1. Efficient Gathering of Correlated Data in Sensor Networks
Himanshu Gupta, Vishnu Navda, Samir R. Das, Vishal Chowdhary
Department of CS, State University of New York Stony Brook
MobiHoc 2005
老師 各位學長 同學 學弟妹大家好
我今天要報告的題目是Efficient Gathering of Correlated data in sensor networks
這篇的作者是Himanshu Dupta等三人
他們是美國石溪大學的成員
那這篇文章是發表在MobiHoc 2005年的
這篇文章利用sensor收集到的data的相關性
在整個sensor network中只選則部分的nodes來收集他們的資料
其他沒被選到的nodes的資料則從這些選中的nodes來推斷
用這個方式來達到省電的效果

2. Outline Introduction Problem Formulation
Energy-Efficient Distributed Algorithm
Centralized Approximation Algorithm
Performance Results
Conclusion
那我們今天天outline就有
一開始的introduction
Problem formulation就是把他提出的問題作一個正式的定義
接著就是他所提出來的distributed跟centralized的演算法
最後是他的實驗結果跟結論

3. Introduction (1) Data gathering in sensor networks
Collect periodic snapshots of distributed sensor data at a sink node.
Environment application: Temperature, humidity, pressure data
Sensor networks are usually redundant
They exhibit high degree of spatial
correlation in the data collected
(colored sub-regions in the figure)
那我們在sensor network中做data gathering
就是把node中每個時段測到的資料收集到sink node當中
常見的application就像是 收集溫度 溼度 跟壓力的資料
這種sensor network在通常會佈置很多redundant nodes
而且nodes之間收集到的資料通常都會有相當程度的關聯

4. Introduction (2) Data Gathering Approach
Naïve Method
Collect data from all the nodes by forming an gathering tree with sink node at the root
Energy Efficient Method
Given a sensor network, select a subset of sensors “M”, called Connected Correlation-Dominating Set, such that
(a) Each sensor not in M is correlated to a subset of sensors in selected set M
(b) The selected set M forms a connected communication graph
設計gathering的的方式的時候
簡單的方法就是讓所有nodes形成一個以sink為root的gathering tree
讓所有的data順著這個tree傳到sink當中
可是這樣每個node都要傳資料 會耗費很多能量
另外一個有效率的方法
就是這篇論文所使用的方法
在整個sensor network當中只選擇部分的nodes
這這些node作收集他的資料以及傳遞的工作
就是這個M
把他稱為connected correlation-dominating set
那他必須保有兩種特性
第一種就是其他不在M當中的nodes要和M中的subset會有關聯
也就是不在M當中的node的資料可以從M的subset的資料推測出來
另外一個特性就是
M當中的nodes會形成一個連接的communication graph

5. Example
For a given region, any two sensor data are sufficient to infer the data of all other sensors in the region.
Deleted node
這邊有一個connected correlation-dominating set的例子
他是假設在同深淺的region當中
任兩個nodes的資料就可以用來推斷出在同一region的其他node的資料
就像下面這張圖一樣
只要在每個region當中選兩個nodes出來
如果這些nodes的communication graph市相連接的話
那這些被選到的nodes就會是一個connected correlation-dominating set
Selected node

6. Formal Problem Definition (1)
Definition 1. (Communication Graph) Given a sensor network consisting of a set of sensors I, the communication graph for the sensor network is the undirected graph CG with I as the set of vertices and an edge between any two sensors if they can communicate directly with each other. t u w v x y z
接著他先對他所提出的connected correlation-dominating的問題做個公式化
這裡先定義了幾個會用到的觀念
第一個definition 就是communication graph
一個sensor network中Communication graph就是一個graph
就像下面這張圖一樣
這個graph包含了所有的sensor nodes當作vertex
如果兩個sensor nodes在彼此的通訊範圍中的話
在這個graph中就會有一個edge連接這兩個nodes
(a) Communication Graph

