1. Higgs Mechanism with Type-II Nambu-Goldstone Boson　 at Finite Chemical Potential
Yusuke Hama (Univ. Tokyo)
Collaborators
Tetsuo Hatsuda (Univ. Tokyo)
Shun Uchino (Kyoto Univ.)
Based on arXiv: v2 [hep-ph]
Phys. Rev D in press
5/18 Komaba
それでは始めます。
まず初めに、このようna
セミナーで発表させていただく機会を与えていただき、誠にありがとうございます。
今日はHiggs Mechanism at Finite Chemical Potential with Type-II Nambu-Goldstone Boson というタイトルで発表させていただきます、濱　ゆうすけです。
共同研究者はht, usです。本研究はこの記事に基づいています。
まずもくじについてです。

2. Contents ＊Our original work 2. Spontaneous Symmetry Breaking and
1. Introduction
　2. Spontaneous Symmetry Breaking and
Nambu-Goldstone Theorem
　3. Type-II Nambu-Goldstone Spectrum at Finite
Chemical Potential
　4. Higgs Mechanism with Type-II Nambu-Goldstone Boson
5. Summary and Conclusion ＊
今回の発表は全部で5章からなります。
そのうちダイ４章がオリジナルワークです。
それではまず本研究の背景からです。
＊Our original work

3. Introduction Background: Spontaneous Symmetry Breaking (SSB)
Nambu (1960)
Origin of Mass
Condensed Matter Physics
Elementary Particle Physics
Cutting Edge Research of SSB
本研究の背景は、現代物理学における重要な基礎概念のひとつである対称性の自発的破れSSBであり、
このSSBnによって、素粒子の質量の起源が説明されました。
そしてこのSSBは最先端の研究においてもなお重要な役割を果たしており、
例えば冷却フェルミ原子気体やカラー超伝導はSSBの観点からは極めて類似の現象であるものとして研究されています。
Ultracold Atoms
Color Superconductivity
Extremely similar phenomena

4. The number of NG bosons and Broken Generators
One of the most important aspects of SSB
The appearance of massless Nambu-Goldstone (NG) bosons
Motivation: How many numbers of Nambu-Goldstone (NG) bosons appear?
system
SSB pattern
G→H
Broken generators ( BG)
NG boson
#NG boson
dispersion
2-flavor
Massless QCD
SU(2)L× SU(2)R
　　→ SU(2)V 3
　pion 　3
E(k) ～k
Anti-ferromagnet
O(3) → O(2) 2
magnon 　2
Ferromagnet 　1
E(k) ～k2
Kaon condensation in color superonductor
U(2) →U(1)
　“kaon”
そして、SSBの重要な帰結のひとつに零質量粒子、NGボソンの存在が挙げられます。
とくにNGの出現数の解析は大変面白いテーマであり、本研究の最大のもちべになっています。
ここでいくつかng の具体例についてみ
次に面白い例として、スピン系における反強磁性強磁性の例を見てみましょう。
この場合、何がおもしろいかといいますと、両者ともに対称性の破れのパターン03-02と破れた生成志の数２が一致しているのですが、
Ngとしてのマグノンの数と分散関係が異なっています。
強磁性
最後にもう一つ面白い例として、カラー超電導体におけるkaon凝縮相についてみてみましょう。
この場合ですと、対称性がu2-u1に破れることで、破れた生成子が３つあります。
しかしngとしてのkaonが先ほどの強磁性体のときと同様に、 推察
Relations between the dispersions and
the number of NG bosons?
Chemical potential plays an important role for
the number and dispersion of NG bosons

5. Nielsen-Chadha Theorem Nielsen and Chadha (1976)
Classification of NG bosons by dispersions
E~p2n+1 : type-I, E~p2n : type-II
analyticity of dispersion of type-II
spectral decomposition
All previous examples satisfy Nielsen-Chadha inequality
実は約40年ほど前に、ncは反強磁性」・強磁性の例に着目することで、
Ngを次のように分散関係に基づいて分類しました。
以上が大局的対称性の破れに関する側面でした。
次に局所的対称性、
とりわけ」ゲージ対称性の破れひっぐすきこうについてお話したいと思います。
Nielsen-Chadha inequality
NI + 2 NII ≧ NBG

