1. III. Engineering Plasticity and FEM
3.2 Introduction to FEM
3.3 Elastoplatic FEM
References
1. Forging simulation (M. S. Joun, 2013, Jinseam Media)
2. Advanced solid mechanics and finite element method
(M. S. Joun, 2009, Jinseam Media)

3. 4.1 Engineering Plasticity

4. Mechanical quantities and their correlation
Displacement
Strain-displacement relation
Velocity
Strain rate-velocity
relation
Acceleration
Strain
Strain rate
Temperature
• Damage D
• Microstructure M
Thermodynamics
• First law
• Second law
Stress
Constitutive law
• Isothermal
• Nonisothermal
Newton’ s law of motion
• Equation of motion
• Equation of equilibrium
Virtual work principle
Virtual work-rate principle
• Minimum total potential theorem
• Hamilton’ s principle
• etc.
Coupled analysis
0th order
tensor
(scalar)
Temperature,
Effective strain,
Effective strainrate,
Energy, Power
1th order tensor
(vector)
Displacement, Velocity,
Force
2th order
tensor
(Dyadic)
Stress,
Strain,
Strainrate 4

5. Tensile test Definition of and Hooke's law in uniaxial loading
Initial area A0
Current area A
Engineering strain, Engineering stress
(Engineering = Conventional=Nominal)
Before necking occurs
Hooke's law in uniaxial loading
지금까지 역학을 이루는 3대 요소 중 힘, 변형 두 가지에 관하여 설명하였습니다.
이제 힘과 변형의 관계에 관하여 설명하도록 하겠습니다.
이 그림은 인장시험을 설명하는데 필요한 변수들을 정의하고 있습니다.
초기에 길이가 L0, 단면적이 A0 인 시편이 하중 P를 받아 길이가 delta 만큼 늘어나면서 단면이 A로 줄어들었다고 가정합니다.
이 때 공칭변형률, nominal strain(노말 스트레인), epsilon e(잎실론 이)는 늘어난 길이 delta를 본래의 길이L0(엘 제로)로 나눈 값으로 정의됩니다.
그리고 공칭응력, nominal stress(노말 스트레스), sigma e(시그마 이)는 현재의 하중 P을 원래의 단면적 A0(에이 제로)로 나눈 값으로 정의됩니다.
진변형률, true strain(트루 스트레인)은 늘어난 미소길이 delta L(델타 엘)을 현재의 길이 L로 나눈 값을 적분하여 구한 것이며, 이 식으로 정의됩니다.
Lf(엘 에프)가 L0(엘 제로) 더하기 delta이므로 진변형률 epsilon t(잎실론 티)는 자연로그 (1+epsilon e)(일 플러스 잎실론 이)가 됩니다.
따라서 진변형률 값은 공칭변형률 값에 비하여 약간 작습니다.
진응력, true stress, sigma t는 현재의 하중 P를 현재의 단면적 A로 나눈 것으로 소성변형 중 체적의 변화가 없다고 가정하면, 이 식에 의하여 공칭응력과 공칭변형률로 표현됩니다.
이 곡선은 인장시험에서 얻은 공칭응력 공칭변형률 곡선입니다.
네킹이 시작되는 점에서 최대 공칭응력을 나타내며, 이 공칭응력 epsilon F을 인장강도, 즉 tensile strength(텐샬 스트렝스)라고 합니다.
그리고 파단이 발생한 시점에서의 공칭변형률 epsilon F에 100을 곱한 수치를 재료의 연신율, 즉 elongation(일롱게이션)이라고 부릅니다.
물론 초기항복이 발생할 때의 공칭응력을 항복강도, 즉 yield strength(일드 스트렝스)라고 합니다.
이 영역에서는 공칭응력과 공칭변형률이 선형관계에 있으며 그 기울기를 E라고 표시하고 탄성계수 또는 영률이라고 합니다.
물론 P점 즉 비례한계를 넘어가면 Y점까지 비선형탄성 거동 특성을 보입니다.
비례한계, 즉 proportional limit(프로포쇼날 리미트) 이내에서는 하중과 변형이 선형적 관계에 있으므로 후크법칙으로 설명됩니다.
이제 진응력 진변형률 곡선에 관하여 공부하도록 하겠습니다.
일반적으로 탄성범위 내에서는 진응력 진변형률 곡선이 공칭응력 공칭변형률 곡선과 일치한다고 할 수 있습니다.
소성영역에서는 이 식과 이 식을 이용하여 관계곡선을 그림처럼 그릴 수 있습니다. 대개 파단이 발생할 때까지 변형경화가 계속 발생하는 것으로 보고 있습니다.
한편, 이 그림에서 후크법칙은 sigma 는 E epsilon(이 잎실론)으로 표현됩니다.
이를 선형탄성 재료를 위하여 일반화시키면 이 식으로 표현됩니다. Cijkl(씨 아이제이케이엘)을 탄성상수라고 합니다.
탄성상수는 이러한 조건 때문에 21개의 독립적인 상수로 구성되어 있습니다.
만약 소재가 직교이방성 재료일 경우 탄성상수는 9개로 줄어들고, 횡등방성재료의 경우에는 5개로 줄어들며, 등방성 재료의 경우에는 2 개, 즉 E(영스 모듈러스)와 mu(뮤)로 줄어듭니다.
이제 등방성 재료에 관한 후크법칙을 유도해 보도록 하겠습니다.
세 변의 길이가 1인 정육면체의 등방성 재료를 고려해 봅시다.
한 면을 x축과 일치시키고, 그림처럼 그 면과 반대편 면에 sigma xx의 응력을 분포시키면, x방향으로는 sigma xx/E(이 분의 시그마 엑스엑스) 만큼의 변형률이 발생하고, y축과 z축으로는 재료의 고유 특성치인 Poisson(포아송)비만큼, 즉 -mu epsilon xx(마이너스 뮤 잎실론 엑스엑스)만큼의 변형률이 발생합니다.
즉 sigma xx에 의하여 이 식에서 이 항 이 항 이 항의 변형률이 발생합니다.
마찬가지로 sigma yy, sigma zz에 대해서도 동일한 설명이 가능합니다.
따라서 이 3 개의 식이 유도됩니다. 전단응력과 전단변형률의 관계는 이 식과 같습니다.
이 여섯 개의 식을 등방성 재료에 대한 일반화된 후크법칙이라고 합니다.
이 여섯 개의 식을 지수표현법으로 쓰면, 이 식이 됩니다. 이 식에서는 열변형이 고려되었습니다.
그리고 이 식을 응력에 관하여 표현하면, 이 식으로 되고 여기서 mu(뮤)와 lamdha(람다)를 Lame(르메) 상수라고 합니다.
Engineering stress-engineering strain curve
Predictions of tensile test 5

