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利用通項公式求出新數列的公差, 從而得出新數列亦為一等差數列。 18. 等差數列及等比數列 則 d = T(n+1) - T(n) 。 把數列的每一項均乘以 k , 可得出數列 kT(1) , kT(2) , kT(3) , … 設新數列的通項為 Q(n) , ∵ kd 為一常數 ∴ kT(1)+m.

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1 利用通項公式求出新數列的公差, 從而得出新數列亦為一等差數列。 18. 等差數列及等比數列 則 d = T(n+1) - T(n) 。 把數列的每一項均乘以 k , 可得出數列 kT(1) , kT(2) , kT(3) , … 設新數列的通項為 Q(n) , ∵ kd 為一常數 ∴ kT(1)+m , kT(2)+m , kT(3)+m , … 亦為一等差數列 設等差數列 T(1) , T(2) , T(3) , … 的公差為 d , 去中括號 抽公因式 更多有關等差數列及等比數列的性質: (a) 若 T(1) , T(2) , T(3) , … 為一等差數列,則 kT(1)+m , kT(2)+m , kT(3)+m , … 亦為一等差數列。 = kT(n+1)+m - 則 Q(n+1) - Q(n) = [kT(n+1)+m] - [kT(n)+m] = k[T(n+1) - T(n)] = kd [kT(n)+m] kT(n) - m 然後加上 m , 可得出數列 kT(1)+m , kT(2)+m , kT(3)+m , …

2 例 若等差數列 a 1 , a 2 , a 3 , … 的公差為 d ,證明 3a 1 +5 , 3a 2 +5 , 3a 3 +5 , … 為一等差數列,再求出其公差。 等差數列 a 1 , a 2 , a 3 , … 的公差為 d , 可得出數列 3a 1 +5 , 3a 2 +5 , 3a 3 +5 , … 每項均乘以 3 ,然後加上 5 , 則 d = a n+1 - a n 。 根據等差數列的性質 3a 1 +5 , 3a 2 +5 , 3a 3 +5 , … 亦為一等差數列。 新數列的公差 = (3a n+1 +5) - (3a n +5) = 3a n - 3a n - 5 = 3(a n +1 - a n ) = 3d 18. 等差數列及等比數列 更多有關等差數列及等比數列的性質: (a) 若 T(1) , T(2) , T(3) , … 為一等差數列,則 kT(1)+m , kT(2)+m , kT(3)+m , … 亦為一等差數列。

3 利用通項公式求出新數列的公比, 從而得出新數列亦為一等比數列。 把數列的每一項均乘以 k (k  0) , 可得出數列 kT(1) , kT(2) , kT(3) , … 設新數列的通項為 Q(n) , ∴ kT(1) , kT(2) , kT(3) , … 亦為一等比數列 設等比數列 T(1) , T(2) , T(3) , … 的公比為 r , 約分 等比數列的公比 更多有關等差數列及等比數列的性質: (b) 若 T(1) , T(2) , T(3) , … 為一等比數列,則 kT(1) , kT(2) , kT(3) , … 亦為一等比數列 ( 其中 k  0) 。 = r 18. 等差數列及等比數列 則 r = 。 T(n) T(n) T(n+1) 則 Q(n) Q(n) Q(n+1) = kT(n) kT(n+1) = kT(n) kT(n+1) = T(n) T(n) T(n+1)

4 例 (i) 證明 4 , 16 , 64 , 256 , , … 為一等比數列。 由此,求該數列的通項 T(n) 。 ∴ 4 , 16 , 64 , 256 , , … 為一等比數列 證明: T(1) T(2) = 4 16 = 4 T(2) T(3) = = 4 T(3) T(4) = = 4 T(1) T(2) T(3) = T(4) = = 4 ∴ T(n) = 4(4) n - 1 = 4 n 等比數列的公比 18. 等差數列及等比數列 更多有關等差數列及等比數列的性質: (b) 若 T(1) , T(2) , T(3) , … 為一等比數列,則 kT(1) , kT(2) , kT(3) , … 亦為一等比數列 ( 其中 k  0) 。

5 例 (ii) 若把 (i) 部數列中的每一項均乘以 2 ,便得出一個新數列。 求新數列的通項 Q(n) 。 ∴ Q(n) = 8(4) n - 1 = 2(4) n 每項均乘以 2 , 可得出數列 8 , 32 , 128 , 512 , , … 根據等比數列的性質 Q(1) Q(2) Q(3) = Q(4) = Q(5) = 4 = 等比數列的公比 新數列的公比為 4 。 18. 等差數列及等比數列 8 , 32 , 128 , 512 , , … 亦為一等比數列。 更多有關等差數列及等比數列的性質: (b) 若 T(1) , T(2) , T(3) , … 為一等比數列,則 kT(1) , kT(2) , kT(3) , … 亦為一等比數列 ( 其中 k  0) 。


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