1. Gli insiemi N e Z I numeri naturali sono quelli che formano l’elenco illimitato e a tutti noto I numeri naturali 1 0 1 2 3 4 5 6 7….. L’insieme N si può rappresentare su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale sia fissato un verso di percorrenza. 012345678 9 Scelto un segmento u di lunghezza arbitraria, a partire dall’origine O, a cui si fa corrispondere il numero 0, si riporta u consecutivamente a se stesso e ad ogni estremo si associa un numero naturale progressivo. u Definizione e caratteristiche

2. Gli insiemi N e Z 2 Dalla rappresentazione grafica possiamo dedurre l’ordinamento di N:  Diciamo che a è minore di b, e scriviamo a < b, se il punto corrispondente ad a viene prima del punto corrispondente a b sulla semiretta.  Diciamo che a è maggiore di b, e scriviamo a > b, se il punto corrispondente ad a segue il punto corrispondente a b sulla semiretta. 012345678 9 u I numeri naturali Ordinamento

3. Gli insiemi N e Z 3 Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a + b è il numero naturale che si ottiene contando b unità verso destra a partire da a: 012345678 9 3 + 6 = 9 123456 L’operazione introdotta si chiama ADDIZIONE. a + b = c addendisomma  L’addizione è un’operazione interna ad N perché la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale.  L’addizione è commutativa, cioè a + b = b + a  L’addizione è associativa, cioè (a + b) + c = a + (b + c) I numeri naturali Operazioni

4. Gli insiemi N e Z 4 Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a − b, se esiste, è il numero che addizionato a b dà a: 012345678 9 9 − 4 = 5 1 2 3 4 L’operazione introdotta si chiama SOTTRAZIONE. a − b = c minuendodifferenza  Il numero c può non esistere (la sottrazione non è un’operazione interna a N) sottraendo 012345678 9 5 − 7 = ? 1 2 3 4 5 I numeri naturali Operazioni La sottrazione è possibile solo se a ≥ b

5. Gli insiemi N e Z 5  La sottrazione non è né commutativa né associativa  La sottrazione gode della proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri a e b non cambia se ad entrambi si aggiunge o si toglie uno stesso numero: a – b = (a + k) – (b + k) = (a − k) – (b − k) con a ≥ k e b ≥ k I numeri naturali Operazioni

6. Gli insiemi N e Z 6 Una moltiplicazione tra numeri naturali è un modo abbreviato di scrivere una somma di addendi tutti uguali tra loro: 012345678 9 2  4 = 8 L’operazione di moltiplicazione ci porta alla definizione di multiplo: a  b = c prodottofattori a  b sgnifica a + a + … + a b volte 1 volta2 volte3 volte4 volte Si dice che un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b secondo n se a = b  n. Per esempio: poiché 5  4 = 2020 è multiplo di 5 secondo 4 ma anche20 è multiplo di 4 secondo 5 I numeri naturali Operazioni

7. Gli insiemi N e Z ESEMPI 7  è commutativa, cioè a  b = b  a  è associativa, cioè (a  b)  c = a  (b  c) La moltiplicazione gode delle stesse proprietà dell’addizione:  proprietà distributiva rispetto all’addizione e, quando è possibile, alla sottrazione: Vale inoltre la seguente proprietà: ( a ± b)  c = (a  c) ± (b  c) e c  (a ± b) = c  a ± c  b (2 + 5)  4 = (2  4) + (5  4) = 8 + 20 = 28 6  (8 – 5) = 6  8 – 6  5 = 48 – 30 = 18 I numeri naturali Operazioni

8. Gli insiemi N e Z 8 Dati due numeri naturali a e b, con b ≠ 0, il numero c = a : b, se esiste, è il numero che, moltiplicato per b, è uguale ad a: L’operazione definita si chiama DIVISIONE. a : b = c dividendo quoziente a : b = c se e solo se c  b = a 15 : 4 = ? Perché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 4, dà come prodotto 15. divisore Il numero c può non esistere, per esempio: L’esistenza di c è garantita solo se a è multiplo di b, da cui deriva che la divisione non è un’operazione interna a N. I numeri naturali Operazioni