6. True strain and True stress
Current area A
Initial area A0
True stress

7. True and engineering stress-strain curves
Specimen
Yield Point
Necking Point
Fracture Point 7

8. Stresses in 2D Stress : Force exerting on a unit area
A point in 2D mechanics = Square
Thickness=1
Material
Upper Die
Point
Infinitesimal area
Lower Die
여기서는 평형방정식과 운동방정식을 유도하고 응력텐서가 대칭텐서임을 증명하겠습니다.
먼저 학부과정의 고체역학에서 배운 방식으로 평형방정식을 유도해 보도록 하겠습니다.
평면응력 문제라는 가정하에서 설명하겠습니다.
그림에서 하나의 점을 분리하여 응력을 표시하면 이 그림과 같습니다.
마주보는 면에서 작용하는 응력은 작용과 반작용의 법칙에 따라 크기는 같고 방향이 반대입니다.
그러나 오른쪽의 그림처럼 미소면적을 분리하였을 경우, 각 면에 작용하는 응력은 일반적으로 서로 다릅니다.
그 차이를 델타 sigma(시그마)로 표현하였습니다.
delta sigma xx(델타 시그마 엑스엑스)는 x방향으로의 위치 변화만 있으므로 이러한 관계에 있게 됩니다.
다른 것도 마찬가지입니다. 이 미소면적에 x 방향으로의 힘의 평형조건을 적용하면, 이 식과 같이 됩니다.
이 그림에서 이 두 힘은 상쇄되고 이 두 힘도 상쇄됩니다.
결국 남는 것은 delta sigma xx와 delta sigma yx 밖에 없습니다.
따라서 결과적으로 이 항에서 발생하는 여분의 힘은 이 항에서 발생하는 힘과 체적력에 의해서 발생하는 힘이 잡아 주어야 합니다.
그 결과가 이 식, 즉 평형방정식으로 나타난 것입니다. y방향으로도 마찬가지입니다.
고등역학에서는 임의의 부피 V'(브이 프라임)과 표면 S'(에스 프라임)에 작용하는 외력의 합이 영이 되도록 함으로써 평형방정식을 유도합니다.
외력은 표면력 t i(n)(티 아이 엔)과 체적력 fi(에프 아이) 로 이루어져 있습니다.
외력의 합은 이 식에서 보는 바와 같이 표면력을 표면 S'에 대하여 적분한 힘과 체적력을 V'에 대해서 적분한 힘으로 이루어져 있습니다.
Cauchy(코지)의 공식에 의하여 표면력이 응력과 외향법선벡터로 표현되고, 발산이론을 적용하면, 다음의 식을 얻게 됩니다.
여기서 V'은 임의의 체적이므로 이 식이 성립하기 위해서는 피적분함수가 0이 되어야 합니다.
즉, 이 식이 성립하며, 이 식을 풀어 쓰면 이렇게 됩니다. 운동방정식도 마찬가지입니다.
단지 가속도 항을 추가로 고려하면 됩니다. 결과는 이렇게 됩니다.
한편, 어떤 점에 대한 외력의 모멘트의 합이 0이라는 조건을 적용하면, 이 식이 유도됩니다.
첫 번째 항은 표면력에 의한 것이고, 두 번째 항은 체적력에 의한 것입니다.
이 식을 지수표현법으로 다시 쓰면 이렇게 됩니다.
여기서 Cauchy(코지)의 공식을 이용하여 응력벡터를 응력텐서와 외향법선벡터로 표현하고 발산이론을 적용하여 정리하면, 이 식을 얻게 됩니다.
이 식에서 이 항은 평형방정식으로부터 0이 되므로 결국 이 식이 성립해야 합니다.
이 식은 응력텐서가 대칭텐서임을 뜻합니다.
Stress : Force exerting on a unit area 8

9. Equation of equilibrium in 2D
Infinitesimal area
Equation of equilibrium in 2D
(Plane stress, Plane strain, Axis-symmetric)
여기서는 평형방정식과 운동방정식을 유도하고 응력텐서가 대칭텐서임을 증명하겠습니다.
먼저 학부과정의 고체역학에서 배운 방식으로 평형방정식을 유도해 보도록 하겠습니다.
평면응력 문제라는 가정하에서 설명하겠습니다.
그림에서 하나의 점을 분리하여 응력을 표시하면 이 그림과 같습니다.
마주보는 면에서 작용하는 응력은 작용과 반작용의 법칙에 따라 크기는 같고 방향이 반대입니다.
그러나 오른쪽의 그림처럼 미소면적을 분리하였을 경우, 각 면에 작용하는 응력은 일반적으로 서로 다릅니다.
그 차이를 델타 sigma(시그마)로 표현하였습니다.
delta sigma xx(델타 시그마 엑스엑스)는 x방향으로의 위치 변화만 있으므로 이러한 관계에 있게 됩니다.
다른 것도 마찬가지입니다. 이 미소면적에 x 방향으로의 힘의 평형조건을 적용하면, 이 식과 같이 됩니다.
이 그림에서 이 두 힘은 상쇄되고 이 두 힘도 상쇄됩니다.
결국 남는 것은 delta sigma xx와 delta sigma yx 밖에 없습니다.
따라서 결과적으로 이 항에서 발생하는 여분의 힘은 이 항에서 발생하는 힘과 체적력에 의해서 발생하는 힘이 잡아 주어야 합니다.
그 결과가 이 식, 즉 평형방정식으로 나타난 것입니다. y방향으로도 마찬가지입니다.
고등역학에서는 임의의 부피 V'(브이 프라임)과 표면 S'(에스 프라임)에 작용하는 외력의 합이 영이 되도록 함으로써 평형방정식을 유도합니다.
외력은 표면력 t i(n)(티 아이 엔)과 체적력 fi(에프 아이) 로 이루어져 있습니다.
외력의 합은 이 식에서 보는 바와 같이 표면력을 표면 S'에 대하여 적분한 힘과 체적력을 V'에 대해서 적분한 힘으로 이루어져 있습니다.
Cauchy(코지)의 공식에 의하여 표면력이 응력과 외향법선벡터로 표현되고, 발산이론을 적용하면, 다음의 식을 얻게 됩니다.
여기서 V'은 임의의 체적이므로 이 식이 성립하기 위해서는 피적분함수가 0이 되어야 합니다.
즉, 이 식이 성립하며, 이 식을 풀어 쓰면 이렇게 됩니다. 운동방정식도 마찬가지입니다.
단지 가속도 항을 추가로 고려하면 됩니다. 결과는 이렇게 됩니다.
한편, 어떤 점에 대한 외력의 모멘트의 합이 0이라는 조건을 적용하면, 이 식이 유도됩니다.
첫 번째 항은 표면력에 의한 것이고, 두 번째 항은 체적력에 의한 것입니다.
이 식을 지수표현법으로 다시 쓰면 이렇게 됩니다.
여기서 Cauchy(코지)의 공식을 이용하여 응력벡터를 응력텐서와 외향법선벡터로 표현하고 발산이론을 적용하여 정리하면, 이 식을 얻게 됩니다.
이 식에서 이 항은 평형방정식으로부터 0이 되므로 결국 이 식이 성립해야 합니다.
이 식은 응력텐서가 대칭텐서임을 뜻합니다.
Body force(weight) was neglected 9

