1. 1 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM by W.H. Müller, C. Liebold ICMS-workshop | Edinburgh | June 17-21, 2013 Are higher gradient theories of elasticity amenable to experiments? - A state-of-the-art review Technische Universität Berlin Institut für Mechanik - LKM Technische Universität Berlin Institut für Mechanik - LKM Einsteinufer 5 Einsteinufer 5 D-10587 Berlin D-10587 Berlin LKM Supported by:

2. 2 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

3. 3 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

4. 4 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Applications in micro-mechanics I A MEMS application: Micro 3D - gyroscope A MEMS application: Micro-sensors and black box in automotive technology

5. 5 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Applications in micro-mechanics II Objective: Stress and deflection measurements in micro beams subject to bending A MEMS application: An acceleration sensor in the automotive industry Raman peak position along the thickness of a deflected silicon beam; Srikar et al. (2003):

6. 6 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

7. 7 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM The size effect (experiments from literature) Objective: Determination of the material length scale parameter l (additional stiffness parameter) of silicon and silicon nitride using atomic force microscopy and Raman spectroscopy. A material length scale parameter called l is of importance in non-local theories, such as the couple stress theory used, e.g., by Yang et al. (2002). Strain gradient theories can be used to model the size effect of micro-size structures, e.g., for simple beam bending or torsion of small wires. Left: Torsion of small copper wires performed by Chong et al. (2001) revealed: l = 3µm. Right: Simple beam bending experiments on epoxy by Gao and Park (2007) revealed: l =17.6µm. The term size effect refers a stiffer (elastic) material behavior on the sub-micronscale.

8. 8 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

9. 9 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM 235 (3)7 local -non-local theory class. theory CS Couple Stress theory MSG Modified Strain Gradient theory SG Strain Gradient theory stored energy density: stress and strain measures: (isotropic) balance law: E – Euler BernoulliT – Timoshenko (allg.) published derivations: analytical displacement field: Non-local theories (overview) nr. of parameters: in use for finite element method by various authors

10. 10 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

11. 11 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Couple stress theory for beam bending I Derivation of the deflection curve, the strain and the bending rigidity. The Euler-Bernoulli displacement field: Components of the strain tensor: Components of the stress tensor: New: Components of the rotation gradient tensor:

12. 12 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM The principle of virtual work: The differential equation: Integration of the differential equation: The governing boundary conditions: Couple stress theory for beam bending II Using the boundary conditions for a clamped beam the solution for deflection and strain reads:

13. 13 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Couple stress theory for beam bending III Derivation of the bending rigidity for x=L, ν=0 : Figure: Simple beam bending experiments on epoxy by Gao and Park (2007) revealed: l =17,6µm. inverse quadratic function in h Conclusion: - If l=0 the couple stress bending rigidity results in the conventional one. - The formula of the couple stress theory predicts a size effect.

14. 14 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

15. 15 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM The AFM tool I The experiments for measuring w and ε: A Raman spectroscope integrated in an AFM used for the bending of µm beams observation variables: AFM laser AFM Laser Raman laser Raman Laser The central equation of the AFM tool for determining the beam deflection reads: LASER PSD

16. 16 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM The AFM tool II 1st. The non-linear behavior of the PSD (Photo Sensitive Diodes): Wheatstone bridge signal=voltage non-linear behavior AFM Laser cylindrical AFM probe range of linearity 1 2 3 4

17. 17 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM The AFM tool III 2nd. Calibration of the tip deflection Δs : The Δx feed motion was produced by a calibrated screw thread driven by piezo-elements. m 0 x max -single experiment x [ nm ] - rescaled feed motion curves- slopes increase linearly! analysis points U [mV] Tapping the AFM probe against a rigid surface projected the Δx - input onto the voltage signal of the PSD. This gave rise to a quadratic relationship of the form: top view of piezos turning the feed table

18. 18 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM U [mV] The AFM tool IV 3rd. The AFM probe against a micro beam (separating both deflections): a rig, n rig … values of the regression line of the rigid surface a, n … values of the regression line with the micro beam in between s …defl. of the tip w beam … defl. of the beam x [ nm ] Conclusion: This approach compensated the non-linearity of the AFM tool.

19. 19 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

20. 20 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Performing the experiments I The force calibration of the AFM probe against a calibrated cantilever: The AFM cantilever was calibrated at the PtB (Physikalisch Technische Bundesanstalt, Braunschweig, Germany) by a nano-compensational weight bridge for the force data in combination with a capacitive read out for the deflection data. It revealed a spring constant of the cantilever of about: F=k PtB w PtB, k PtB = 4.868 N/m Transfer of the spring constant

21. 21 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Performing the experiments II SEM analysis for determining the dimensions of the tested micro-beams: b= 39±0.2 µm L= 200±0.2 µm t= 0.98±0.075 µm Pictures via the optical microscope of some specimens: force application point SiN SiN SiN SiN SiN cSi

22. 22 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Performing the experiments III A video recording of the loading- unloading sequence via the optical microscope : (0) (1) (2) (3) (4)

23. 23 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

24. 24 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM The Raman effect for strain measurement I The setup of our Raman spectrometer:

25. 25 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM The optical path of the laser beam: 1:live cam 2:beam splitter 3:polarizer (scattered) 4:aperture (slit) 5:notch filter 6:optical grating 7:CCD camera 8:filters for laser power 9:shutter 10:beam expander 11:polarizer (incident) 12:sample stage 13:optical lenses 14:shutter 15&16:laser source The Raman effect for strain measurement II