9. Gli insiemi N e Z 9  proprietà invariantiva: il quoziente tra due numeri a e b non cambia se entrambi vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero non nullo. La divisione non è né commutativa, né associativa.  proprietà distributiva (solo a sinistra) della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione (se queste operazioni sono possibili in N): a : b = (a  k) : (b  k)Per esempio:12 : 4 = (12  5) : (4  5) = 60 : 20 = 3 La divisione gode delle seguenti proprietà: a : b = (a : h) : (b : h)Per esempio:180 : 45 = (180 : 9) : (45 : 9) = 20 : 5 = 4 ( a ± b) : c = (a : c) ± (b : c)Per esempio:(15 + 20) : 5 = (15 : 5) + (20 : 5) = 3 + 4 = 7 (27 – 12) : 3 = (27 : 3) – (12 : 3) = 9 – 4 = 5 La divisione non è però distributiva a destra, per esempio: 60 : (12 + 3) 60 : 15 = 4 non è uguale a (60 : 12) + (60 : 3) 5 + 20 = 25 I numeri naturali Operazioni

10. Gli insiemi N e Z ESEMPI 10 Il numero q si dice quoziente intero di a : b, il numero r è il resto di tale divisione. Qualunque siano i numeri naturali a e b, con b ≠ 0, si può dimostrare che esistono e sono unici due numeri naturali q e r tali che: a = b  q + r con 0 ≤ r < b nella divisione 25 : 4, si ha che q = 6 e r = 1 perché 25 = 4  6 + 1 nella divisione 314 : 23, si ha che q = 13 e r = 15 perché 314 = 23  13 + 15 I numeri naturali Operazioni

11. Gli insiemi N e Z 11 Il numero 0 è l’elemento neutro dell’addizione, Da quest’ultima proprietà segue la legge di annullamento del prodotto: a + 0 = 0 + a = a infatti: Inoltre: a  0 = 0  a = 0 Il prodotto di due numeri è zero se almeno uno di essi è uguale a zero. Il numero 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, infatti: a  1 = 1  a = a I numeri naturali Operazioni

12. Gli insiemi N e Z 12 Insieme N dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4…} Insieme N o : N o = {1, 2, 3, 4…} ADDIZIONE a + b (interna) commutativa a + b = b + a associativa (a + b) + c = a + (b + c) elemento neutro a + 0 = 0 + a = a OperazioniProprietà SOTTRAZIONE a – b (con a ≥ b) invariantiva a – b = (a + c) – (b + c) a – b = (a − c) – (b − c) con a ≥ c e b ≥ c I numeri naturali Operazioni TAVOLA RIASSUNTIVA

13. Gli insiemi N e Z 13 OperazioniProprietà DIVISIONE ESATTA a : b (con b ≠ 0 e a multiplo di b) invariantiva a : b = (a  c) : (b  c) a : b = (a : c) : (b : c) distributiva (a + b) : c = a : c + b : c (a − b) : c = a : c − b : c MOLTIPLICAZIONE a  b (interna) commutativa a  b = b  a associativa (a  b)  c = a  (b  c) distributiva a  (b +c) = a  b + a  c elemento neutro a  1 = 1  a = a elemento assorbente a  0 = 0  a = 0 legge di annullamento del prodotto se a  b = 0 a = 0 o b = 0 o a = b = 0 I numeri naturali Operazioni

14. Gli insiemi N e Z 14 Il prodotto di più numeri naturali uguali fra loro si abbrevia mediante il simbolo di potenza. Se a è un numero naturale e n è un numero naturale maggiore di 1, si pone Proprietà delle potenze a n = 0 0 non ha significato. a  a  a…  a a 1 se n > 1 se n = 1 se n = 0 e a ≠ 0 n volte  a m  a n = a m + n esempio: 3 4  3 2 = 3 4 + 2 = 3 6  a m : a n = a m − n con m > nesempio: 3 4 : 3 2 = 3 4 – 2 = 3 2  (a m ) n = a m  n esempio: (3 4 ) 2 = 3 4  2 = 3 8  (a  b) n = a n  b n esempio: (2  3) 4 = 2 4  3 4  (a : b) n = a n : b n esempio: (8 : 2) 3 = 8 3 : 2 3 I numeri naturali La potenza