10. Stresses in 3D and equation of equilibrium
A point
in 3D mechanics
Equation of equilibrium
여기서는 평형방정식과 운동방정식을 유도하고 응력텐서가 대칭텐서임을 증명하겠습니다.
먼저 학부과정의 고체역학에서 배운 방식으로 평형방정식을 유도해 보도록 하겠습니다.
평면응력 문제라는 가정하에서 설명하겠습니다.
그림에서 하나의 점을 분리하여 응력을 표시하면 이 그림과 같습니다.
마주보는 면에서 작용하는 응력은 작용과 반작용의 법칙에 따라 크기는 같고 방향이 반대입니다.
그러나 오른쪽의 그림처럼 미소면적을 분리하였을 경우, 각 면에 작용하는 응력은 일반적으로 서로 다릅니다.
그 차이를 델타 sigma(시그마)로 표현하였습니다.
delta sigma xx(델타 시그마 엑스엑스)는 x방향으로의 위치 변화만 있으므로 이러한 관계에 있게 됩니다.
다른 것도 마찬가지입니다. 이 미소면적에 x 방향으로의 힘의 평형조건을 적용하면, 이 식과 같이 됩니다.
이 그림에서 이 두 힘은 상쇄되고 이 두 힘도 상쇄됩니다.
결국 남는 것은 delta sigma xx와 delta sigma yx 밖에 없습니다.
따라서 결과적으로 이 항에서 발생하는 여분의 힘은 이 항에서 발생하는 힘과 체적력에 의해서 발생하는 힘이 잡아 주어야 합니다.
그 결과가 이 식, 즉 평형방정식으로 나타난 것입니다. y방향으로도 마찬가지입니다.
고등역학에서는 임의의 부피 V'(브이 프라임)과 표면 S'(에스 프라임)에 작용하는 외력의 합이 영이 되도록 함으로써 평형방정식을 유도합니다.
외력은 표면력 t i(n)(티 아이 엔)과 체적력 fi(에프 아이) 로 이루어져 있습니다.
외력의 합은 이 식에서 보는 바와 같이 표면력을 표면 S'에 대하여 적분한 힘과 체적력을 V'에 대해서 적분한 힘으로 이루어져 있습니다.
Cauchy(코지)의 공식에 의하여 표면력이 응력과 외향법선벡터로 표현되고, 발산이론을 적용하면, 다음의 식을 얻게 됩니다.
여기서 V'은 임의의 체적이므로 이 식이 성립하기 위해서는 피적분함수가 0이 되어야 합니다.
즉, 이 식이 성립하며, 이 식을 풀어 쓰면 이렇게 됩니다. 운동방정식도 마찬가지입니다.
단지 가속도 항을 추가로 고려하면 됩니다. 결과는 이렇게 됩니다.
한편, 어떤 점에 대한 외력의 모멘트의 합이 0이라는 조건을 적용하면, 이 식이 유도됩니다.
첫 번째 항은 표면력에 의한 것이고, 두 번째 항은 체적력에 의한 것입니다.
이 식을 지수표현법으로 다시 쓰면 이렇게 됩니다.
여기서 Cauchy(코지)의 공식을 이용하여 응력벡터를 응력텐서와 외향법선벡터로 표현하고 발산이론을 적용하여 정리하면, 이 식을 얻게 됩니다.
이 식에서 이 항은 평형방정식으로부터 0이 되므로 결국 이 식이 성립해야 합니다.
이 식은 응력텐서가 대칭텐서임을 뜻합니다.
Symmetry of stress tensor 10

11. Cauchy's formula and coordinate trans.= y s
Cauchy’s formula

12. Principal stresses and stress invariants
Normal comp. of stress vector
Characteristic equation
Principal stress =
Stress invariants
Eigenvalue problem

13. Effective (equivalent) stress
Mean stress and hydrostatic pressure
Second invariant of stress and deviatoric stress tensors
Deviatoric stress
Effective (equivalent) stress =
Tensile test

