1. עקרון ההכלה וההדחה

2. יהיו A ו- B שתי קבוצות.
אם AB=Ø אז |AB|=|A|+|B|.
מה קורה כאשר ?AB≠Ø U A B U A B

3. U B A אם AB≠Ø אז |A  B|≠|A|+|B|,

4. דוגמה: 25+30-20=35 25 סטודנטים בקורס הגישו את תרגיל 1.
30 סטודנטים בקורס הגישו את תרגיל 2.
20 סטודנטים בקורס הגישו את תרגיל 1 ואת 2.
כמה סטודנטים הגישו לפחות אחד משני התרגילים ?(1,2)
=35

5. דוגמה (שלוש קבוצות): 25 סטודנטים בקורס הגישו את תרגיל 1.
30 סטודנטים בקורס הגישו את תרגיל 2.
33 סטודנטים בקורס הגישו את תרגיל 3.
כמה סטודנטים הגישו לפחות אחד משלושת התרגילים 1,2,3?

6. הסבר דוגמה: U A2 A1 A3 A1 סטודנטים בקורס הגישו את תרגיל 1.

7. A1 A2|- |A1 A2|+|A1 A2 A3||A1 A2|-|A1|+ |A2|+ |A3|-||A1A2A3|=
המשך דוגמה: A1 A2 A3
A2 A3
A1 A3
A1 A2
A1 A2 A3 U
מה צריך לדעת כדי לענות על שאלה זו?
A1 A2|=?|
A2 A3|=?|
A1 A3|=?|
A1 A2 A3|=?|
אם: A1 A2|=12, |A1 A3|=8, |A2 A3|=10, |A1 A2 A3|=6|
מספר האיברים:
A1 A2|- |A1 A2|+|A1 A2 A3||A1 A2|-|A1|+ |A2|+ |A3|-||A1A2A3|=

8. עקרון ההכלה וההדחה
משפט: תהינה A1,A2,…,An קבוצות סופיות אזי

9. הוכחה: נראה שכל איבר נבחר בדיוק פעם אחת.
הוכחה: נראה שכל איבר נבחר בדיוק פעם אחת.
נתבונן באיבר ונראה שהוא נספר בדיוק פעם אחת.
נניח ש-x שייך בדיוק ל- (t≤n) t קבוצות.
לכן הוא גם שייך לכל אחד מ החיתוכים האפשריים של r (r≤t) קבוצות מתוך הקבוצות שהוא מוכל בהן לכן x נספר:
פעמים בביטוי
פעמים בביטוי
וכך הלאה עד ש x נספר פעמים בביטוי שמכיל חיתוכים של t קבוצות.
שימו לב x נספר 0 פעמים בכל ביטוי שיש בו חיתוך של יותר מ t קבוצות.

10. המשך הוכחה של עקרון ההכלה וההדחה
לפי הנוסחה קיבלנו ש x נספר סה"כ:
נמשיך בפיתוח ונקבל
לכן x נספר רק פעם אחת.

11. דוגמה: תהי A={1,…,600} . כמה איברים של A אינם מתחלקים ב- 3,5,7?

12. המשך דוגמה: תהי A={1,…,600} . מספר האיברים של A שמתחלקים ב 3,5,7.
כדי להשתמש בעקרון ההכלה וההדחה נחשב:
|A1|, |A2|, |A3|, |A1A2|, |A1A3|, |A2A3|, | A1 A2A3|
קל לחשב את: |A1|, |A2|, |A3|
איך נחשב את|A1 A2| ?
A1 A2 היא קבוצת המספרים שמתחלקים ב 3,5 לכן מתחלקים ב 15לכן:

13. הפונקציה של אוילר הגדרה:(פונקצית אוילר) φ:N+→N שמוגדרת באופן הבא:
φ(1)=1 ולכל n>1 , φ(n) שווה למספר המספרים הטבעיים מ-{1,2,…,n} שזרים ל- n.
משפט: יהי nN+ n>1, ויהיו p1,p2,…,pk כל הראשוניים שמחלקים את n אז :
שני מספרים טבעיים a,b זרים זה לזה אם לא קיים מספר cשלם שונה מ- 1 שמחלק את שניהם.
הערה: 1 זר לכל המספרים ב N+ .
N+ כל המספרים הטבעיים מלבד 0.

14. משפט: יהי nN+ n>1, ויהיו p1,p2,…,pk כל הראשוניים שמחלקים את n אז :
הוכחה:
כמו בדוגמה שראינו קודם במקום לחשב את גודל קבוצת המספרים שזרים ל- n נחשב את גודל של הקבוצה A, כאשר A היא קבוצת כל המספרים שאינם זרים ל- n.
n-|A| (עקרון המשלים) וקצת שינוים אלגבריים ייתנו לנו את התוצאה הרצויה.

15. המשך הוכחה: כדי לחשב את |A| נבדוק אלו איברים (מספרים) שייכים ל A.
tN+ לא זר ל- n אם"ם יש ל-t ול-n מחלק משותף ראשוני.
tN+ לא זר ל- n אם"ם לפחות אחד מהראשוניים p1,p2,…,pk מחלק את t.
לכן A מכילה את כל המספרים שקטנים או שווים לn וגם מתחלקים
בלפחות אחד מהראשוניים p1,p2,…,pk.

16. המשך הוכחה: כדי לחשב את ||A נשתמש בעקרון ההכלה וההדחה.
תהי A1 הקבוצה שמכילה את כל האיברים ב-A שמתחלקים ב- p1.
תהי A2 הקבוצה שמכילה את כל האיברים ב-A שמתחלקים ב- p2.
תהי Ak הקבוצה שמכילה את כל האיברים ב-A שמתחלקים ב- pk.
מכיוון ש p1,p2,…,pk מחלקים את n:
צריך גם לחשב
את כל החיתוכים!

17. המשך הוכחה:
לכל i1,i2{1,2,...,k} שונים זה מזה הקבוצה Ai1Ai2 היא קבוצת כל המספרים שמתחלקים ב pi1,pi2 לכן:
לכל i1,i2,i3{1,2,...,k} שונים זה מזה הקבוצה Ai1Ai2 Ai3 היא קבוצת כל המספרים שמתחלקים ב pi1,pi2,pi3 לכן:
לכל i1,i2,...,ik{1,2,...,k} שונים זה מזה הקבוצה Ai1Ai2  ... Aik היא קבוצת כל המספרים שמתחלקים ב pi1,pi2,...,pik לכן:

18. המשך הוכחה:
לכן נקבל:

19. דוגמה לשימוש בפונקציית אוילר:
φ(6)=?
יש רק שני ראשוניים שמחלקים את 6 והם 2,3.
לכן p1=2,p2=3.
נציב במשוואה ונקבל:
שני המספרים הזרים ל- 6 (וקטנים מ 6) הם .5,1המספרים 2,3,4
אינם זרים ל- 6.