7. Formal Problem Definition (2)
Definition 2. (Correlation Graph; Correlation Neighbors) Given a sensor network consisting of a set of sensors I, the correlation graph over the sensor nodes is a directed hypergraph with I as the set of vertices, and a subset of (P(I) × I) as the set of directed hyperedges, where P(I) is the power set of I. In other words, the correlation graph is a hypergraph G(V = I,E ⊆ (P(I) × I)). x v z t
第二個definition就是correlation graph跟correlation neighbor
一個sensor network的correlation graph是一個有向性的hypergragh
他一樣包含了所有sensor nodes當作他的vertex
比較特別的是這個correlation edge是一個有向性的hyperedge
hyperedge他是由一個nodes set指向一個node的edge
就像左下方的這個圖(a)
u v w所形成的subset指向一個node x
這個Correlation edge的意思是x和subset (u, v, w) 是有關聯的
也就是說x的資料可以從u v x當中的資料所推斷出來
X 和 u v w之間就會稱為是correlation neighbors
集合所有nodes和這些所有存在的hyperedges
就會形成這個sensor network的correlation graph
右下這個就是一個correlation graph的例子 x u y w u v w
(a) Correlation Edge ((u,v,w), x)
(b) Correlation Graph

8. Formal Problem Definition (3)
Definition 3. (Connected Correlation-Dominating Set) Consider a sensor network consisting of n sensors. Let C be the correlation graph over the sensor nodes in the network. A set of sensors M is called a connected correlation-dominating set if :
1. The communication subgraph induced by M is connected.
2. For each sensor node s M, there is a set of sensors S ⊆ M such that (S, s) is a correlation edge in C. v v z z
那definition3是connected correlation-dominating set的定義
如果我們說一個nodes set M是sensor network的connected correlation-dominating set的話
他必須滿足下面這兩個條件:
第一個是M當中node所形成的communication graph必須是連接的
第二個是對於不屬於這個M的node s,
在這個sensor network的correlation graph C 中
一定會有correlation edge從M的subset指向這個node s.
就像右下角這張圖一樣
這個由t u v w所形成的nodes set M是一個connected correlation-dominating set
因為t u v w的communication graph是connected
而且其他不屬於M的node x y z在correlation graph中都有correlation edge從M當中指向他們 t t x x u u y y w w
M = {t, u, v, w}
(a) Correlation Graph “C”
(b) Connected Correlation-Dominating Set “M”

9. Formal Problem Definition (4)
Connected Correlation-Dominating Set Problem: Given a sensor network and a correlation graph over the sensors, the connected correlation-dominating set problem is to find the smallest connected correlation-dominating set.
The connected correlation-dominating set problem is NP-hard as the less general minimum dominating set problem is well known to be NP-hard.
那這個connected correlation-dominating set problem正式的定義
就是給我們sensor network跟他的correlation graph
我們要為這個sensor network找到一個nodes最少的connected correlation-dominating set
由於較簡單的dominating set已經被認為是一個np-hard的問題了
所以這個connect correlation-dominating set problem也應該是個np-hard的問題
後面提出的distributed跟centralized的演算法 也都是heuristic

10. Formal Problem Definition (5)
Computing Correlation Hyperedge Parameters
A hyperedge (S, s) exists if data values of s can be inferred from values of S within certain error bound.
Linear Prediction Model
Least Square Approach
: Source nodes
: Predicted value of node s at kth time
: Actual value of source node l at kth time
在這邊就講解一下他找出這些correlation edge的方法
如果一個node s的資料可以從一個source set大S所推斷出來
而且在一定的error bound之內的話
就會有一條correlation edge從大S指到小s
那他用了linear的方式來當作他的data prediction model
像下面的式子一樣
在推測node s中的k時段的資料 就是這個s‘[k]
這個s‘[k]就會被表示為在source set中node 1到node L在k時段的資料
配合上這些alpha參數的linear combination
在接著使用least square的方式來求取alpah參數的值
: Actual value of node s at kth time

