1. 吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时： 64 ( 第二十五讲 ) 离散数学

2. 定理 6.2.2 群定义中的条件 （ 1 ）和（ 2 ）可以减弱如下： （ 1 ） ’ G 中有一个元素左壹适合 1 · a=a; （ 2 ） ’ 对于任意 a ，有一个元素左逆 a -1 适 合 a -1 · a=1 。 证明：只要证明由（ 1 ） ’ 、（ 2 ） ’ （和其 余的条件联合）可以推出 (1) 和 (2) ， 即只需证明 a · 1 = a 和 a · a -1 = 1 。

3. 先证 a · a -1 =1 。因为 (a -1 · a) · a -1 = 1 · a -1 = a -1 ，故 (a -1 · a) · a -1 = a -1 。 由（ 2 ） ’ ， a -1 也应该有一个左 逆适合 b · a -1 =1 。于是, 一方面有： b · （（ a -1 · a ） · a -1 ） )=b · a -1 =l ， 另一方面有： b · ((a -1 · a) · a -1 )=(b · a -1 ) · (a · a -1 ) =1 · （ a · a -1 ） = a · a -1 ， 因此， a · a -1 =1 。 再证 a · 1=a 。事实上， a · 1 = a · （ a -1 · a ） = （ a · a -1 ） · a = 1 · a = a 。 自然，把（ 1 ） ’, （ 2 ） ’ 中对于左边的要求 一律改成对于右边的要求也是一样。

4. 定理 6.2.3 群定义中的条件 （ 1 ）和（ 2 ）等于下列可除条 件：对于任意 a ， b ，有 χ 使 χ · a=b ，又有 y 使 a · y=b 。 证明：首先证明在任一群中可 除条件成立。因为，取 χ=b · a -1 ， y=a -1 · b ，即得 χ · a=b ， a · y=b ，故， 由 (1) 和 (2) 可以推出可除条件成立。 再证明由可除条件也可以推出 (1) ’,(2) ’ ，因 而可以推出 (1),(2) 。事实上, 取任意 c ∈ G ，命 1 为适合 х · c=c 的 х ，则 1 · c=c 。今对 于任意 a, 有 y 使 c · y=a, 故 1 · a=1 · (c · y)= （ 1 · c ） · y=c · y=a ，即（ 1 ） ’ 成立。至于（ 2 ） ’ ，只要令 a -1 为适合 х · a=1 的 х ，则 a -1 · a=1 。

5. 定理 6.2.4 设 G 是一个群，在 一个乘积 a 1 … a n 中可以任意加 括号而求其值。 证明： 要证定理，只要证明 任意加括号而得的积等于按次 序由左而右加括号所得的积 ( … ((a 1 · a 2 ) · a 3 ) …· a n-1 ) · a n （ 1 ） （ 1 ）式对于 n=1 ， 2 不成问题；对于 n=3, 由结合律也不成问题。现在对 n 用归纳法, 假定对少于 n 个因子的乘积（ 1 ）式成立， 试证对 n 个因子的乘积（ 1 ）式也成立。

6. a 1 … a n 任意加括号而得到的乘积 A ， 求证 A 等于 (1) 式。设在 A 中最后 一次计算是前后两部分 B 与 C 相乘： A = （ B ） · （ C ） 今 C 的因子个数小于 n ，故由归纳 假设,C 等于按次序自左而右加括 号所得的乘积（ D ） · a n 。由结合律， A=(B)(C)=(B) · ((D) · a n )=((B) · (D)) · a n 。但 （ B ） · （ D ）的因子个数小于 n ，故由归纳 假设，（ B ） · （ D ）等于按次序由左而右 加 括号所得的乘积 (B) · (D)=( … ((a 1 · a 2 ) · a 3 ) …· a n-2 ) · a n-1 因而

7. A =((B) · (D)) · a n =(( … ((a 1 · a 2 ) · a 3 ) …· a n-2 ) · a n-1 ） · a n 即 A 等于（ 1 ）式。 n 个 a 连乘所得的积称为 a 的 n 次方，记为 a n 。我们规定 a 0 =1 ， a -n = （ a n ） -1 。象在普 通代数中一样，可以证明对于任意整数 m ， n ， a m · a n =a m+n ，（ a m ） n =a mn 。

8. 定义 6.2.3 若群 (G, · ) 的运算 · 适合交换律，则称（ G ， · ）为 Abel 群或交换群 定理 6.2.5 在一个 Abel 群 （ G ， · ）中，一个乘积可以任 意颠倒因子的次序而求真值。 证明： 考虑一个乘积 a 1 ·…· a n 。设 σ 是 {1 ， … ， n} 上的一个一对一变换，欲证 a σ （ 1 ） · …· a σ （ n ） =a 1 ·…· a n 对 n 用归纳法， n=1 时只有一个 a 1 定理自然 成立，假定 n-1 时定理已真，证明 n 时定 理亦真。

9. 设将 a 1 ·…· a n 中各因子任意颠倒次 序而得一式 P = a σ （ 1 ） ·…· a σ （ n ） 因子 a n 必在 P 中某处出现， 因而 P 可以写成 P = （ P′ ） ·…· a n · （ P″ ） P ˊ或 P″ 中可能没有元素，但照 样适用以下的论证，由交换律， P=P ˊ · (a n · P″)=P ˊ · (P″ · a n) =(P ˊ · P″) · a n ， 现在 P ˊ · P″ 中只有 n-1 个元素 a 1, …,a n-1, 只 不过次序有颠倒，故由归纳法假定， P ˊ · P″= a 1 ·…· a n-1 。 因此,P = （ P ˊ · P″ ） · a n = a 1 ·…· a n-1 · a n ，从 而归纳法完成，定理得证。

10. 在 Abel 群中，易见有第三指数律： （ a · b ） m =a m · b m ， m 为任意整数。 如果群 G 的运算不写作乘 · 而写作加 + ， 则 G 叫做一个加法群，我们永远假 定一个加法群是一个 Abel 群： a+b=b+a 在乘法群中写做 1 的现在写做 0 ： a+0=a 在乘法群中写做 a -1 而称为 a 的逆的, 现在写做 -a 而 称为 a 的负： a+ （ -a ） = 0 n 为任意整数时，在乘法群中写作 a n 而称为 a 的 n 次方的，现在写做 na 而称为 a 的 n 倍。三个指 数律现在成为下面的形式： （ m+n ） a = ma+na ， m （ a+b ） = ma+mb ， m （ na ） = （ mn ） a 。