1. Prikaz informacija u računalu

2. Zašto je to važno znati? Primjer u programskom jeziku C
Brojanje
void main () {
short int i;
i = 0;
while (i < ) {
i = i + 1; }
printf ("Gotovo!");
Što se i zašto dogodilo?

3. Brojevni sustavi Osnovna jedinica informacije: broj
Prikazuje se nizom znamenki, pri kojem je značajan položaj znamenke u broju.
Npr. broj 123
1 ∙ ∙ ili
1 ∙ ∙ ∙ 100
10 nazivamo bazom brojevnog sustava
moguće znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9
Općenito: Brojevni sustav s bazom brojanja B ima znamenke z  { 0, 1, 2, ... , B-1}
Općenito napisan broj od n znamenki u brojevnom sustavu s bazom B
zn-1 ∙ Bn-1 + zn-2 ∙ Bn z1 ∙ B1 + z0 ∙ B0

4. Brojevni sustavi
Je li dekadski sustav prikladan za ugradnju u računalo?
Trebalo bi načiniti elektronički element koji je u stanju prikazati 10 diskretnih stanja
Moguće, ali komplicirano i skupo, možda i sporo.
Jednostavno, brzo, jeftino i pouzdano rješenje: bistabil
Elektronički element koji je u mogućnosti spremiti dva diskretna stanja
Blok shema i funkcionalnost:
Ulaz
Pohraniti Q
Izlaz
Ulaz D
Pohraniti
Izlaz

5. Binarni brojevni sustav
Pouzdano i neosjetljivo na manje promjene napona:
npr. 0 – 2,5 V  znamenka 0
2, V  znamenka 1
Znamenke su 0 i 1, dakle baza brojanja B=2 što određuje binarni brojevni sustav
Iz engleskog BInary digiT nastalo je ime za najmanju količinu informacije, znamenku binarnog brojevnog sustava BIT.
Broj od n znamenki u brojevnom sustavu s bazom 2:
zn-1 ∙ 2n-1 + zn-2 ∙ 2n z1 ∙ 21 + z0 ∙ 20, zi  { 0, 1 }

6. Binarni brojevni sustav
Kako prikazati dekadski broj u binarnom brojevnom sustavu?
Primjer: 5710= 5 ∙ ∙ 100
Neke potencije broja 2:
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
5710 = 1 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 1
= 1 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 20 =

7. Pretvorba dekadskog broja u binarni
N = zn-1 ∙ 2n-1 + zn-2 ∙ 2n z1 ∙ 21 + z0 ∙ 20
Izlučimo li iz svih pribrojnika, osim posljednjeg, zajednički faktor 2:
N = 2 ∙ (zn-1 ∙ 2n-2 + zn-2 ∙ 2n z1 ∙ 20 )+ z0 
N = 2 ∙ q1 + z0
z0 jest, dakle, ostatak dijeljenja N s 2
Pogledajmo sada količnik q1
q1 = zn-1 ∙ 2n-2 + zn-2 ∙ 2n z1 ∙ 20
q1 = 2 ∙ (zn-1 ∙ 2n-3 + zn-2 ∙ 2n ) + z1 
q1 = 2 ∙q2 + z1
z1 jest, dakle, ostatak q1 s 2
..., sve dok sukcesivnim dijeljenjem s 2 ne postignemo 0.

8. Pretvorba dekadskog broja u binarni
Binarni broj tvore ostaci dijeljenja s 2, odozdo prema gore
57 : 2 = 1
28 : 2 = 14
14 : 2 = 7
7 : 2 = 3
3 : 2 = 1
1 : 2 = 0

9. Binarni brojevni sustav
Umjesto 2 dekadske znamenke (57) uporabili smo 6 binarnih znamenaka (111001).
Općenito: najveći dekadski broj s d znamenaka iznosi 10d-1
Primjer: d=2, najveći broj 99 = 102-1
Koliko će biti potrebno binarnih znamenaka?
10d -1 = 2b -1 
10d = 2b 
d ∙ log10 = b ∙ log2 
d = b log2 
b = d : log2 
b = d : 0, 
b ≈ d : 0,3  b ≈ d ∙ (1 : 0,3)  b ≈ d ∙ 3,33 
b ≈ 2 ∙ 3,33 = 6,66