14. Displacement and deformation, velocity and
rate of deformation
A displacement field
Deformation of die, exaggerated
A velocity field
먼저 나무를 보기에 앞서 숲을 훓어 보는 차원에서 앞으로 전개될 내용을 총정리해 볼 필요가 있습니다.
수식의 구체적 의미는 고등역학에 관한 이해를 필요로 하므로 현 시점에서 여기서 설명하는 내용의 행간을 상세히 이해할 필요는 없습니다만, 전반적인 흐름의 이해는 역학 이론을 체계적으로 이해하는데 큰 도움이 될 것입니다.
자연 현상의 기본법칙 중에서도 기본은 뉴톤의 운동법칙과 에너지보존법칙입니다.
그 이외의 법칙 또는 관계식을 구성방정식과 기타로 구분해 보았습니다.
여기에는 대학의 학부과정의 고체역학, 유체역학, 열전달 등에서 배운 대부분의 식들이 고등역학의 표현법으로 정리되어 있습니다.
먼저 뉴톤의 운동법칙, 즉 Newton's law of motion(뉴톤스 로우 모션)을 정리해 보도록 하겠습니다.
뉴톤의 운동법칙은 질점, 즉 particle에 관한 역학입니다만, 이를 계 전체에 적용하면은, 소위말하는 평형조건식, 즉 requirements on equilibrium(리콰이어먼츠 온 이퀼리브리엄)을 얻게 됩니다.
흔히들 이를 뉴톤의 운동법칙으로 이해하고 있습니다만, 특히 가속도 및 각가속도가 영인 경우, 즉 sigmaF =0(시그마 에프 이꼴은 영), sigmaM=0(시그마 엠 이꼴은 영)을 평형조건식이라고 함이 옳습니다.
이 평형조건식만으로 해결할 수 있는 역학 문제는 매우 제한적입니다.
정역학에서 배운 소위말하는 정정계 문제가 여기에 속합니다.
뉴톤의 운동법칙과 평형조건식은 서로 동일한 의미를 갖지 못합니다.
그러나 평형조건식이 임의의 부분계, 즉 임의의 subsystem(써브시스템)에 대해서 항상 성립한다는 전제조건이 붙는다면은, 동일한 의미로 해석 가능합니다.
가속도의 영향이 무시 가능한 문제의 임의의 미소체적에서 평형조건식이 성립하도록 하면 평형방정식이 되고(물론 평형방정식은 편미분방정식이죠), 가속도의 영향을 고려할 경우 우리는 운동방정식을 얻게 됩니다.
유체역학에서 배운 Navier-Stokes(나비에 스트로크) 방정식은 운동방정식으로부터 시작하여 유도됩니다.
에너지보존법칙을 고체의 미소체적에 적용하면 열전도방정식이 유도되고 유체에 적용하면 에너지보존방정식이 유도됩니다.
이 두 지배방정식의 차이는 대류항, 즉 convective term(컨벡티브 텀)이 있고 없고에 달려 있습니다.
참고로 이 항을 확산항(diffusion term-디퓨젼 텀)이라고 합니다. 대개 대류항의 영향이 커지면 수치적으로 어려운 문제가 됩니다.
그렇기 때문에 고체역학 문제의 전산해석이 유체역학에 비하여 다소 쉽고 결과의 신뢰성도 높습니다.
앞에서 설명한 두 개의 기본법칙은 모두 미분방정식으로 수식화됩니다. 미분방정식은 반드시 알려진 경계조건을 동반합니다.
그렇기 때문에 이러한 역학 문제를 경계치 문제(Boundary Value Problem-바운더리 밸류 프러블럼)라고 합니다.
고체역학 문제의 경계조건을 보면, 하중 또는 표면력이 주어진 경계조건도 있습니다만 반드시 변위가 주어진 경계조건이 있어야 합니다.
열전달 문제의 경우, 온도가 주어진 경계조건과 열유동이 주어진 경계조건이 동시에 존재합니다.
응력과 변위, 온도와 열유동 간에는 소재에 따라 다르기는 합니다만 일정한 관계가 있습니다.
이러한 관계를 지어주는 식을 구성방정식, 즉 constitutive law(컨스티튜티비 로우)라고 합니다.
후크법칙은 힘과 변위의 선형적 관계를 지어주는 법칙으로 소재가 등방성일 경우, 즉 방향성이 없는 경우 응력과 변형률의 관계식은 이 식으로 표현됩니다.
소재가 소성변형을 받고 있으며, von Mises(본 미세스) 항복이론을 따를 경우 편차응력텐서와 변형률속도텐서의 관계는 이 식으로 표현됩니다.
그리고 열유동이 온도의 구배에 비례할 경우, Fourier(퓨리에)의 열전도법칙에 의해 이 식이 성립하게 됩니다.
지금까지 몇 개의 구성방정식을 소개했습니다만, 문제에 따라 여러 형태의 구성방정식이 존재할 수 있습니다.
기타 법칙 및 관계식에 관하여 간략하게 소개하겠습니다. 먼저 질량보존법칙은 연속방정식으로 수식화되며, 비압축성일 경우 이 식으로, 압축성 물질일 경우 이 식으로 수식화됩니다.
그 다음으로, 변위-변형률 관계식과 속도-변형률속도 관계식은 각각 이 식과 이 식으로 표현되며, 기하학적으로 구해지는 식입니다.
경계조건은 필수경계조건과 자연경계조건으로 구분해서 설명됩니다.
자연경계조건에서 이 식은 Cauchy(코지)의 공식이라고 하고 응력벡터와 응력의 관계를 지어주는 식입니다.
Velocity field
Effective strain-rate
Deformation = displacement – rigid-body motion 14

15. Deformation = Displacement – Rigid-body motion
Strain tensor
Plane strain
Strain tensor
undeformed
Displacement-strain relation
deformed
Deformation = Displacement – Rigid-body motion

16. Quantification of rate of deformation-strainrate
Definition of strainrate
Strainrate
Example

17. Principal strain and effective strain
Eigenvalue problem
Strain invariants
Charactistic eq’n
Incompressibility
Deviatoric strain
Eigenvector
Effective strain
먼저 나무를 보기에 앞서 숲을 훓어 보는 차원에서 앞으로 전개될 내용을 총정리해 볼 필요가 있습니다.
수식의 구체적 의미는 고등역학에 관한 이해를 필요로 하므로 현 시점에서 여기서 설명하는 내용의 행간을 상세히 이해할 필요는 없습니다만, 전반적인 흐름의 이해는 역학 이론을 체계적으로 이해하는데 큰 도움이 될 것입니다.
자연 현상의 기본법칙 중에서도 기본은 뉴톤의 운동법칙과 에너지보존법칙입니다.
그 이외의 법칙 또는 관계식을 구성방정식과 기타로 구분해 보았습니다.
여기에는 대학의 학부과정의 고체역학, 유체역학, 열전달 등에서 배운 대부분의 식들이 고등역학의 표현법으로 정리되어 있습니다.
먼저 뉴톤의 운동법칙, 즉 Newton's law of motion(뉴톤스 로우 모션)을 정리해 보도록 하겠습니다.
뉴톤의 운동법칙은 질점, 즉 particle에 관한 역학입니다만, 이를 계 전체에 적용하면은, 소위말하는 평형조건식, 즉 requirements on equilibrium(리콰이어먼츠 온 이퀼리브리엄)을 얻게 됩니다.
흔히들 이를 뉴톤의 운동법칙으로 이해하고 있습니다만, 특히 가속도 및 각가속도가 영인 경우, 즉 sigmaF =0(시그마 에프 이꼴은 영), sigmaM=0(시그마 엠 이꼴은 영)을 평형조건식이라고 함이 옳습니다.
이 평형조건식만으로 해결할 수 있는 역학 문제는 매우 제한적입니다.
정역학에서 배운 소위말하는 정정계 문제가 여기에 속합니다.
뉴톤의 운동법칙과 평형조건식은 서로 동일한 의미를 갖지 못합니다.
그러나 평형조건식이 임의의 부분계, 즉 임의의 subsystem(써브시스템)에 대해서 항상 성립한다는 전제조건이 붙는다면은, 동일한 의미로 해석 가능합니다.
가속도의 영향이 무시 가능한 문제의 임의의 미소체적에서 평형조건식이 성립하도록 하면 평형방정식이 되고(물론 평형방정식은 편미분방정식이죠), 가속도의 영향을 고려할 경우 우리는 운동방정식을 얻게 됩니다.
유체역학에서 배운 Navier-Stokes(나비에 스트로크) 방정식은 운동방정식으로부터 시작하여 유도됩니다.
에너지보존법칙을 고체의 미소체적에 적용하면 열전도방정식이 유도되고 유체에 적용하면 에너지보존방정식이 유도됩니다.
이 두 지배방정식의 차이는 대류항, 즉 convective term(컨벡티브 텀)이 있고 없고에 달려 있습니다.
참고로 이 항을 확산항(diffusion term-디퓨젼 텀)이라고 합니다. 대개 대류항의 영향이 커지면 수치적으로 어려운 문제가 됩니다.
그렇기 때문에 고체역학 문제의 전산해석이 유체역학에 비하여 다소 쉽고 결과의 신뢰성도 높습니다.
앞에서 설명한 두 개의 기본법칙은 모두 미분방정식으로 수식화됩니다. 미분방정식은 반드시 알려진 경계조건을 동반합니다.
그렇기 때문에 이러한 역학 문제를 경계치 문제(Boundary Value Problem-바운더리 밸류 프러블럼)라고 합니다.
고체역학 문제의 경계조건을 보면, 하중 또는 표면력이 주어진 경계조건도 있습니다만 반드시 변위가 주어진 경계조건이 있어야 합니다.
열전달 문제의 경우, 온도가 주어진 경계조건과 열유동이 주어진 경계조건이 동시에 존재합니다.
응력과 변위, 온도와 열유동 간에는 소재에 따라 다르기는 합니다만 일정한 관계가 있습니다.
이러한 관계를 지어주는 식을 구성방정식, 즉 constitutive law(컨스티튜티비 로우)라고 합니다.
후크법칙은 힘과 변위의 선형적 관계를 지어주는 법칙으로 소재가 등방성일 경우, 즉 방향성이 없는 경우 응력과 변형률의 관계식은 이 식으로 표현됩니다.
소재가 소성변형을 받고 있으며, von Mises(본 미세스) 항복이론을 따를 경우 편차응력텐서와 변형률속도텐서의 관계는 이 식으로 표현됩니다.
그리고 열유동이 온도의 구배에 비례할 경우, Fourier(퓨리에)의 열전도법칙에 의해 이 식이 성립하게 됩니다.
지금까지 몇 개의 구성방정식을 소개했습니다만, 문제에 따라 여러 형태의 구성방정식이 존재할 수 있습니다.
기타 법칙 및 관계식에 관하여 간략하게 소개하겠습니다. 먼저 질량보존법칙은 연속방정식으로 수식화되며, 비압축성일 경우 이 식으로, 압축성 물질일 경우 이 식으로 수식화됩니다.
그 다음으로, 변위-변형률 관계식과 속도-변형률속도 관계식은 각각 이 식과 이 식으로 표현되며, 기하학적으로 구해지는 식입니다.
경계조건은 필수경계조건과 자연경계조건으로 구분해서 설명됩니다.
자연경계조건에서 이 식은 Cauchy(코지)의 공식이라고 하고 응력벡터와 응력의 관계를 지어주는 식입니다. 17

