1. משפט ההרכבה Composition Theorem תהי C מחלקה של פונקציות בוליניות תהי נגדיר סדרת פונקציות שניתנות לחישוב בזמן פולינומיאלי.

2. דוגמא 1 דוגמא 2

3. הוא כאשר במקום משתנים שמים טרמים בגודל לכל היותר k דוגמא 3

4. דוגמא 4

5. משפט ההרכבה Composition Theorem תהי C מחלקת פונקציות בוליניות תהיסדרת פונקציות כך שכל g i ניתנת לחישוב בזמן T G. אם C ניתן ללמידה מדוגמאות בזמן T(n,m) אזי ניתן ללמידה מדוגמאות בזמן O( T(t,m)+m t T G ) אלגוריתם הלימידה מוציא היפוטזה בגודל poly(t)

6. הוכחה: יהי A אלגוריתם לימידה ל- C נגדיר אלגוריתם B זמן O( T(t,m)+m t T G )

7. צריר להוכיח טענה 1: אם קיים קונסיסטנטי עם S אזי קיים קונסיסטנטי עם S New טענה 2: אם h(x) קונסיסטנטי עם S New אזי h(g 1 (x),…,g t (x)) קונסיסטנטי עם S

8. דוגמא 1 רשימת החלטה (DL) Decision list Ron Rivest

10. קיים ושני ערכים כך ש- למידת רשימת החלטה מדוגמאות

11. הוכחת נכונות...

12. סיבוכיות זמן

13. דוגמא 2 ( k -DL) k -Decision list

15. k -DL=DL( k -Term) ממשפט ההרכבה ניתן ללמידה k -DL מדוגמאות בזמן O( T(t,m)+m t T G ) זמן לימידת ( k -DL) זמן חישוב k -Term

16. קיים ושני ערכים כך ש- אלגוריתם בלי שמוש במשפט ההרכבה

17. דוגמא 3 עץ החלטה (DT) Decision Tree

18. משפט נראה שלכל DT יש DNF בגודל שווה למספר העלים שמסומנים ב-1 ויש CNF בגודל שווה למספר העלים שמסומנים ב-0. הוכחה

21. לשתי מחלקות C 1 ו- C 2 נומר ש- C 1 תת-מחלקה של C 2 אם משפט : יהי. אם ניתן ללמוד מדוגמאות בזמן T אזי ניתן ללמוד מדוגמאות בזמן T הוכחהאותו אלגוריתם רץ בזמן

22. ראינו ש- נראה ש-

23. משפט הוכחה

24. משפט הוכחה כלוזים המכילים

25. משפט הוכחה

26. משפט הוכחה

27. משפט הוכחה

28. משפט 1 :אם ניתן ללמוד DNF מדוגמאות בזמן T אזי ניתן ללמוד DT מדוגמאות בזמן T משפט 2 : אם ניתן ללמוד DNF מדוגמאות אזי ניתן ללמוד DT מדוגמאות

29. חזרה לדוגמא 3 עץ החלטה (DT) Decision Tree משפט 1 : משפט 2 : ניתן ללמוד DT מדוגמאות בזמן זמן קואזיפולינומיאלי quazipolynomial האלגוריתם מוציא log s-DL בגודל

30. משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש נקודות מגיעות לפה מקימות Avrim Blum

31. משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש נקודות מגיעות לפה מקימות

32. משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש

33. משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש

34. משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש

35. משפט 1 : מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש וכך הלאה........

36. מחפשים עלה במרחק מינימלי מהשורש למה : בעץ עם s עלים קיים עלה במרחק log s מהשורש. הוכחה :

37. בעית גודל ההיפוטזה אנחנו לומדים log s – DL שגודלו יכול להיות עד בעיה פתוחה: האם ניתן ללמוד DT עם היפוטזה בגודל poly(n)

38. מה עוד ניתן ללמוד בזמן קואזיפולינומיאלי? דוגמא 4 log n-CNF משפט : ניתן ללמוד log n-CNF מדוגמאות בזמן האלגוריתם מוציא log n-CNF בגודל משפט : ניתן ללמוד log n-CNF מדוגמאות בזמן האלגוריתם מוציא log n-CNF בגודל

39. דוגמאות שליליות דוגמאות חיוביות T קבוצת כל הטרמים האפשריים ז"א טרמים T שלא מקיימים אף דוגמא שלילית T T מכסה חלק מהדוגמאות החיוביות קיים כסוי בגודל s נשתמש ב- Set Cover Set Cover מוצא כיסוי בגודל

40. משפט 1 : דוגמא 5 DNF משפט 2 : ניתן ללמוד DNF מדוגמאות בזמן זמן סבאקספוננציאלי subexponential האלגוריתם מוציא בגודל

41. משפט 1 : הוכחה:

42. קיים l i כך ש- Dirichlet עקרון שׁוֹבָךְ היונים, עקרון Dirichlet

46. משפט 4 : ניתן ללמוד DNF מדוגמאות בזמן האלגוריתם מוציא בגודל משפט 3 : Adam Klivans Rocco Servedio בעיה פתוחה : ללמוד DNF מדוגמאות בזמן סב-אקספוננציאלי ולהוציא היפוטזה קטנה

47. משפט 5 : ניתן ללמוד DNF מדוגמאות אם"ם ניתן ללמוד Read-Once-MDNF מדוגמאות.

48. דוגמא 6 אליפסה Ellipse