10. Binarni brojevni sustav
Koliki je najveći broj prikazan sa 6 binarnih znamenaka?
= = 63 = 64-1 = 26-1
Koliki je najveći broj prikazan sa 7 binarnih znamenaka?
= = 127 = = 27-1
Očito, broj znamenaka iz prethodnog izraza treba zaokružiti na viši cijeli broj tj:
b ≈ d ∙ 3,33
Općenito vrijedi da se sa b binarnih znamenaka može prikazati najveći cijeli broj 2b-1

11. Registar
Binarni brojevi u računalima spremaju se u tzv. registre sačinjene od ograničenog broja bistabila (obično 8, 16, 32, 64)
Pojednostavnjeno: Q D
dn-1
qn-1 Q D
dn-2
qn-2 Q D d0 q0
... 1

12. Uvećavanje binarnog broja za 1
Primjer 1:
100
+ 1
101
Primjer 2:
111
+ 1
1000
Što se dešava ako se najveći broj u registru s ograničenim brojem bita uveća za 1? 1 + 1 1
Preliv (overflow)

13. Primjer svih sadržaja u registru od 3 bita
U registru s 3 bita mogu se prikazati sljedeći brojevi:
Dekadski broj Binarni broj
4 100
5 101
6 110
Za n=3 dobije se interval [0, ], općenito [0, 2n - 1]
Za n=8 dobije se interval [0, ], tj. [0, 255]

14. Zbrajanje binarnih brojeva
Primjer 1:
100
+ 10
110
Primjer 2:
111
+ 101
1100
Zbrajanje u registru s ograničenim brojem bita 1 1 1 1 1 + 1 1
Preliv (overflow)

15. Negativni binarni brojevi
Kako se u registru mogu pohraniti samo 0 ili 1, očito je da je za pohranu negativnog predznaka potrebna konvencija.
Jedna od mogućih konvencija mogla bi biti npr. postaviti krajnji lijevi bit na 1 ako je broj negativan, ili na 0 ako je broj pozitivan.
Primjer, 8-bitni registar
+24
-24
Je li predložena konvencija praktična za računanje? 1 1

16. Negativni binarni brojevi
Ne, jer treba ostvariti i postupak oduzimanja, bitno različit od zbrajanja
Pokušajmo broj 24 jednostavno komplementirati:
+24
-24
i zatim ta dva broja zbrojiti:
Bilo bi dobro da je rezultat 0, ali nije. Međutim, kad bismo sada rezultatu dodali 1, zbog preliva dobit će se 0. 1 1 1 1 + 1 1

17. Negativni binarni brojevi
Zato se negativni brojevi prikazuju tzv. tehnikom dvojnog komplementa. Nule pretvaramo u jedinice, a jedinice u nule (komplement do baze - 1), a zatim tom komplementu dodajemo 1 (komplement do baze – dvojni komplement).
Primjer: -37 u registru s 8 bita 37 1 1 + 1
-37 1 + 37 1 1

18. Oduzimanje binarnih brojeva
Operacija 7 ‑ 5 u računalu s registrom od 4 bita obavit će se kao
7 + (‑5). Binarni prikaz broja ‑5 je sljedeći:
Komplement do baze Komplement do baze
(jedinični komplement) (dvojni komplement)
Dokaz da je dobiveni broj ‑ 5 Operacija oduzimanja 7 ‑ 5
(- 5) ( 7)
(+5) (-5)
Preliv Preliv 1

19. Primjer svih sadržaja u registru od 3 bita (ako je prvi bit predznak)
U registru s 3 bita, ako je prvi bit predznak mogu se prikazati sljedeći brojevi:
Dekadski broj Binarni broj
Za n=3 dobije se interval [-22, ], općenito [-2n-1, 2n-1 - 1]
Za n=8 dobije se interval [-27, ], tj. [-128, 127]

