know:

25. Derivation of equation 1.5-10
Just substitute: 1 1

26. Derivation of equation 1.5-10
We define an objective function φ containing a term with the Lagrange multiplier, 2β.
To solve the optimization problem we set the partial derivatives to zero:
推定分散の項－ラグランジュ未定乗数を含む項

27. Ordinary Kriging system
Derivation of equation
Ordinary Kriging system
equation
Example:

28. Block Kriging Kriging Variance Variance Derivation of equation 1.5-10
Estimation of an average value of a spatial attribute over a region.
equation
Average variogram values
Variance
equation
equation

29. 1.5.2.3.b Validation Cross validation Little bias
交差検証（cross-validation）theoretical variogramの
誤差の平均が0に近い→著しい偏りは存在しない
クリギング標準偏差はモデルに依存して生じる予測誤差。それと実際の誤差を比較している。
Little bias
Estimated kriging variance is nearly equal to the actual estimation error.

30. 1.5.2.3.c Examples Isotropic Case, Kriging Matrix. equation 1.5-18
1.5-11
遮断効果。クリギングの特徴（他にはない）
But we can’t find the values of a given attribute!
λ1=0.107, λ2=0.600, λ3=0.154, λ4=0.140
Note that the weight for point 1 is less than point 4, even though the distance from the estimation site is almost the same.

31. Creating Maps Using Kriging
Directional variogram oriented in 0°& 90°
Length of each ray is equal to the range of the directional variogram.
Anisotropy ratio = major axes / minor axes

32. Creating Maps Using Kriging
Fig Based on Anisotropic variogram
Fig Based on isotropic variogram