11. Formal Problem Definition (6)
接著用matrix的方式來表示這個least square error的式子
使用標準的做法把E of alpha對alpha作微分 讓他等於零
那我們透過標準的解法
最後取得這些alpha參數的值
有了這些alpha的值之後
我們就可以反過頭來確認這個從source set預測出來的值
和這個node s在k時段真實測到的值
他們的差值是不是在這個設定好的error bound當中

12. Energy-Efficient Distributed Algorithm (1)
Basic Distributed Algorithm
1. Initially, each node assigns itself a priority. Data-gathering nodes mark itself selected.
2. Next, each node collects d-hop neighborhood information.
3. Remaining, nodes are marked deleted and instruct the related correlation neighbors as selected while the following conditions are satisfied during periodically testing.
(i) It can be inferred (using a correlation edge) from a set of non-deleted nodes.
(ii) Its deletion preserves the connectivity of the communication subgraph induced over the non-deleted nodes.
這邊就是他的基本的distributed algorithm
1.一開始的時候所有node都有一個自己的priority,
負責要匯集資料的nodes(像是sink等等)會先標示自己是selected的狀態,
selected代表這個node要收集環境的資料以及會被用來推斷別的node的資料.
2.接著每個node收集k-hop以內的neighbor的資料, 來找出有哪些指向他的correlation edge的存在 以及連結姓
3.然後每個node會週期性地去檢查,
如果這個node到的的資料可以從其他non-deleted node推測出來,
而且如果把他標示為deleted刪除掉不會影響到non-deleted nodes的連接性的話
那這個node就會把自己標示為deleted status,
並且通知他的correlation neighbor
讓correlation neighbors變成selected的狀態
在這個演算法當中
不管在哪個階段,這些non-deleted nodes都會形成一個connected correlation-dominating set
The non-deleted nodes forms a Connected Correlation-Dominating Set

13. Energy-Efficient Distributed Algorithm (2)
Conditions for Marking Deleted
not selected s
這張圖是四個實際用來確定是不是可以標示為deleted的conditions
當滿足下面四個條件的時候 node就可以變成deleted狀態
第一個condition是 node s本身不能是selected的狀態
第二個condition是對node s 的任一neighbor pair (u, v)之間必須能有一條path連通 且path上的node的priority要較s來的低 -> 用來保護non-deleted nodes的連接性
第三個condition是對node s來說, correlation graph中要有一條他可以使用的correlation edge, 而且這些source nodes必須是selected狀態 或是 priority較s來的低
第四個condition是對那些可能把s當作source node來使用的node r來說, r 的狀態必須要是 selected, deleted或是較s的priority來的低
S滿足上面四個條件就會標示自己為deleted狀態
並且通知他所用到的correlation neighbor他的deleted狀態
for node s C1

14. Energy-Efficient Distributed Algorithm (3)
2-Round Distributed Algorithm
Based on basic distributed algorithm
Replace C3 and C4 with C33 and C44 in the initial round.
C33: There is a correlation edge (S, s) in the correlation graph, such that no node in the set S is marked deleted. In addition, each node in S is either marked selected or doesn’t satisfy the C2 condition or has a priority less than p(s).
C44: If there is a correlation edge (R, r) where s ∈ R, then either r is marked deleted or marked selected or doesn’t satisfy the C2 condition or has a priority less than p(s).
這裡希望能增加被標示為deleted的node數目
這裡他提出了兩個稍微作了點修改的algorithm
第一個就是這個2-round distributed algorithm
他基本上是和前面的basic algorithm一樣
那不同的是他在第一個testing的round的時候用修改過的C33和C44 condition來取代前面的C3和C4 condition
C33和C44 condition稍微放寬了C3和C4 的限制
C33 condition是說對於一個node s
他所可以所使用的source nodes 除了可以是C3 condition的 selected 或是priority較低的node外
還可以是沒有滿足C2 condition的nodes
C44 condition是說 那些可能把node s當作source node的node r來說
Node r他的狀態除了可以是C4 condition的deleted selected 或是priority較低的之外
還可以是沒有滿竹c2 condition的node
使用到C33和C44的時候
因為要確定node s的correlation neighbor他們的C2 condition
所以node s除了收集k-hop內neighbor的資料外
還要在多收集correlation neighbor附近的資料
這樣會有多出來的負擔
所以只有在第一個testing round採用C33和C44