20. Oktalni brojevni sustav
Baza sustava je B=8 a znamenke su 0,1,2,3,4,5,6,7
Koristi se za skraćeno zapisivanje binarnih sadržaja kada je to spretno
Zapis se može dobiti iz dekadskog sukcesivnim dijeljenjem s 8 i zapisivanjemo ostataka s desna na lijevo, ali i direktno iz binarnog zapisa:
N = z5 · 25 + z4 · 24 + z3 · 23 + z2 · 22 + z1 · 21 + z0 · 20
grupiramo li tri po tri pribrojnika i izlučimo zajednički faktor:
N = (z5 · 22 + z4 · 21 + z3 · 20 ) · 23 + (z2 · 22 + z1 · 21 + z0 · 20) · 20
N = (z5 · 22 + z4 · 21 + z3 · 20 ) · 81 + (z2 · 22 + z1 · 21 + z0 · 20) · 80
o1 = (z5 · 22 + z4 · 21 + z3 · 20 ) , o0 = (z2 · 22 + z1 · 21 + z0 · 20)
Primjer:
36‑bitni broj
oktalni ekvivalent

21. Heksadekadski brojevni sustav
Baza sustava je B = 16, a znamenke su 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Koristi se za skraćeno zapisivanje binarnog sadržaja.
Zapis se može dobiti iz dekadskog sukcesivnim dijeljenjem s 16 i zapisivanjemo ostataka s desna na lijevo, ali i direktno iz binarnog zapisa
Primjer:
16‑bitni broj
heksadekadski ekvivalent B E

22. Razlomljeni binarni brojevi
Razlomljeni binarni brojevi sadrže "binarnu točku", analogno decimalnom zarezu, odnosno točki u anglo-američkoj notaciji.
Primjer prikaza razlomljenih brojeva:
= 5 * * * =
= 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1* *2-2 = =

23. Primjer pretvaranja dekadskog razlomka u binarni
Cjelobrojni dio dekadskog broja pretvara se u binarni uzastopnim dijeljenjem, a decimalni uzastopnim množenjem s 2, gdje cjelobrojni dio dobivenih produkata tvori znamenke binarnog razlomka.
1.25 =
.25 *
0.50
.5 * 2
1.0

24. Primjer pretvaranja dekadskih brojeva koji se ne mogu prikazati konačnim brojem binarnih frakcija
13.3 =
.3 *
0.6
.6 * 2
1.2
.2 * 2
0.4
.4 * 2
0.8
.8 * 2
1.6
....

25. Množenje s 2n i 2-n
Treba uočiti da se konačni dekadski razlomak prikazuje kao beskonačni periodički binarni razlomak.
Binarni broj se množi s potencijama baze 2 tako da se binarna točka pomakne odgovarajući broj mjesta desno ili lijevo, zavisno da li je predznak potencije pozitivan ili negativan.
Na primjer:
* 22 =
* 2-2 =
Kako, međutim, u registar pohraniti točku?

26. Realni brojevi standardne preciznosti
IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) standard 754 za prikaz realnih brojeva u standardnoj točnosti:
Deklaracija u programskom jeziku C: float
P Karakteristika Mantisa
P je predznak ( P=1 negativan, P=0 pozitivan)
Karakteristika je binarni eksponent (da se izbjegne prikaz negativnog eksponenta)
Mantisa je normalizirana (samo jedan bit ispred binarne točke).

27. Primjer: Prikazati broj 5.75 kao realni broj
= * 20 = * 22
Kako se normalizacijom svakog binarnog broja (osim nule) postiže oblik
1.xxxxx
vodeća jedinica ne pohranjuje se u računalu i naziva se skrivenim bitom (hidden bit). Time se štedi jedan bit što povećava preciznost.

28. Prikaz broja 5.75 (nastavak)
Predznak = 0 (pozitivan broj)
Binarni eksponent = 2
K = = 129 = ( )2
Mantisa (cijela)
Mantisa (bez skrivenog bita)
Rezultat:
ili B
(heksadekadski)

29. Primjeri
2 = 102 * 20 = 12 * 21 = = hex
P = 0, K = = ( ), M = (1.)
-2 = -102 * 20 = -12 * 21 = = C hex
Jednako kao 2, ali P = 1
4 = * 20 = 12 * 22 = = hex
Jednaka mantisa, BE = 2, K = = 129 ( )
6 = 1102 * 20 = 1.12 * 22 = = 40C hex
1 = 12 * 20 = = 3F hex
K = ( ).
.75 = * 20 = 1.12 * 2-1 = = 3F hex
Poseban slučaj - 0: Normalizacijom broja 0 ne može se dobiti oblik 1.xxxxx
0 = tj. kao * 2-127

