2. Fibonačijev niz sačinjavaju sledeći brojevi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... pri čemu su prva dva člana niza 0 i 1, a svaki sledeći predstavlja zbir prethodna dva, pa se može predstaviti i funkcijom. f 0 = 0; f 1 = 1; f n = f n-1 + f n-2 ; n ≥ 2

4. Tako đ e, postoji i druga varijanta ovog niza, gde je on predstavljen bez nule ( 1, 1, 2, 3, 5, 8,...), ali je sam niz nepromenjen, jer nula ne utiče na niz, već samo predstavlja početni član. Fibonačijev niz se osim brojevima može prikazati i putem serije pravougaonika, kao i spiralom koju možemo nacrtati koristeći te pravougaonike, i u tom obiku se najčešće pojavljuje u prirodi kao umetnosti.

6. Ovi pravougaonici se prave na sledeći način: nacrtaju se 2 mala kvadrata od kojih je svaki 1 jedinica mere puta 1 jed. mere, pa zajedno oni čine pravougaonik veličine 1X2. Ispod ovog pravougaonika se nacrta kvadrat veličine 2X2, zajedno oni ce stvoriti kvadrat veličine 2X3. Zatim se nacrta novi kvadrat veličine 3X3, cija ce jedna strana biti istovremeno i desna strana prethodnog pravougaonika. Ovim smo dobili pravougaonik veličine 3X5.Onda se nacrta novi kvadrat veličine 5X5 cija ce jedna strana biti istovremeno i gornja strana prethodnog kvadrata. Dobili smo kvadrat veličine 5X8. Da bi dobili spiralu ucrtaćemo četvrtinu kruga u svaki od kvadrata počinjuci od prvog. Spirala je slična onima kakve se mogu zapaziti na ljušturama mekušaca, uključujući puževe i školjke Nautilusa.

7. Pored osobine svakog člana (da je zbir prethodna dva), u Fibonačijevom nizu se može uočiti i ponavljanje : Ukoliko posmatramo poslednje cifre 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,... Uočava se niz koji se ponavlja u beskonačnost, a ciklus traje 60 brojeva Isto je i za poslednje dve cifre svakog broja, samo ciklus traje 300 brojeva, ako uzmemo tri poslednje cifre, trajaće 1.500 brojeva, sa četiri cifre 15.000 brojeva, a sa pet 150.000 brojeva, itd...

8. Istorija

9. Puno ime ovog italijanskog matematičara je Leonardo Pizano Fibonači poznat i kao Leonardo iz Pize. Ponekad sebe nazivao imenom Bigollo, što znaci dobar za ništa (ljenjivac) ili putnik. R o đ en u Italiji, ali se obrazovao u Severnoj Africi. Živeo je u mediteranskom gradu Bužiju, gde je podučavao matematiku. Dosta je putovao sa svojim ocem te tako prepoznao ogromne prednosti decimalnog brojnog sisetma koji se tad u svakodnevnom životu koristio u islamskim zemljama.

10. Fibonači je završio svoja putovanja oko 1200 godine i u to vreme se vratio u Pizu. Tu je napisao važne tekstove koji su igrali bitnu ulogu u oživljavanju drevnih matematičkih veština i u tome je njegov veliki doprinos. Živeo je u doba pre nego se pojavila Gutenbergova štamparska mašina, tako da su njegove knjige rukom pisane i jedini način da postoji kopija njegove knjige je da postoji već jedna knjiga prethodno rukom napisana.

11. Od njegovih mnogobrojnih knjiga do danas su sačuvane: "Liber abaci” (1202) "Practica geometriae” (1220) "Flos” (1225) "Liber quadratorum” Postoji mišljenje da se Fibonačijev rad u vreme kada je Evropa bila poprilično nezainteresovana za obrazovanje uveliko ignorisao. Ova konstatacija ipak ne stoji jer je upravo veliki interes za njegov rad jako doprineo njegovoj važnosti i popularnosti.