18. Principal strainrate and effective strainrate
Eigenvalue problem
Strainrate invariants
Characteristic eq’n
Incompressibility
Deviatoric strainrate
Effective strainrate
Eigen vector
먼저 나무를 보기에 앞서 숲을 훓어 보는 차원에서 앞으로 전개될 내용을 총정리해 볼 필요가 있습니다.
수식의 구체적 의미는 고등역학에 관한 이해를 필요로 하므로 현 시점에서 여기서 설명하는 내용의 행간을 상세히 이해할 필요는 없습니다만, 전반적인 흐름의 이해는 역학 이론을 체계적으로 이해하는데 큰 도움이 될 것입니다.
자연 현상의 기본법칙 중에서도 기본은 뉴톤의 운동법칙과 에너지보존법칙입니다.
그 이외의 법칙 또는 관계식을 구성방정식과 기타로 구분해 보았습니다.
여기에는 대학의 학부과정의 고체역학, 유체역학, 열전달 등에서 배운 대부분의 식들이 고등역학의 표현법으로 정리되어 있습니다.
먼저 뉴톤의 운동법칙, 즉 Newton's law of motion(뉴톤스 로우 모션)을 정리해 보도록 하겠습니다.
뉴톤의 운동법칙은 질점, 즉 particle에 관한 역학입니다만, 이를 계 전체에 적용하면은, 소위말하는 평형조건식, 즉 requirements on equilibrium(리콰이어먼츠 온 이퀼리브리엄)을 얻게 됩니다.
흔히들 이를 뉴톤의 운동법칙으로 이해하고 있습니다만, 특히 가속도 및 각가속도가 영인 경우, 즉 sigmaF =0(시그마 에프 이꼴은 영), sigmaM=0(시그마 엠 이꼴은 영)을 평형조건식이라고 함이 옳습니다.
이 평형조건식만으로 해결할 수 있는 역학 문제는 매우 제한적입니다.
정역학에서 배운 소위말하는 정정계 문제가 여기에 속합니다.
뉴톤의 운동법칙과 평형조건식은 서로 동일한 의미를 갖지 못합니다.
그러나 평형조건식이 임의의 부분계, 즉 임의의 subsystem(써브시스템)에 대해서 항상 성립한다는 전제조건이 붙는다면은, 동일한 의미로 해석 가능합니다.
가속도의 영향이 무시 가능한 문제의 임의의 미소체적에서 평형조건식이 성립하도록 하면 평형방정식이 되고(물론 평형방정식은 편미분방정식이죠), 가속도의 영향을 고려할 경우 우리는 운동방정식을 얻게 됩니다.
유체역학에서 배운 Navier-Stokes(나비에 스트로크) 방정식은 운동방정식으로부터 시작하여 유도됩니다.
에너지보존법칙을 고체의 미소체적에 적용하면 열전도방정식이 유도되고 유체에 적용하면 에너지보존방정식이 유도됩니다.
이 두 지배방정식의 차이는 대류항, 즉 convective term(컨벡티브 텀)이 있고 없고에 달려 있습니다.
참고로 이 항을 확산항(diffusion term-디퓨젼 텀)이라고 합니다. 대개 대류항의 영향이 커지면 수치적으로 어려운 문제가 됩니다.
그렇기 때문에 고체역학 문제의 전산해석이 유체역학에 비하여 다소 쉽고 결과의 신뢰성도 높습니다.
앞에서 설명한 두 개의 기본법칙은 모두 미분방정식으로 수식화됩니다. 미분방정식은 반드시 알려진 경계조건을 동반합니다.
그렇기 때문에 이러한 역학 문제를 경계치 문제(Boundary Value Problem-바운더리 밸류 프러블럼)라고 합니다.
고체역학 문제의 경계조건을 보면, 하중 또는 표면력이 주어진 경계조건도 있습니다만 반드시 변위가 주어진 경계조건이 있어야 합니다.
열전달 문제의 경우, 온도가 주어진 경계조건과 열유동이 주어진 경계조건이 동시에 존재합니다.
응력과 변위, 온도와 열유동 간에는 소재에 따라 다르기는 합니다만 일정한 관계가 있습니다.
이러한 관계를 지어주는 식을 구성방정식, 즉 constitutive law(컨스티튜티비 로우)라고 합니다.
후크법칙은 힘과 변위의 선형적 관계를 지어주는 법칙으로 소재가 등방성일 경우, 즉 방향성이 없는 경우 응력과 변형률의 관계식은 이 식으로 표현됩니다.
소재가 소성변형을 받고 있으며, von Mises(본 미세스) 항복이론을 따를 경우 편차응력텐서와 변형률속도텐서의 관계는 이 식으로 표현됩니다.
그리고 열유동이 온도의 구배에 비례할 경우, Fourier(퓨리에)의 열전도법칙에 의해 이 식이 성립하게 됩니다.
지금까지 몇 개의 구성방정식을 소개했습니다만, 문제에 따라 여러 형태의 구성방정식이 존재할 수 있습니다.
기타 법칙 및 관계식에 관하여 간략하게 소개하겠습니다. 먼저 질량보존법칙은 연속방정식으로 수식화되며, 비압축성일 경우 이 식으로, 압축성 물질일 경우 이 식으로 수식화됩니다.
그 다음으로, 변위-변형률 관계식과 속도-변형률속도 관계식은 각각 이 식과 이 식으로 표현되며, 기하학적으로 구해지는 식입니다.
경계조건은 필수경계조건과 자연경계조건으로 구분해서 설명됩니다.
자연경계조건에서 이 식은 Cauchy(코지)의 공식이라고 하고 응력벡터와 응력의 관계를 지어주는 식입니다.
Effective strain ( ) and effective strainrate ( ) 18