30. Raspon i točnost realnih brojeva
Karakteristika
Raspon karakteristike: K Î[0,255].
Raspon binarnog eksponenta BE Î [-126,127]
Kada je K = 0 i svi bitovi mantise nula radi se o broju nula
Kada je K = 0 i postoje binarne frakcije u mantisi tada je to denormalizirani broj, tj. više ne postoji skriveni bit
Kada je K = 255 i svi bitovi mantise nula radi se o prikazu +∞ illi -∞ ovisno od predznaka P
Kada je K = 255 i postoje binarne frakcije u mantisi ne radi se o prikazu broja (NaN)
Najmanji pozitivni broj  0 koji se može prikazati je:
*2-126 što iznosi
a najveći je:
* 2127 » 2128 = *1038
Točnost: 24 binarne znamenke jer je:
224 » 10x  24 log 2 » x log10  x » 24 log 2 =
(na približno 7 prvih važećih točnih znamenki).

31. Realni brojevi dvostruke preciznosti
Deklaracija u programskom jeziku C: double
P Karakteristika Mantisa
P je predznak ( P=1 negativan, P=0 pozitivan)
Karakteristika je binarni eksponent (11 bita)
Mantisa je normalizirana (52+1 bit).

32. Raspon i točnost prikazivanja realnih brojeva dvostruke preciznosti
Karakteristike
Raspon karakteristike: K Î[0,2047].
Raspon binarnog eksponenta: BE Î [-1022,1023]
Kada je K = 0 i svi bitovi mantise nula radi se o broju nula
Kada je K = 0 i postoje binarne frakcije u mantisi tada je to denormalizirani broj, tj. više ne postoji skriveni bit
Kada je K = 2047 i svi bitovi mantise nula radi se o prikazu +∞ ili -∞ ovisno o predznaku P
Kada je K = 2047 i postoje binarne frakcije u mantisi tada se ne radi o prikazu broja (Nan)BE = K
Najmanji pozitivni broj  0 koji se može prikazati je:
* što je *
a najveći je:
* » = *10308
Točnost: 53 binarne znamenke
253 » 10x  53 log 2 » x log10  x » 53 log 2 =
tj. na približno 16 prvih važećih točnih znamenki.

33. Razlika između preciznosti i točnosti
Preciznosti (precision): broj znamenki koji opisuje neku veličinu
Točnost (accuracy): točnost je bliskost stvarnoj (nepoznatoj) vrijednosti
Za dovoljnu točnost potrebna je adekvatna preciznost, ali preciznost ne implicira automatski točnost jer su iskazane znamenke mogle nastati na temelju npr. pogrešnog mjerenja.

34. Prikaz slova i ostalih znakova
Kombinacijom jedinica i nula – kôdom
Koliko ima znakova?
26 velikih slova engleske abecede
26 malih slova engleske abecede
10 znamenaka
operatori, interpunkcije, upravljački znakovi
Dovoljan je 1 byte
ASCII (ISO-7 standard): 7 bita za informaciju + 1 bit za paritet  27 = 128 različitih znakova
Paritet: ako je u informaciji neparan broj bita, bit pariteta postavlja se na 1, inače na 0 (može i obratno: odd/even parity). Omogućuje otkrivanje jednostruke pogreške pri prijenosu informacija

35. 7-bitni ASCII kod
Znakovi za upravljanje ulazno-izlaznim jedinicama računala (0-31 dekadski)
Dec
Binarno
Hex
C-konstanta
Znak
Komentar
0x00
'\0'
NULL 7
0x07
'\a'
BELL
Zvučni signal 8
0x08
'\b' BS
Brisanje prethodnog znaka 9
0x09
'\t' HT
Horizontalni tabulator 10
0x0A
'\n' LF
Novi redak 11
0x0B
'\v' VT
Vertikalni tabulator 12
0x0C
'\f' FF
Nova stranica 13
0x0D
'\r' CR
Na početak retka 27
0x1B
ESC
Escape