6. Higgs Mechanism m=0: type-I NBG=NNG= NI NNG=(Nmassive gauge)/3
m ≠ 0: type-I & type-II
NBG≠NNG= NI +NII
m=0: type-I
NBG=NNG= NI
without gauge bosons ?
NNG =(Nmassive gauge)/3
with gauge bosons
NNG=(Nmassive gauge)/3
ご存じのように、NBG=NNGが一致している場合、つまりtype1ののみが存在している場合、
ゲージ対称性が破れたとき、NngとNgaugeが一致しています。
しかし、type2が出現している場合、NBG=NNGが一致してが一致しておらず、
このような場合ゲージ対称性がやぶれた時、ヒッグス機構がどのように働くかというのは明らかではありません。
そこで本研究の目的はNbg≠Nngが一致していない場合の、ひっぐすきこう、つまりtype-2ngを含むひっぐす機構を解析することです。
本研究においては先ほどの最後の例に示したような、科学ポテンシャルによってtype2が生成された系におけるヒッグス機構について研究しました。
そこで、ヒッグス機構について論じる前に、有限化学ポテンシャル中でのngのスペクトルについてお話したいと思います。
Purpose
Analyze the Higgs mechanism with type-Ⅱ
NG boson at finite chemical potential .

7. Type-II Nambu-Goldstone Spectrum at Finite Chemical Potential
From this slide I will show you the spectrum of NG bosons at finite chemical potential.

8. U(2) Model at Finite Chemical Potential
Miransky , Schafer and Nambu (2002)
minimal model to show type-II NG boson
Hamiltonian
Lagrangian
SSB Pattern
Field parametrization
2 component
complex scalar
Hypercharge
今回我々は有限化学ポテンシャル中のngのスペクトルをu2複素スカラー場模型を通じて解析しました。
この模型は２００２に彼らによって、高密度QCDの,
カラー超伝導中のcfl相中のkaon凝縮を表す模型として導入されたものであり、type2が出現するもっともシンプルな模型です。
以下がこの系のセットアップです。
揺らぎのばにたいする二次のらぐらんじあんあ得られます。
ここでこの赤線でひいた項に注目してください。
化学ポテンシャルによってスカラー場の間でmixingが起きているのがわかります。
この項によって、零化学ポテンシャルの場合と比べてスペクトルに変化が生じます。
そこでこの化学ポテンシャルによるスペクトルの変化を見てみましょう。
mixing by m
Quadratic
Lagrangian

9. Type-II NG boson spectrum
Equations of motion
mixing effect
(m=0)
(m ≠ 0)
dispersions
y massive
y’ massive
c3 type-I
c’3 type-I
c1 type-I
c’1 massive
先ほどの二次のラグランジアンから次の、カップルした二つの運動方程式が得られます。
先ほどのmixingの項はこの青丸で囲った非体対角成分に現れています。
この運動方程式を運動量空間で解くことによって以下の分散関係が得られます。
ここで、〇化学ポテンシャルのときと比べながら、この有限化学ポテンシャル中の分散関係を見ていきましょう。
まず〇化学ポテンシャルの場合ですと、ご存じのようにひとつはmassiveモードが、そしてのこり三つは
Masslessのngｔｙpe１が、破れた生成志の数と同じ3だけ現れます。
次に有限化学ポテンシャルの場合を見てみますと、
まず、一つ目の方程式をみますと、こちらからはzero化学ポテンシャル同様1つはmassivemodeが、もうひとつはtype1ngが出現します。
ところが、この2つ目の方程式からはtype1が2つではなく1つは化学ポテンシャルに依存したmassivemodeが、もう一つはtype2ngが現れます。
このように化学ポテンシャルの効果によって、2つのtype1のうち、1つはmassiveに、もうひとつはtype2になります。
そしてこの系はNC不等式を満たしています。
以上が有限化学ポテンシャル中でのngのスペクトルでした。
それでは、このスペクトルを踏まえて、次にtype2を含むヒッグス機構について説明いたします。
c2 type-I
c’2 type-II
Nielsen-Chadha inequality: NI =1, NII =1, NI + 2NII = NBG

10. Higgs Mechanism with Type-II Nambu Goldstone Boson at Finite Chemical Potential 　
As we have seen in the previous slide, the chemical potential yields the mismatch between the numbers,
And we finally show the Higgs mechanism in such a situation.