26. 26 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM A typical spectral distribution of silicon. I. DeWolf (1998) Si Raman peak @ ω 520 cm -1 The Raman effect for strain measurement III Inside the CCD camera (qualitatively):

27. 27 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM With the idea of effective force constants in the directions of the generalized coordinates of the phonons, we obtain the secular equation without presence of strain: Some theoretical relationships The Raman effect for strain measurement IV Si Raman peak @ ω 98,5 THz 520 cm -1

28. 28 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Acc. to the so-called morphic effect, the strains ε kl enter the secular equation as follows: we can rewrite the secular equation: Some theoretical relationships The Raman effect for strain measurement V Consider pure tension in x -direction: the secular equation under presence of strain

29. 29 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM A separation of the three eigenvalues is possible by polarization of the incoming and scattered laser light (Raman selection rules), so that the strain-shift relationship reads: Some theoretical relationships The Raman effect for strain measurement VI Experimental procedure -reference- Taking spectra in loaded and unloaded configuration at different points around the fixture: numerical analysis for spectral position: Gauss / Lorentz mixture -loaded- this holds for silicon in the present configuration

30. 30 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Raman @ 190 µN Raman @ 81 µN Euler Bernoulli-Theorie FEM @ 190 µN F x=0 strain ε xx The Raman effect for strain measurement VII Experimental application to silicon

31. 31 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

32. 32 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM *De Wolf, I. (1996). Micro-Raman spectroscopy to study local mechanical stress in silicon integrated circuits. Semicond. Sci. Technol. 11, pp.139–154. *Aspnes, D. E., Studna, A. A. (1983). Dielectric functions and optical parameters of Si, Ge, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, and InSb from 1.5 to 6.0 eV. Am. Phys. Society. 27(2), pp. 985-1009. x I D dpdp I0I0 Theoretical penetration depth of an extended laser beam in silicon (De Wolf*, 1996): Specification for the choice of d : with Aspnes* (1983): ε F The problem of penetration depth of the laser I = absorption coefficient measured for Si at different wavelengths 0.1 chosen

33. 33 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM x I0I0 dpdp ε max ε=0 0 The problem of penetration depth of the laser II Because the used beam thicknesses are 7000 nm, 3000 nm and 1000 nm a correction factor f for the strains can be introduced as follows: thickness f from experiments f from formula t=1000 nm 4,2 5 6,3 t=3000 nm 1,71 1,7 1,78 t=7000 nm 1,191,2 increase of uncertainties f exp. calculated by conventional theory

34. 34 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

35. 35 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Results I Corrected strain values for silicon micro beams measured using the Raman spectroscope: factor: f=1.19 t=7µm, L=175µm t=3µm, L=90µm factor: f=1.71 t=3µm, L=130µm factor: f=1.78 measurement at different points around the fixture measurement at different points along the beam length corr

36. 36 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Results II No strain values for silicon nitride, due to a thin metallic layer. The corresponding Raman signal is smeared out.

37. 37 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Results III The deflections of silicon micro beams measured via the AFM tool: t=3µm, L=130µm t=7µm, L=175µm t=1µm, L=130µm t=1µm, L=50µm

38. 38 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Results IV The deflections of silicon nitride micro beams measured via the AFM tool: t=0,8µm, L=170µm t=0,8µm, L=80µm t=0,8µm, L=120µm t=0,6µm, L=170µm t=0,6µm, L=80µm t=0,2µm, L=29µm … otherwise large bending angle

39. 39 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

40. 40 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM 1 2 3 4 5 6 7 8 Conclusions about the length scale parameter I The bending rigidities of silicon micro beams measured via the AFM tool: Conclusion: The material length scale parameter of single crystalline silicon is smaller than l < 200 nm. Bending rigidity vs. thickness of Epoxy

41. 41 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Conclusions about the length scale parameter II The bending rigidities of silicon nitride micro beams measured via the AFM tool: Conclusion: The material length scale parameter of silicon nitride is smaller than l < 50 nm. 0,1 0,2 0,3 0,6 0,8 1 Bending rigidity vs. thickness of Silicon Nitride

42. 42 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Outline Introduction and motivation: Applications in micro-mechanics The size effect (experiments from literature) Overview on non-local continuum theories Beam bending in couple stress theory The AFM tool for deflection measurement Performing the experiments: Force calibration of the AFM The beams The Raman effect for strain measurement: General remarks Discussion of the penetration depth of the laser Results for Si and SiN Conclusions about the length scale parameter of Si and SiN Improvements / discussion

43. 43 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM A minimization of the penetration depth of the Raman laser can be achieved either by an UV laser source in combination with a UV spectrometer or by an independently moveable AFM-TERS probe. For detecting a size effect even smaller micro beam geometries (particularly smaller thicknesses) are needed. Improvements / Discussion Raman / Silicon: In order to detect a more pronounced size effect materials with a more complex micro-structure should be tested. Raman / Silicon-Nitride: For detecting a Raman signal the metallic layer should be removed (e.g., by etching). Size Effect:

44. 44 Technische Universität Berlin Fakultät für Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Prof. W.H. Müller Copyright © Prof. Dr. rer. nat. W.H. Müller, e-mail: Wolfgang.H.Mueller@tu-berlin.de, 2013 /44 LKM Thank you for your patience and endurance when listening to (experimental) mechanics presentations!