19. Yield criterion for isotropic hardening material
Huber-von Mises yield criterion
Tresca yield criterion
Yield function of plane stress problem
von Mises yield function in 3D problem
Tensile test
먼저 나무를 보기에 앞서 숲을 훓어 보는 차원에서 앞으로 전개될 내용을 총정리해 볼 필요가 있습니다.
수식의 구체적 의미는 고등역학에 관한 이해를 필요로 하므로 현 시점에서 여기서 설명하는 내용의 행간을 상세히 이해할 필요는 없습니다만, 전반적인 흐름의 이해는 역학 이론을 체계적으로 이해하는데 큰 도움이 될 것입니다.
자연 현상의 기본법칙 중에서도 기본은 뉴톤의 운동법칙과 에너지보존법칙입니다.
그 이외의 법칙 또는 관계식을 구성방정식과 기타로 구분해 보았습니다.
여기에는 대학의 학부과정의 고체역학, 유체역학, 열전달 등에서 배운 대부분의 식들이 고등역학의 표현법으로 정리되어 있습니다.
먼저 뉴톤의 운동법칙, 즉 Newton's law of motion(뉴톤스 로우 모션)을 정리해 보도록 하겠습니다.
뉴톤의 운동법칙은 질점, 즉 particle에 관한 역학입니다만, 이를 계 전체에 적용하면은, 소위말하는 평형조건식, 즉 requirements on equilibrium(리콰이어먼츠 온 이퀼리브리엄)을 얻게 됩니다.
흔히들 이를 뉴톤의 운동법칙으로 이해하고 있습니다만, 특히 가속도 및 각가속도가 영인 경우, 즉 sigmaF =0(시그마 에프 이꼴은 영), sigmaM=0(시그마 엠 이꼴은 영)을 평형조건식이라고 함이 옳습니다.
이 평형조건식만으로 해결할 수 있는 역학 문제는 매우 제한적입니다.
정역학에서 배운 소위말하는 정정계 문제가 여기에 속합니다.
뉴톤의 운동법칙과 평형조건식은 서로 동일한 의미를 갖지 못합니다.
그러나 평형조건식이 임의의 부분계, 즉 임의의 subsystem(써브시스템)에 대해서 항상 성립한다는 전제조건이 붙는다면은, 동일한 의미로 해석 가능합니다.
가속도의 영향이 무시 가능한 문제의 임의의 미소체적에서 평형조건식이 성립하도록 하면 평형방정식이 되고(물론 평형방정식은 편미분방정식이죠), 가속도의 영향을 고려할 경우 우리는 운동방정식을 얻게 됩니다.
유체역학에서 배운 Navier-Stokes(나비에 스트로크) 방정식은 운동방정식으로부터 시작하여 유도됩니다.
에너지보존법칙을 고체의 미소체적에 적용하면 열전도방정식이 유도되고 유체에 적용하면 에너지보존방정식이 유도됩니다.
이 두 지배방정식의 차이는 대류항, 즉 convective term(컨벡티브 텀)이 있고 없고에 달려 있습니다.
참고로 이 항을 확산항(diffusion term-디퓨젼 텀)이라고 합니다. 대개 대류항의 영향이 커지면 수치적으로 어려운 문제가 됩니다.
그렇기 때문에 고체역학 문제의 전산해석이 유체역학에 비하여 다소 쉽고 결과의 신뢰성도 높습니다.
앞에서 설명한 두 개의 기본법칙은 모두 미분방정식으로 수식화됩니다. 미분방정식은 반드시 알려진 경계조건을 동반합니다.
그렇기 때문에 이러한 역학 문제를 경계치 문제(Boundary Value Problem-바운더리 밸류 프러블럼)라고 합니다.
고체역학 문제의 경계조건을 보면, 하중 또는 표면력이 주어진 경계조건도 있습니다만 반드시 변위가 주어진 경계조건이 있어야 합니다.
열전달 문제의 경우, 온도가 주어진 경계조건과 열유동이 주어진 경계조건이 동시에 존재합니다.
응력과 변위, 온도와 열유동 간에는 소재에 따라 다르기는 합니다만 일정한 관계가 있습니다.
이러한 관계를 지어주는 식을 구성방정식, 즉 constitutive law(컨스티튜티비 로우)라고 합니다.
후크법칙은 힘과 변위의 선형적 관계를 지어주는 법칙으로 소재가 등방성일 경우, 즉 방향성이 없는 경우 응력과 변형률의 관계식은 이 식으로 표현됩니다.
소재가 소성변형을 받고 있으며, von Mises(본 미세스) 항복이론을 따를 경우 편차응력텐서와 변형률속도텐서의 관계는 이 식으로 표현됩니다.
그리고 열유동이 온도의 구배에 비례할 경우, Fourier(퓨리에)의 열전도법칙에 의해 이 식이 성립하게 됩니다.
지금까지 몇 개의 구성방정식을 소개했습니다만, 문제에 따라 여러 형태의 구성방정식이 존재할 수 있습니다.
기타 법칙 및 관계식에 관하여 간략하게 소개하겠습니다. 먼저 질량보존법칙은 연속방정식으로 수식화되며, 비압축성일 경우 이 식으로, 압축성 물질일 경우 이 식으로 수식화됩니다.
그 다음으로, 변위-변형률 관계식과 속도-변형률속도 관계식은 각각 이 식과 이 식으로 표현되며, 기하학적으로 구해지는 식입니다.
경계조건은 필수경계조건과 자연경계조건으로 구분해서 설명됩니다.
자연경계조건에서 이 식은 Cauchy(코지)의 공식이라고 하고 응력벡터와 응력의 관계를 지어주는 식입니다.
Torsion test
<Yield locus>
<Yield surface> 19