11. Gauged SU(2) Model U(2) Lagrangian gauged SU(2) Lagrangian
background charge density
to ensure the “charge” neutrality
covariant derivative
Kapusta (1981)
我々はtype2を含むヒッグス機構を以下のgaugedsu2模型を通じて解析しました。
この模型は先ほどのu2模型のsu2対称性をゲージかすることによって得られます。
これがそのラグランジアンです。
ここでひとつ注意するべき点は、系のchargeneutrality条件です。
我々は系のchargeneutralityをkapustaの方法によって処置します。それはこのbackground charge densityをくわえるというものです。
そしてこのラグランジアンを平均場近似によって運動方程式を解くことで、
先ほどu2模型と同じfieldparameterizationが得られます。
そしてMがゲージ場が得る質量で化学ポテンシャルに依存しています。
ここでは、ヒッグスきこうについて論じる前に、このkapustaのほうほうについて詳しく説明したいと思います。
field parametrization
gauge boson mass

12. Charge Neutrality in Gauged U(1) Model 1
1. Lagrangian
Covariant Derivative
Equations of motion in mean field approximation
2. Ground Expectation
Value
finite value
3. Quadratic Lagrangian
まずgaugedu1模型の場合を先ほどのbackground charge densityの項なしでやってみます。
このラグランジアンを、平均場近似で解くと、いかのようなスカラー場とゲージ場のgroundexpectationvalueが得られます。
特徴としてはゲージ場が期待値を持つということです。
そしてこの平均場を用いると、次のような揺らぎの場に対する二次のラグランジアンが得られます。
これを見てみますと、有限化学ポテンシャル中での系をかんがえていたはずが、ラグランジアンから化学ポテンシャル依存性が消えています。
これはbackground charge densityが欠如しているためだとkapustaは考えました。
そこで次にbackground charge densityを入れてやってみます。
Disappearance of chemical potential
Absense of background charge density

13. Charge Neutrality in Gauged U(1) Model 2
1. Lagrangian
Background charge density
Equations of motion in mean field approximation
2. Ground Expectation
Value
zero value
3. Quadratic Lagrangian
先ほどと同様に今度はbackground charge densityを入れたラグランジアンを用いて、平均場近似の下で運動方程式を解きますと、
今度は次のようなgroundexpectationvalueおよびjの値が得られます。
先ほどとは異なり、ゲージ場が期待値を持ちません。
これらを用いると次のような揺らぎの場に対する二次のラグランジアンが得られます。
そして、系の電荷密度を」計算すると、きちんと〇になっています。
4. Charge Neutrality

14. Charge Neutrality in Gauged SU(2) Model
1. Lagrangian
Background charge density
Equations of motion in mean field approximation
2. Ground Expectation
Value
zero value
3. Quadratic Lagrangian
Gaugedsu2模型についても同様のことを行います。
さて、次にいよいよヒッグス機構について論じます。
そのために、揺らぎの場に対する、分散関係をもてっます。
その際にゲージ固定をする必要があります。
このように、type2出現のためNng≠Nbgであり、かつchargeneutralな状況下において、はたしてどのようなゲージ固定がこの場合もっとも定期切なものなのでしょうか？
4. Charge Neutrality

15. Rx Gauge Clear separation between unphysical spectra
Fujikawa, Lee, and Sanda (1972)
Clear separation between unphysical spectra
(A3 m=0, ghost, “NG bosons”) and physical spectra
(A3 m=i ,Higgs) and by taking the a→∞
masses of unphysical particles decouple from physical particles
Gauge-fixing function
a: gauge parameter
Landau gauge
Feynman gauge
Unitary gauge
我々はr-xiゲージを用いました。
このゲージの利点はunphysicalmodephysicalmodeをゲージパラメタα無限にとることによって明瞭に分別できます。別の言い方をすれば、unphysicalparticleの粒子はphysicalparticleの質量とdecoupleします。特に後でみるように今回のような状況におけるヒッグス機構を解析するにあっては大変有用なゲージです。これがr-xiにおけるゲージ固定関数です。
これを用いると次のような二次のラグランジアンが得られます。

16. What remain as physical modes?
Quadratic Lagrangian
coupling
new
一行目がゲージ場の項、二行目がmassivemodeの項、三番目がゴースト項及びngモ―との動、
4行目がu2模型のときにも出現した、スカラー場間のmixing項、
そして五行目が新たな、化学ポテンシャルによって生成されたゲージ場の時間成分とスカラー場kai1,2,psiのmixing項です。
この新しいmixingterm出現のために、この項が」物理的および非物理的スペクトルにどのような影響を与えるかを調べる必要があります。
そしてこれを、質量を直接もとめることによって実行します。
mixing between c1,2 , y, and unphysical modes (Aa m=0 )
What remain as physical modes?