12. U to vreme, rimski imperator je bio Frederick II koji je postao svestan važnosti Fibonačijevog rada, te je stoga izgradio Univerzitet u Napulju 1224. godine. Posle 1228 godine postoji samo jedan poznat dokument koji se odnosi na Fibonačija a to je odlika koju je izdala Republika Piza 1240. u kojoj se plata dodjeljuje: “Ozbiljnom i učenom učitelju Leonardo Bigollo”.

13. " Liber abaci", objavljena 1202 godine, nakon Fibonačijevog povratka u Italiju, i posvećena Scotusu. Knjiga razmatra aritmetiku i algebru koje je Fibonači skupio tokom putovanja islamskim svetom. "Practica geometriae" je napisana 1220 i posvećena je Dominicusu Hispanusu. Knjiga sadrži veliku kolekciju geometrijskih problema raspore đ enih u osam poglavlja sa teoremama iz E uklidovih knjiga.

14. " Liber quadratorum", napisan 1225 godine, je Fibonačijev najimpresivniji rad iako to nije rad po kojem je poznat. Naziv knjige znači knjiga o kvadratima i razmatra oblast teorije brojeva. Knjiga "Liber quadratorum" Fibonačija postavlja kao matematičara koji je dao glavni doprinos teoriji brojeva u vremenu od Diophantusa do francuskog matematičara Pierre de Fermata u 17- tom veku.

17. Fibonačijev niz zanimljivosti

18. Zbog zanimljivih osobina Fibonačijevog niza, pominje se u mnogim filmovima i serijama, poput filmova “Pi” (1998.), “Da Vinčijev kod” (2006.), i serija “Brojevi,” “Zločinački umovi” i drugih Takođe je primenjen i u muzici, u nekim pesmama se pominju brojevi niza, u drugim predstavljaju taktove ili stihove, pa i same note, i pojavljuje se u svim žanrovima, od klasične muzike pa do repa i hip-hopa.

19. Još jednu primenu Fibonačijev niz je našao u kockanju, naročito na ruletu. To je Fibonačijev sistem, i zasniva se na verovatnoći: – Fibonačijevi brojevi ovde predstavljaju niz poteza, označavajući veličinu uloga – 1x; 1x; 2x; 3x; 5x; 8x; 13x; 21x;... Itd. – Dakle, prvi ulog je jedna jedinica uloga, kao i sledeći. Zato je treći ulog (ukoliko prvi ili drugi ne budu pobednički) 2x, ukoliko ne dođe, 3x, i tako se ulog povećava prateći niz. Svakim potezom koji nije dobitan, verovatnoća se povećava da je naredni dobitan, a Fibonačijev niz u ulogu omogućava dobitak. – Pri prvom dobitnom potezu, ulog se ne vraća na početak niza ( 1x ), već samo za dva člana unazad – ukoliko je bio 13x, sledeći iznosi 5x, i niz se nastavlja.

20. Jedan deo numerologije zasnovan je na Fibonačijevom nizu, zbog njegove povezanosti sa prirodom: – suncokret – njegova glava ima 55 redova semenki koje se okreću u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na časovniku i 89 redova semenki koje se okreću u smeru kretanja kazaljki casovnika – borove šišarke – imaju 5 strmih i 8 postepenih spirala – ananas – ima 8 i 13 postepenih spirala i 21 strmu spiralu – imamo Fibonačijeve prste – 2 ruke na svakoj po 5 prstiju savi prst ima tri falange spojene sa dva zgloba – klavijatura na klaviru ima 13 dirki obuhvata oktavu od toga je 8 belih i pet crnih koje su dalje podeljene u grupe od 2 i 3 dirke

21. U prirodi se mogu naći brojni drugi matematički sklopovi a feng šui jeste sistem matematičkih sklopova u prirodi čija četiri osnovna principa odgovaraju brojevima Fibonaćijevog niza: (1). Taiđi (2). jin i jang (3). Či (nebeski, zemaljski, ljudski) (5). Pet faza i (8). Osam trigrama

22. Zlatni presek u arhitekturi

23. Proporcionalnost u arhitekturi Jos od stare Grcke poznajemo geslo ``covek je merilo stvari`` sto treba prihvatiti na 2 nivoa: Prvo, arhitektura ima uvek utilitarno svojstvo-- -njena funkcija odredjuje njen oblik i mere. Primer - to znaci da vrata moraju odgovarati prosecnoj visini osobe koja ce ta vrata koristiti, odnosno prolaziti kroz njih. Zlebovi na stubovima grckih hramova, kanelure, imaju sirinu ljudskih ledja, kako bi se osobe koje se okupljaju ispred hrama mogle na njih nasloniti i odmoriti.

