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概率统计( ZYH ) 节目录 2.1 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量的概率分布 2.3 连续型随机变量的概率分布 第二章 随机变量及其分布.

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2 概率统计( ZYH ) 节目录 2.1 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量的概率分布 2.3 连续型随机变量的概率分布 第二章 随机变量及其分布

3 概率统计( ZYH ) ★ 引入了数 于是我们不用数数,也知道: ★ 引入了变量概念, 可建立数与数之间的函数关系, 从而可用代数、分析的方法解决更复杂的问题. 的概念及其运算, 知道了:

4 概率统计( ZYH ) 为了统一的研究同类试验, 有必要 将试验的结果数量化, 引入 随机变量  3 ={ 东西, 东南, 东北, 西南, 西北, 南北 } ★ 在同时选择两个方向突围的试验 E 3 中: ★ 在观察骰子出现点数的试验 E 4 中:  4 ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ★ 在甲乙丙三同学竞选正副班长的试验中:  ={ 6 种可能性 } 以达到事半功倍的效果

5 概率统计( ZYH ) 二、分布函数 一、随机变量 2.1 随机变量与分布函数

6 概率统计( ZYH ) 在随机试验 E 中,为了将 E 的结果数量化,我们 总可以把样本空间 Ω 中所有样本点 ω 都用一个实值变 量(或向量)来表示,记作 一、随机变量 则 X 便是随机变化的量,称为随机变量(或向量)  3 ={ 东西, 东南, 东北, 西南, 西北, 南北 } X : 引进变 量 如在 E 3 中: 则 X 便是取值规律相同的随机变量. 在 E 4 中:令 X = “ 试验中骰子出现的点数 ”

7 概率统计( ZYH ) 随机变量(或随机向量)的取值规律通常称为 随机变量(或随机向量)的概率分布,或简称 分布 随机变量(即一维随机变量)通常用 X,Y,Z 或 ξ,η,ζ 等来表示, 随机向量(也叫多维随机变量)通 常用 (X,Y ), (X,Y,Z) 或 (X 1,X 2, ···,X n ) 等来表示. 本章我 们只研究一维随机变量, 下章讨论多维随机变量. 引入随机变量后,就可用随机变量描述事件. 例如在 E 3 中, X 取值 1, 写成 {X = 1}, 就表示 “ 选择东西 两方向突围 ” ;而 {X≤5} 则表示 “ 不同时取南北两个方 向突围 ”. 一般地, {X ∈ S } 表示一个事件.

8 概率统计( ZYH ) 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此 随机变量的取值也有一定的概率规律. (2) 随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量是一个函数, 但它与普通的函数有着 本质的差别, 普通函数是定义在实数轴上的, 而随机 变量是定义在样本空间上的 ( 样本空间的元素不一 定是实数 ). (1) 随机变量与普通的函数不同 两点说明

9 概率统计( ZYH ) 二、分布函数 在引入随机变量的概念后,任一事件都可用 随机变量 X 表示为 {X ∈ S} .而在实际问题中, S 往 往是由若干个诸如 (a, b] 的区间和点 X = b 构成的, 同时由于 所以, 只要我们把形如 {X≤x} 上的概率分布讨论清楚 了, 随机变量 X 的概率分布情况也就掌握了. 为此, 我们引入以下定义

10 概率统计( ZYH ) 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数, 则称 为 X 的分布函数, 记作 X ~ F(x). 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标, 则分布函 数 F(x) 的值就表示 X 落在区间 (- , x] 的概率. 定义 1 有了分布函数的概念, X 落在任一区间 (a,b] 及 任一点 X = b 的概率可由分布函数 F(x) 表示为 x 知道了 X 的分布函数, 它的分布规律就被全面掌握

11 概率统计( ZYH ) 分布函数 F(x) 具有下列性质:定理 1 1  (有界性) 对任意的实数 x 都有 0≤F(x)≤1 , F( -  ) = 0 , F(+  ) = 1 2  (单调性) F(x) 是 x 的单调不减函数,即 当 a < b 时, F(a)≤F(b) 3  (右连续性) F(x) 是右连续函数,即对任意 实数 x 都有 F(x + ) = F(x) 对分布函数 F(x), 有性质 :

12 概率统计( ZYH ) 证 (2) (3) (1) 反过来, 若一个函数具有上述性质,则它定是某个随 机变量 X 的分布函数. 也就是说,性质 (1)-(3) 是鉴别 一个函数是否是某随机变量的分布函数的充要条件

13 概率统计( ZYH ) 设 X 的所有可能取值为 解 例1例1 并设 X 取所有可能值的概率均为 1/n, 求 X 的分布函数. 由分布函数的定义易知 (k = 1,2,···,n - 1) F(x) 1 O x 1 x 2 x 3 … x n-1 x n x

14 概率统计( ZYH ) 向半径为 R 的圆盘形靶射击,设弹着点落 在以靶心 O 为圆心,以 r (r≤R) 为半径的圆盘内的概 率与圆盘的面积成正比,并设每枪都能中靶.现以 X 表示弹着点与圆心 O 的距离,求随机变量 X 的分 布函数. 例2例2 R O x r

15 概率统计( ZYH ) 故 F(x) 1 O R x R O x r 解


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