1. הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353)
17 April 2017
הפקולטה למדעי המחשב
אוטומטים ושפות פורמליות (236353)
יחסים ומשפט נרוד
תרגיל מספר 8
© יעל מלר
© יעל מלר

2. תזכורת - יחס שקילות יחס שקילות R מעל קבוצה A הוא יחס המקיים:
17 April 2017
תזכורת - יחס שקילות
יחס שקילות R מעל קבוצה A הוא יחס המקיים:
רפלקסיביות
סימטריות
טרנזיטיביות
יחס כזה משרה חלוקה למחלקות שקילות
יחס שקילות 'R מעדן את R אמ"מ מתקיים:
© יעל מלר
© יעל מלר

3. תזכורת – היחס RL ומשפט האפיון
הגדרה:
עבור שפה , היחס RL מוגדר כך:
היחס RL הוא יחס שקילות אינווריאנטי מימין.
היחס RL מעדן את L.
אם R יחס שקילות אינווריאנטי מימין המעדן את L, אז הוא מעדן גם את RL.
© יעל מלר

4. דוגמה א'
עבור השפה מעל קבע עבור כל זוג האם הוא באותה מחלקת שקילות של RL.
(aa,ab)
(a,b)
(ba,baa)
(bab,baa)
(ε,a)
© יעל מלר

5. דוגמה א' (המשך) מהן מחלקות השקילות של RL?
נשים לב: L מורכבת ממספר מחלקות שקילות שלמות של RL
נסמן: rank(RL)=4
© יעל מלר

6. דוגמה א' (המשך) ניתן לבנות אוטומט המקבל את L בעל 4 מצבים:
מצבי האוטומט – נציגים ממחלקות השקילות
מצבים מקבלים – מחלקות שקילות המוכלות ב-L
מצב התחלתי – מחלקת השקילות המכילה את ε
[ε]
[a]
[b]
[bb]
start a
a,b b
© יעל מלר

7. משפט נרוד תהי . אזי הטענות הבאות שקולות: L רגולרית
תהי אזי הטענות הבאות שקולות:
L רגולרית
קיים יחס שקילות R אינווריאנטי מימין כך ש-R מעדן את L וכן rank(R) סופי.
rank(RL) סופי
© יעל מלר

8. דוגמה ב' הוכח כי השפה הבאה מעל {a,b} אינה רגולרית: הוכחה:
נוכיח כי ל-L אינסוף מחלקות שקילות, ולכן אינה רגולרית.
נגדיר wi=bia i=1,2…..
עבור i≠j קיים זנב מפריד z כך ש-
ניקח z=abi
rank(RL) אינסופי, ולכן L אינה רגולרית
© יעל מלר

9. דוגמה ג' הוכח כי השפה הבאה מעל {0,1} רגולרית: לכל רישא α של w מתקיים:
הוכחה:
נראה כי ל-RL יש מספר מחלקות שקילות סופי, ולכן על סמך משפט נרוד – Lk רגולרית.
© יעל מלר

10. דוגמה ג' (המשך) מחלקות השקילות של RL עבור Lk הן:
17 April 2017
דוגמה ג' (המשך)
מחלקות השקילות של RL עבור Lk הן:
וגם לכל רישא α של w מתקיים:
קיימת רישא α של w כך שמתקיים:
© יעל מלר
© יעל מלר

11. דוגמה ג' (המשך) נשים לב כי:
על מנת להוכיח כי אלו אכן מחלקות השקילות של RL, יש להוכיח כי לכל שתי מילים x,y:
x,y שייכות לאותה מחלקת שקילות
© יעל מלר

12. דוגמה ג' (המשך) כיוון 1: x,y שייכות לאותה מחלקת שקילות _______
וגם
לכל מתקיים כי β,α הן גם רישות של xz ו-yz בהתאמה, ולכן:
© יעל מלר

13. דוגמה ג' (המשך) ______ נניח בשלילה שקיים כך ש-
נניח בשלילה שקיים כך ש-
לכל רישא β של y: (הגדרת Si)
הרישא של yz המקיימת
היא מהצורה
בסתירה לכך ש-
באותו אופן עבור
© יעל מלר

14. דוגמה ג' (המשך) כיוון 2: x,y שייכות לאותה מחלקת שקילות
שקול לוגית לטענה:
אינן שייכות לאותה מחלקת שקילות
__________
עבור מתקיים
© יעל מלר

15. דוגמה ג' (המשך) ________________
נניח בה"כ כי i>j ונסתכל על z=0k-i+1
אבל –
ולכן
© יעל מלר