15. Energy-Efficient Distributed Algorithm (4)
Handshake Algorithm
Based on basic distributed algorithm
Using C33 and C44 in all testing rounds
Additional C2-satisfied messages
Whenever a node’s C2 condition is satisfied, it transmits a C2-satisfied message to its correlation neighbors.
Before node s marks itself deleted, it makes a “handshakes” with the used source nodes.
那他第二個提出的distributed algorithm就是這個handshake algorithm
他一樣是和前面所提到的basic algorithm一樣
只不過他在所有的testing round改用C33和C44取代了本來的 C3 和 C4 condition
至於要確定node s的correlation neighbor的C2 condition的問題
他改用這個C2-satisfied message來解決
也就是當一個node滿足c2時
他會把這個C2-satisfied message傳給他所有的correlation neighbors知道
為了避免message loss的問題
node s 要標示自己為deleted之前
Node s會先和他所有的correlation neighbors做好handshake
確定情況都正確後 才標示自己為deleted的狀態
不過這個做法一樣會多出需要傳遞的messages數目

16. Centralized Approximation Algorithm (1)
Definition 4. (Intersection Graph of Source Sets) Let I be the set of nodes in the network, and I = { {s} | s ∈ I }. Let S be the set of source sets in the correlation graph of the network. The intersection graph of source sets is the simple graph G( V =S∪I, E = { (v1, v2) | (v1 ∩ v2) = φ}). S1 S2 S3 S4
接著就是他所提出的centralized的演算法
一樣是對所要用到的觀念作一些定義
這個definition 4是說source sets的intersection graph
一個source set就是一個correlation edge上的source nodes所形成的組合
這個source set的intersection graph是一個graph
他包含了所有的source set當作vertex
如果兩個source set的交集不是空集合的話
在這個intersection graph上兩個source set間就會有一條edge相連
如同下面的圖
S1是個source set包含{b1, b2}
S2是另一個source set包含{b2, b3}
因為S1和S2之間有交集 b2 所以代表S1和S2的vertex間有一條edge相連

17. Centralized Approximation Algorithm (2)
Definition 5. (Connected Subgraph of Sources; Connected Source Set) A connected subgraph in the intersection graph of source sets is called a connected subgraph of sources. A connected source set is a set of nodes corresponding to some connected subgraph of sources, i.e., the union of the sets corresponding to the vertices of a connected subgraph of sources. S1 S2 S3
(c) Connected Subgraph of Sources
Definition 5是說sources的connected graph跟connected source set
Connected subgraph of sources就是前面所說的intersection graph中一個連續的subgraph
像是在這個S1到S4所組成的intersection graph中 S1到S3所形成的就是一個connected subgraph of sources
至於connected source set就是對應connected subgraph of sources的source nodes
像是S1到S3所形成的connected subgraph of sources 對應他的connected source set就是{b1, b2, b3, b4} S1 S2 S3 S1 S2 S3 S4
{ b1, b2, b3, b4}
(a) Source Sets
(b) Intersection graph of Source Sets
(d) Connected Source Set

18. Centralized Approximation Algorithm (3)
Definition 6. (Inferred Nodes) Given a set of nodes S, the set of inferred nodes for S is denoted by I(S) and is defined as
I(S) = S ∪ { x | (Y, x) is a correlation edge and Y ⊆ S }.
Definition 7. (Benefit of a Set of Nodes) Benefit of a set S with respect to a set M of nodes M is denoted by B(S,M) and is defined as B(S,M) = |(I(S) − I(M)| / |S − M|, where I(S) and I(M) are the set of inferred nodes for S and M respectively.
Definition 6是對inferred nodes下定義
對一個node set S來說
S的inferred nodes除了包含了S當中的nodes
還包含了correlation edge從S當中出發指到的那些nodes
像左下圖一樣
M黃框框中的是M中的nodes
M的inferred nodes I(M)包含了屬於M的nodes 以及correlation edge指到的一些node
Definition 7是說benefit of a set of nodes
這邊就是node set S對於node set M的benefit為 I(S) – I(M) 除上 |S - M|
就是inferred nodes數目差除上 set 中node數目的差值
像下圖 S對M的benefit 就是 inferred node差 就是這個3 除去set中node增加的數目 就是這個1 等於 3
B(S,M) = 3 / 1 = 3 M S
I(M)
I(S)