36. 7 - bitni ASCII kod Znakovi koji se mogu tiskati (32-127 dekadski) Dec
Binarno
Hex
C-konstanta
Znak
Komentar 32
0x20
' '
Praznina
slijede posebni znakovi i interpunkcije kao !, ", +, - itd. 48
0x30
'0' 49
0x31
'1' 1
Slijede ostali brojevi do uklju
čivo 57 ('9'), te još posebnih znakova (do 64) 65
0x41
'A' A 66
0x42
'B' B
Slijede ostala velika slova engleske abecede do 90 ('Z'), te još posebnih znakova 97
0x61
'a'
Slijede ostala mala slova engleske abecede do 126 ('z'), te posebni znak 127 (DEL)

37. Problem prikaza internacionalnih znakova
Naši znakovi (č,ć,đ,š,ž): prvi standard – YUASCII  CROSCII
CROSCII, na svu sreću, nije više tako široko rasprostanjeni “standard” u Hrvatskoj. Neki znakovi iz ASCII tablice su zamijenjeni s našim znakovima, stoga nije moguće imati tekstove istovremeno s jednim i drugim znakovima.
Raspored na ASCII tablici je slijedeći:
č: malo slovo 126 ( ~ ), veliko slovo 94 ( ^ )
ć: malo slovo 125 ( } ), veliko slovo 93 ( ] )
đ: malo slovo 124 ( | ), veliko slovo 92 ( \ )
š: malo slovo 123 ( { ), veliko slovo 91 ( [ )
ž: malo slovo ( ` ), veliko slovo 64 )
U zagradama je naveden ASCII ekvivalent.

38. Problem prikaza internacionalnih znakova
8-bitni ASCII kôd  28 = 256 različitih znakova
Naši su znakovi smješteni u područje
Osobna računala koja rade pod Windowsima imaju nekoliko načina prikaza naših slova. Starije verzije koristile su CE - varijantu za Centralnu i Istočnu Europu. Sada se to postiže automatski odabirom hrvatske tipkovnice, međutim ipak može doći do zbrke jer su u uporabi dva standarda; Central European (Windows 1250) i Central European (ISO 8852).
8-bitni ASCII kôd nije dovoljan za prikaz znakova svih jezika u svijetu, a pogotovo za kineska i japanska slova
UNICODE: 1 znak  16 bita  216 = različitih znakova

39. Memorija računala (spremnik)
Skup registara jednake duljine
Današnja računala: 8-bitni registri – bajtovi (byte)
Kratica: B
Do svakog se bajta može pristupiti direktno, navođenjem rednog broja – adrese
Simbolički prikaz spremnika i njihovih adresa: 1 2 3 4
...
n-2
n-1

40. Memorija računala (spremnik)
Veličina spremnika izražava se kao višekratnik od 210 ili 220
210 B = 1024 B = 1 kB
220 B = 1024·1024 B = B = 1 MB
Kojim redom pohraniti bajtove 32 bitnog registra u spremnik?
Dvije mogućnosti:
od najmanje signifikantnog bajta (LSB) prema najsignifikantnijem (Little Endian)
od najsignifikantnog bajta (MSB) prema najmanje signifikantnom (Big Endian)
PC: Little Endian

41. Prefiksi za binarne mnogokratnike
 Faktor 
Ime 
Simbol 
Originalni
Derivacija 
 210
kibi Ki
kilobinary: (210)1
kilo: (103)1
 220
mebi Mi
megabinary: (210)2 
mega: (103)2
 230
gibi Gi
gigabinary: (210)3
giga: (103)3
 240
tebi Ti
terabinary: (210)4
tera: (103)4
 250
pebi Pi
petabinary: (210)5
peta: (103)5
 260
exbi Ei
exabinary: (210)6
exa: (103)6

42. Primjeri i usporedbe sa SI prefiksima
one kibibit
 1 Kibit = 210 bit = 1024 bit
one kilobit
 1 kbit = 103 bit = 1000 bit
one mebibyte
 1 MiB = 220 B = B
one megabyte
 1 MB = 106 B = B
one gibibyte
 1 GiB = 230 B = B
one gigabyte
 1 GB = 109 B = B