15. Gli insiemi N e Z 15 Un numero è divisibile per:  2 se termina per cifra pari (0 è ritenuto cifra pari)  3 o 9 se lo è la somma delle sue cifre  5 se termina per 0 o per 5  4 o 25 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre a destra, o termina con due zeri  11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (o viceversa) è divisibile per 11 o è zero. I numeri naturali Criteri di divisibilità

16. Gli insiemi N e Z 16 Ci sono infiniti numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, … ma ad oggi non si conosce una regola che li possa generare tutti. Ad esempio: 288 = 2 5  3 2 Se un numero maggiore di 1 non ha altri divisori all’infuori di se stesso e dell’unità, si dice primo. Un numero che non è primo si può scomporre in modo unico nel prodotto di fattori primi. Due numeri si dicono primi tra loro se non hanno divisori comuni all’infuori dell’unità. I numeri naturali Numeri primi e primi tra loro Ad esempio: 8 e 9 sono primi fra loro, ma non sono numeri primi.

17. Gli insiemi N e Z ESEMPIO 17 Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro massimo comun divisore il maggiore fra i divisori comuni. Per indicarlo si scrive M.C.D. (a,b) Per determinare il M.C.D. tra due o più numeri si segue la regola: Quindi M.C.D. (40, 36) = 4 I divisori di 40 sono 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 I divisori di 36 sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto dei soli fattori comuni, prendendoli una sola volta, con il minimo esponente. Seguendo l’esempio precedente: 40 = 2 3  536 = 2 2  3 2 Quindi M.C.D. (40, 36) = 2 2 = 4 I numeri naturali Il massimo comun divisore

18. Gli insiemi N e Z ESEMPIO 18 Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro minimo comune multiplo il più piccolo fra i multipli comuni. Per indicarlo si scrive m.c.m. (a, b). Per determinare il m.c.m. di due o più numeri si segue la regola: Quindi m.c.m. (15, 12) = 60 I multipli di 15 sono 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, … I multipli di 12 sono 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente. Seguendo l’esempio precedente: 15 = 3  512 = 2 2  3 Quindi m.c.m. (15, 12) = 2 2  3  5 = 60 I numeri naturali Il minimo comune multiplo

19. Gli insiemi N e Z Spesso nella vita quotidiana si utilizzano numeri preceduti da un segno – 19 Ad esempio la temperatura di – 5° gradi indica che siamo 5 gradi sotto lo zero. 43210123 4 Sulla retta orientata, partendo dall’origine, possiamo muoverci in senso opposto rispetto a quello indicato dalla freccia. Possiamo cioè costruire la rappresentazione grafica dei numeri negativi. Ai numeri così costruiti si dà il nome di numeri interi o anche numeri interi relativi. I numeri che sono preceduti dal segno + si dicono positivi e si trovano a destra dello zero, quelli preceduti dal segno – si dicono negativi e si trovano a sinistra dello zero; il numero zero non è né positivo né negativo e si scrive senza alcun segno. −4−3−2−10+1+2+3 +4 I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche

20. Gli insiemi N e Z 20 Nei numeri positivi il segno + può essere sottinteso Sottoinsiemi di Z: L’insieme dei numeri relativi si indica con Z: Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Insieme degli interi senza lo zero: Z 0 = {…, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, …} Insieme degli interi positivi: Z + = {1, 2, 3, 4, …} Insieme degli interi negativi: Z − = {…, −4, −3, −2, −1} I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche

21. Gli insiemi N e Z Alcune definizioni: 21  numeri concordi: numeri con lo stesso segno es. −7, −9 ; +3, +27  numeri discordi: numeri con segni diversi es. +2, −3 ; −2, +3  valore assoluto di un numero: numero stesso senza segno es. |−7| = 7 ; |+7| = 7  numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto e segno diverso es. +7, − 7 I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche

22. Gli insiemi N e Z L’ordinamento dei numeri relativi corrisponde a quello dei punti associati sulla retta orientata dei numeri. 22 −4−3−2−10123 4  tra due numeri discordi, un numero positivo è maggiore di un numero negativo es. +7 > −8  lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo es. 0 > −3 ; 0 < +2  tra due numeri positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiore es. +7 > +5 perché |+7| >|+5|  tra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto minore es. −2 > −8 perché |−2| = 2 |−8| = 8 e 2 < 8 I numeri interi relativi Ordinamento Quindi:

23. Gli insiemi N e Z ESEMPI La somma di due numeri concordi si ottiene addizionando i valori assoluti dei due numeri attribuendo al risultato lo stesso segno degli addendi. 23 (+5) + (+7) = + (5 + 7) = +12 (−4) + (−3) = − (4 + 3) = −7 La somma di due numeri discordi si ottiene facendo la differenza fra i valori assoluti dei numeri (il maggiore meno il minore) e attribuendo al risultato il segno del numero che ha valore assoluto maggiore. (+12) + (−8) = + (12 − 8) = +4 (−26) + (+15) = − (26 − 15) = −11 ESEMPI I numeri interi relativi Addizione

24. Gli insiemi N e Z ESEMPIO La differenza a – b di due numeri interi è il numero c che, addizionato a b, restituisce a; si calcola facendo la somma del primo con l’opposto del secondo. 24 (+5) − (+7) = (+5) + (−7) = −2 La sottrazione può sempre essere eseguita in Z e rappresenta l’operazione inversa dell’addizione. Quindi l’espressione: (+2) − (+3) = (+2) + (−3) si trasforma in +2 – 3 omettendo il segno di addizione e le parentesi Poiché una sottrazione può sempre essere trasformata in un’addizione, si parla in generale di somma algebrica. I numeri interi relativi Differenza e somma algebrica

25. Gli insiemi N e Z ESEMPI Il prodotto di due numeri interi non nulli si esegue moltiplicando i valori assoluti dei due numeri e attribuendo al risultato il segno indicato nella seguente tabella: 25  +− ++− −−+ (+3)  (+5) = +15 (+3)  (−5) = −15 (−3)  (−5) = +15 (−3)  (+5) = −15 I numeri interi relativi Moltiplicazione, divisione e potenza

26. Gli insiemi N e Z ESEMPI La divisione a : b tra due numeri si può eseguire solo se il valore assoluto di a è multiplo del valore assoluto di b. In questo caso il quoziente c = a : b è un numero intero che ha : 26  per modulo il quoziente dei moduli di a e b  segno negativo se a e b sono discordi  segno positivo se a e b sono concordi (−24) : (+6) = −4 (+24) : (−6) = −4(+24) : (+6) = +4(+15) : (−4) = non esiste in Z (−24) : (−6) = +4 I numeri interi relativi Moltiplicazione, divisione e potenza

27. Gli insiemi N e Z 27  se a è un numero positivo, il valore della potenza è ancora positivo qualunque sia l’esponente: I numeri interi relativi La potenza La potenza a n con a Z e n N viene definita come nell’insieme dei numeri naturali. (+3) 4 = +81(+2) 5 = +32  se a è un numero negativo, il segno della potenza dipende dall’esponente n: Infatti il prodotto di numeri positivi è sempre positivo. se n è pari si ha un numero positivo: se n è dispari si ha un numero negativo: (−5) 2 = +25(−2) 4 = +16 (−2) 5 = −32(−3) 3 = −27 Infatti il prodotto di un numero pari di numeri negativi è sempre positivo, il prodotto di un numero dispari di numeri negativi è sempre negativo.