24. Drugo, u projektovanju zgrada koriste se razmeri ljudskih proporcija, cime se stvara osecaj sklada i prihvatanja od strane gledaoca, koji na nesvesnom nivou u odnosima arhitektonskih elemenata prepoznaje odnose vlastitog tela. Ceo stub se, npr. odnosom kapitela i tela stuba odnosi kao ljudska glava prema telu, a razmak izmedju stubova razmeran je rasponu koraka coveka. Posebno je vazno i ovo: rec RAZMER na latinskom se zvala PROPORCIJA, a na grckom ANALOGIJA

25. Pitagora, je prema prici prolazeci pored kovacnice cuo zvuke udaranja cekica o nakovanj u oktavama. Usavsi, video je kako su cekici napravljeni u razmeri 1:2, jedan je dvostruko veci od drugog. Time se stvorio, analogan proporcionalan odnos. Manji cekic prema vecem kao nota C prema noti C1! Ta spoznaja omogucila mu je istrazivanje skrivenih odnosa medju stvarima koje je poceo svuda pronalaziti. Stoga je za univerzum skovao naziv kosmos, uredjen i suprotan od haosa. Iz ovih razmisljanja pojavljuju se reci struktura, nadredjeni red i korelacija- slicnost... kad jedno na drugo lici, po istim nacelima, dakle, ne po temi nego po sadrzaju. Primer imamo, kod skolske nastave, otkrivanjem sakrivanih relacija ucenik i student ne usvaja samo znanje vec i odusevljenje u posmatranju i istrazivanju.

26. Stari Grci su znali za postojanje pravougaonika cije su strane u zlatnoj proporciji (1: 1.618 sto je isto kao i 0.618: 1).

27. Akropolj,u centru Atine,je izdan od stene koja dominira drevnim gradom.Njegov najpoznatiji spomenik je Partenon,hram boginje Atine izgradjen oko 430. ili 440. godine pre n ove ere. Cini se da je gradjen na dizajnu zlatnog pravougaonika i korenu-5 pravougaonika.

29. Upotreba zlatnog preseka je pocela mozda jos sa Egipcanima u dizajnu piramida.Kada se osnovni odnosi Pi koriste za kreiranje pravouglog trougla,formiraju se dimenzije Velike piramide u Egiptu.

30. Nema pisanih tragova da su stari Egipćani znali za Zlatni presek, ali je činjenica da se u izgra đ enim piramidama jasno prepoznaju elementi Zlatnog preseka.

31. – Renesansni umetnici iz 1500. godine u vreme Leonarda Da Vincija su ga znali kao Bozanske proporcije.U Indiji je koriscen u izgradnji Tadz Mahala,koja je zavrsena 1648. godine.

33. Geometrijska analiza dosadasnjih istrazivanja u Velikoj dzamiji Kajruan otkriva doslednu primenu zlatog odnosa tokom projektovanja.

34. Notr Dam u Parizu,koja je sagradjena izmedju 1163. i 1250. godine ima zlatne proporcije u nekoliko kljucnih odnosa dizajna.

36. Njegova upotreba se nastavlja u savremenoj arhitekturi,sto je ilustrovano u zgradi Ujedinjenih nacija.

37. Zgrada Ujedinjenih nacija u Njujorku.

38. Centralni toranj u Torontu je najvisi toranj I samostalna struktura u svetu,sadrzi zlatni presek u svom dizajnu.Odnos vidikovca na 342 metra na visini od 553,33 ukupno je 0.618.

40. Fakultet tehnickih nauka u Kaliforniji na Politehnickom drzavnom univerzitetu je organizovan na principu zlatnog preseka.

41. Video snimak o prirodi kroz brojeve :