20. von Mises ⅰ) ⅱ) Tresca ⅲ) ~~ omitted. Direction of increase
von Mises ⅰ) ⅱ)
Tresca
ⅲ) ~~ omitted.
Direction of increase
in principal stresses
during torsional test
Stress at the initial yielding point
in tensile test

21. Strain hardening ⊙ Causes of strain hardening
Plastic deformation accompanies dislocation.
Dislocation is a kind of defects occurring due to slip or twist of atomic structures.
Existing dislocations play a role of prevention of generation new dislocations which is called strain hardening
Kinematic hardening
⊙ Yield locus in the case of plane stress ;
A: Elastic
B: Tresca impossible
Mises elastic
C: Mises plastic
D: Both impossible
E: Tresca plastic
Isotropic hardening
①: Tensile test, uniaxial loading
②: Tortional test, torsion

22. Generalized Hooke's law for an isotropic material
Small deformation
Principle of superposition
Coefficient of thermal expansion
Poisson’s ratio
Hooke’s law for an isotropic material

23. Plastic deformation owing to stress

24. Associated flow rule
Normality due to Drucker’s postulate: Strainrate tensor is normal to yield surface for incompressible materials
For von Mises yield criterion
변형률속도 성분은 하중을 제거하였을 때 원상복귀 되지 않은 항, 즉 소성변형률속도 성분 epsilon dot ij P(잎실론 닷뜨 아이제이 피)와 이를 뺀 나머지의 항, 즉 차이변형률속도 성분 epsilon dot ij D(잎실론 닷뜨 아이제이 디)로 구성되어 있습니다.
만약 epsilon dot ij D를 모두 탄성변형률속도 성분 epsilon dot ij E로 간주할 경우, 탄소성 문제가 되고, epsilon dot ij D를 무시할 경우 강소성 문제가 됩니다.
여기서부터는 강소성 이론에 바탕을 두고 설명하고자 합니다. 즉, epsilon dot ij 가 곧 epsilon dot ij P를 의미합니다.
Drucker(드러커)의 가설에 의하여, 비압축성 재료의 항복 시 변형률속도 텐서는 항복곡면에 직교해야 합니다.
이 조건을 수식화하면 이렇게 됩니다. 즉, 변형률속도는 함수 f 의 구배에 비례해야 합니다.
이로부터 이 식이 유도되고, 유효변형률속도 및 유효응력의 정의에 의하여 lamdha dot(람다 닷뜨) 는 이렇게 됩니다.
최종적으로 이와 같은 소성유동법칙이 유도됩니다.
이 식에서 sigma bar(시그마 바)는 변형저항식이라고 불리며 사용자가 소재의 물성치로 입력해야 합니다.
sigma bar를 일정한 값으로 가정하면, 완전소성재료라고 하고, 변형률의 함수라고 가정하면, 강소성 재료가 됩니다.
변형률과 변형률속도가 동시에 고려될 경우에는 강점소성재료가 되고, 온도까지 고려하면 강열점소성 재료가 됩니다.
강열점소성 재료에 관한 유한요소법을 강열점소성유한요소법, 즉 rigid thermoviscoplastic finite element method(리지드 써모비스코플라스틱 파이나이트 엘리멘트 메써드)라고 합니다.
냉간소재의 경우 주로 강소성 재료로 가정하여 문제를 해결하고 있으며, 대개 이러한 식으로 모델링하여 계수를 소재의 물성치로 입력하여 사용하고 있습니다.
열간의 경우는 이러한 수식모델을 주로 사용하고 있습니다.
여기서 n, m, C(엔 엠 씨)등은 온도, 변형률 등의 함수로 간주합니다만, 대개 온도의 영향을 무시하는 경우가 많습니다.
온도 관련 정보가 정확하지 않는 문제도 있고 또 온도의 영향을 고려하지 않아도 공학적으로 유용한 정보를 얻을 수 있기 때문입니다.
Flow stress given by user
Zero in the elastic region
<Normality> 24

25. Laws of friction and incompressibility
Special boundary conditions: Friction
Law of mass conservation
변형률속도 성분은 하중을 제거하였을 때 원상복귀 되지 않은 항, 즉 소성변형률속도 성분 epsilon dot ij P(잎실론 닷뜨 아이제이 피)와 이를 뺀 나머지의 항, 즉 차이변형률속도 성분 epsilon dot ij D(잎실론 닷뜨 아이제이 디)로 구성되어 있습니다.
만약 epsilon dot ij D를 모두 탄성변형률속도 성분 epsilon dot ij E로 간주할 경우, 탄소성 문제가 되고, epsilon dot ij D를 무시할 경우 강소성 문제가 됩니다.
여기서부터는 강소성 이론에 바탕을 두고 설명하고자 합니다. 즉, epsilon dot ij 가 곧 epsilon dot ij P를 의미합니다.
Drucker(드러커)의 가설에 의하여, 비압축성 재료의 항복 시 변형률속도 텐서는 항복곡면에 직교해야 합니다.
이 조건을 수식화하면 이렇게 됩니다. 즉, 변형률속도는 함수 f 의 구배에 비례해야 합니다.
이로부터 이 식이 유도되고, 유효변형률속도 및 유효응력의 정의에 의하여 lamdha dot(람다 닷뜨) 는 이렇게 됩니다.
최종적으로 이와 같은 소성유동법칙이 유도됩니다.
이 식에서 sigma bar(시그마 바)는 변형저항식이라고 불리며 사용자가 소재의 물성치로 입력해야 합니다.
sigma bar를 일정한 값으로 가정하면, 완전소성재료라고 하고, 변형률의 함수라고 가정하면, 강소성 재료가 됩니다.
변형률과 변형률속도가 동시에 고려될 경우에는 강점소성재료가 되고, 온도까지 고려하면 강열점소성 재료가 됩니다.
강열점소성 재료에 관한 유한요소법을 강열점소성유한요소법, 즉 rigid thermoviscoplastic finite element method(리지드 써모비스코플라스틱 파이나이트 엘리멘트 메써드)라고 합니다.
냉간소재의 경우 주로 강소성 재료로 가정하여 문제를 해결하고 있으며, 대개 이러한 식으로 모델링하여 계수를 소재의 물성치로 입력하여 사용하고 있습니다.
열간의 경우는 이러한 수식모델을 주로 사용하고 있습니다.
여기서 n, m, C(엔 엠 씨)등은 온도, 변형률 등의 함수로 간주합니다만, 대개 온도의 영향을 무시하는 경우가 많습니다.
온도 관련 정보가 정확하지 않는 문제도 있고 또 온도의 영향을 고려하지 않아도 공학적으로 유용한 정보를 얻을 수 있기 때문입니다. 25