17. Dispersion Relation (p→0, α>>1)
diagonal
off-diagonal
このラグランジアンから、まず一つ目のcoupleした運動方程式が得られます。先ほどの新しいmixingの寄与は非対角要素に現れます。
これを解きますと、このセクターの質量は」以下のようになります。オーダー√αMは対角成分からの寄与、オーダーμは非対角要素からの寄与であることがわかります。
次にもう一つのcoupleした運動方程式を解きます。Mixing効果はここに現れます。
これを解きますと、ch3a30の質量は、psiの質量は…と不変に保たれています。
以上の結果から、最後にtype2を含むヒッグス機構がはたしてどのように働いたのかを視覚的に見てみましょう

18. Field Mass Spectrum and Result
Fields
g=0, μ≠0
g≠0, μ≠0
massive 2 1
NG boson
1 (Type I), 1(Type II)
Gauge boson
３×2T
３×3T, L
Total 10
Y’(Higgs)
Y’(Higgs)
c’3 (type-I)
c’2 (type-II)
c’1 (massive)
A1,2,3 T
A1,2,3 T, L
これが先ほどの結果から得られた質量スペクトルです。
左がu2模型の質量スペクトルです。
化学ポテンシャルによって破れた生成子の数とngの間に
ミスマッチが生じていたことを思い出しつつ、ゲージ対称性が破れたことによりこのスペクトルがどのように移り変わったかを
見てみましょう。まず左のu2模型を見てみますと、massivemodeが二つ、があります。そしてmasulessngmodetype1,2がそれぞれ1つずつと横波成分の」ゲージ場が２×３の６つあり、全物理的じゆうどは系１０個あります。
そしてゲージ対称性が破れますと、まずpsiですがこれは、質量を不変に保ったままphysicalmodeとして残ります、higgsモードです。
それでは本研究のモチベーションであったngmo-doについてみてみましょう。
先ほどの運動方程式を解くことで、ゲージ場の時間成分がオーダー√αの質量を持っていることがわかりました。
そして、scalarmodeについては、masslessngmodetype1,2だけでなく、このmassivemodeもオーダー√αの質量を持つことがわかりました。
その結果、二つのngmodeと化学ポテンシャルによって生成されたmassivemodeをゲージ場が吸収することで、縦、横成分の３×３がphysicalmodeとなります。
以上をまとめると、まずu2模型では全物理的自由度は１０です。。。。
そしてgaugedsu2模型におけるphysicalmodeはmassivemodepsi, 縦横成分のゲージ場３×３の計９よって、全自由度１０です。
したがってr-xiゲージをとることにより、有限化学ポテンシャルにおけるtype2を含むヒッグス機構は、破れた生成子とngの数の間にミスマッチが生じていても、全物理的自由度が修正されない形で働くことがわかりました。これが有限化学ポテンシャルにおけるtype2を含むヒッグス機構です。
total physical degrees of freedom are correctly conserved

19. Summary
We analyzed Higgs Mechanism at finite chemical potential with type-II NG boson with Rx gauge Result: ・Total physical degrees of freedom correctly conserved -- Not only the massless NG bosons (type I & II) but also the massive mode induced by the chemical potential became unphysical ・Models: gauged SU(2) model, Glashow-Weinberg-Salam type gauged U(2) model, gauged SU(3) model Future Directions: ・Higgs Mechanism with type-II NG bosons in nonrelativistic systems (ultracold atoms in optical lattice)? -- What is the relation between the Algebraic method (Nambu 2002) and the Nielsen Chadha theorem？ ・Algebraic method: counting NG bosons without deriving dispersions ・Nielsen-Chadha theorem: counting NG bosons from dispersions
最後にまとめです。

20. Back Up Slides

21. Counting NG bosons with Algebraic Method
Qa: broken generators
Nambu (2002)
independent broken generators
NBG=NNG
behave canonical conjugate
belong to the same dynamical degree of freedom NBG≠NNG
Examples
SU(2) algebra
NBG≠NNG
U(2) model
O(3) algebra
anti-ferromagnet
ferromagnet
NBG=NNG
NBG≠NNG

22. The Spectrum of NG BosonsV vv
Future Work

23. Gauged SU(2) Model without Background Charge Density
Gusynin, Miransky, & Shovkovy (2004)
1. Lagrangian
2. Ground Expectation
Value
finite value
3. Quadratic
Lagrangian
4. Charge Neutrality

24. Comparison of Results in Gauged SU(2) Model
Our Work
Gusynin, Miransky, & Shovkovy
Ground Expectation Value
Scalar Field mass
A3 m=1,2,3 mass
A± m=1,2,3　mass
Difference: Reproduction of U(2) model mass spectrum in the
　　limit g→0

25. Glashow-Weinberg-Salam Model
Fields
g=0
m≠0
g≠0
Gauge
2×4
3×3+2
NGB
Type I×1
Type II×1
Massive 2 １

26. Gauged SU(3) Model Gauge NGB Massive 2×5 3×5 1 (Type I) 2 (Type II) 3
Fields
g=0
m≠0
g≠0
Gauge
2×5
3×5
NGB
1 (Type I)
2 (Type II)
Massive 3 １