26. Theory and law of heat conduction
Fourier’s law of heat conduction
Law of energy conservation
Heat flux
Coefficient of heat conduction
• One-dimensional
• 2 or 3 dimensional
Thermal capacity
Law of heat convection
Law of heat conduction
Heat transfer coefficient
열방사법칙
Law of radiation
Boundary conditions
Stefan-Boltzmann constant

27. Deformation and heat transfer problems
Elasticity
Rigid-plasticity
Heat transfer
변형률속도 성분은 하중을 제거하였을 때 원상복귀 되지 않은 항, 즉 소성변형률속도 성분 epsilon dot ij P(잎실론 닷뜨 아이제이 피)와 이를 뺀 나머지의 항, 즉 차이변형률속도 성분 epsilon dot ij D(잎실론 닷뜨 아이제이 디)로 구성되어 있습니다.
만약 epsilon dot ij D를 모두 탄성변형률속도 성분 epsilon dot ij E로 간주할 경우, 탄소성 문제가 되고, epsilon dot ij D를 무시할 경우 강소성 문제가 됩니다.
여기서부터는 강소성 이론에 바탕을 두고 설명하고자 합니다. 즉, epsilon dot ij 가 곧 epsilon dot ij P를 의미합니다.
Drucker(드러커)의 가설에 의하여, 비압축성 재료의 항복 시 변형률속도 텐서는 항복곡면에 직교해야 합니다.
이 조건을 수식화하면 이렇게 됩니다. 즉, 변형률속도는 함수 f 의 구배에 비례해야 합니다.
이로부터 이 식이 유도되고, 유효변형률속도 및 유효응력의 정의에 의하여 lamdha dot(람다 닷뜨) 는 이렇게 됩니다.
최종적으로 이와 같은 소성유동법칙이 유도됩니다.
이 식에서 sigma bar(시그마 바)는 변형저항식이라고 불리며 사용자가 소재의 물성치로 입력해야 합니다.
sigma bar를 일정한 값으로 가정하면, 완전소성재료라고 하고, 변형률의 함수라고 가정하면, 강소성 재료가 됩니다.
변형률과 변형률속도가 동시에 고려될 경우에는 강점소성재료가 되고, 온도까지 고려하면 강열점소성 재료가 됩니다.
강열점소성 재료에 관한 유한요소법을 강열점소성유한요소법, 즉 rigid thermoviscoplastic finite element method(리지드 써모비스코플라스틱 파이나이트 엘리멘트 메써드)라고 합니다.
냉간소재의 경우 주로 강소성 재료로 가정하여 문제를 해결하고 있으며, 대개 이러한 식으로 모델링하여 계수를 소재의 물성치로 입력하여 사용하고 있습니다.
열간의 경우는 이러한 수식모델을 주로 사용하고 있습니다.
여기서 n, m, C(엔 엠 씨)등은 온도, 변형률 등의 함수로 간주합니다만, 대개 온도의 영향을 무시하는 경우가 많습니다.
온도 관련 정보가 정확하지 않는 문제도 있고 또 온도의 영향을 고려하지 않아도 공학적으로 유용한 정보를 얻을 수 있기 때문입니다.
Input: Young's modulus, Poisson's ratio, Flow stress, Frictional condition, Die velocity, Thermal conditions 27

29. 3.2 Introduction to FEM

30. Ritz method to differential equation
⊙ Boundary value problem
⊙ Problem definition
Prob. 1
○ Exact :
⊙ Variational principle
Prob. 2

31. Ritz method to differential equation
⊙ Approximation ○
Trial function
○ Transformation: Function space ⇒ Finite dimensional vector space ○
○ Necessary condition for to be extreme :
○ Linear equation:
Exact
solution
○ Approximate solution:

32. Weighted residual approach to differential equation
Prob. 1
Prob. 2
Set of functions
Weak form

33. Approximate weighting function
Galerkin approach
Basic function
Trial function
Approximate weighting function
W1 are W2 are arbitrary
⊙ Linear equations
⊙ Approx. solution :
Set of approximate
weighting functions

34. Accuracy of the approximate solution
⊙ Comparison between approximate and exact solutions
○ ⇒ Error 2.2%
○ ⇒ Error 20%
⊙ Requirements on basic function
○ Linearly independent
○ or
⊙ Characteristics of solution convergence
○ Accuracy Accuracy ○
Exact
Approximate
<Comparison of approximate and exact solutions>

35. Basic idea of Finite Element Method (FEM)
⊙ Trial function :
⊙ Approximate solution :
Superconvergence
<Basic function = Interpolation function>
Eaxct
FE solution
<Comparison of FE solution with exact solution>

36. FE solutions with different FEA models
⊙ FEM = Ritz or Galerkin methods + FE discretization and interpolation (approximation)
⊙ FE discretization and interpolation function:
Technique of making basic functions 1 ① 2 ② 3 ③ 4
Node
Element
⊙ Finite element solutions
Exact
FE solutions

37. 3.3 Elastoplastic FEM

38. One-dimensional elastoplastic constitutive model
Strain decomposition into sum of an elastic component and a plastic component. (Hypothesis)
2. Elastic Uniaxial constitutive Law
3. The yield function and the yield criterion
-yield function
-yield criterion (for plastic yielding)
Idealization of uniaxial tension experiment. Mathematical model

39. One-dimensional elastoplastic constitutive model
4. Plastic flow rule
Complementary condition
The above equation imply that
Uniaxial model. Elastic domain
5. Hardening Law
In a monotonic tensile test
In a monotonic compression test
In view of the plastic flow rule
One dimensional model. Hardening curve

40. One-dimensional model - Summary
Elastoplastic split of the axial strain
2. Uniaxial Elastic Law
3. The yield function
4. Plastic flow rule
5. Hardening Law
6. Loading/unloading criterion

41. Plastic multiplier / elastoplastic tangent modulus
Determination of the plastic multiplier
During the plastic flow, the value of yield function remains constant
Consistent condition: During the plastic flow, current stress always coincides with the current yield stress
By taking the time derivative of the yield function
Hardening modulus:
From elastic law
From hardening law
Elastoplastic tangent modulus
In FEM, we need a elastoplastic tangent modulus, a relationship between stress and total strain rate:
From the above equations, we have

42. Generalization of elastoplastic constitutive model
Additive decomposition of the strain tensor
2. Genaral Elastic Law
3. The yield function
A set of internal variables associated with hardening
4. Plastic flow rule
5. Hardening Law
6. Loading/unloading criterion

43. Stress integration procedure in elastoplastic FEM
Stress integration in case of plastic flow during
Additive decomposition of the strain tensor
Elastic Law
Flow rule
Consistent condition
Yield function
Hardening law

44. Elastic predictor/plastic corrector algorithm
Loading/unloading criterion