19. Centralized Approximation Algorithm (4)
1st Phase: Constructing a near-optimal Correlation-Dominating Set
Initially, set M contains the data-gathering node.
The algorithm iteratively adds to M the connected source set that has the maximum benefit with respect to M.
The Phase terminates while the set M becomes a correlation-dominating set.
2nd Phase: Connecting the Correlation-Dominating Set
The algorithm iteratively connects the closest pair of connected components.
The time complexity of the algorithm is exponential in n (nodes num), since the number of connected source sets in the first phase can be exponential.
這邊就是他所提出的centralized algorithm
他分為兩個phase
第一個phase先建出一個correlation-domination set
這個correlation-domination set不一定是connected
他的做法一開始讓這個correlation-domination set M只包含這些像是sink之類的data-gathering nodes
接著他用greedy的做法 反覆的加入含有最大benefit的connected source set到M當中
直到最後M形成了一個correlation-dominating set 第一個phase結束
那第二phase就是要把這個correlation-dominating set變成connected
他一樣是用greedy的方式
反覆的將correlation-dominating set中最近的兩個components相連
直到他們變成connected
由於在第一個phase中要試的connected source set的數目會是exponential n的
所以這個algorithm是n exponential的

20. Centralized Approximation Algorithm (5)
Polynomial-time Heuristics (l-hop Heuristic)
Based on the above algorithm
At each stage, the algorithm constructs the connected source set fl(S) for each source set S, and pick the fl(S) having the max benefit and add it to the selected set M.
The fl(S) is constructed in a greedy manner by merging S with the best source set that is at most l away from S in the intersection graph.
Example:
1-hop heuristic at 1st stage
要縮減algorithm的複雜度
他提出了一個polynomial-time的heuristic 他把他稱為l-hop heuristic
基本上是相同於前面的centralized algorithm
那不同的是
在第一個phase中不再找所有可能的connected source set
現在他在每個stage當中對每一個source set S只建出一個connected source set fl(S)
然後在這些fl(S)當中挑出一個benefit最大的 加到selected set M當中
S的Fl(S)的建法也是greedy的
就是不斷地把距離S l-hop內 有最好的benefit的source set加入到S當中
直到fl(S)的benefit無法增加後完成
下面就是1-hop heuristic在第一個stage的例子
S1的connected source set f1(S1)就是S1合併S2後形成
S2的f1(S2)就是S2合併S1再合併S3後停止所形成的
那在這個第一個stage中因為f1(S2)對M的benefit最大
所以stage1會加入f1(S2)到M中
在接著作其他的stage
直到形成了correlation-dominating set
再接著作phase 2將其相連
完成整個algorithm S1 S2 S3
Max Benefit! ˙ ˙

21. Performance Results (1)
Random Sensor Networks with Synthetic Correlation
1000 nodes
Area: 40 x 40 units
Transmission Radius : 3 units
For each node s and a set of nodes S (1 to 3 nodes within at most d = 2 hop), the hyperedge (S, s) is added with a probability P/100.
Simulation Environments
Correlation computation: K=3, L=5
Small size network: 100 nodes, 7 x 7 area
Large size network: 1000 nodes, 40 x 40 area
最後他的實驗用到了真實跟合成的資料
那他合成的資料的建法是
他用了1000 nodes
把他佈置在40 x 40 units的面積中
把node的通訊範圍定為3個unit
然後對於每一到三個node的node set與另外一個node之間
會有一個機率p來決定他們之間是不是有correlation edge的存在
那他拿這個合成的資料來跑實驗的環境中
他把這個k設為3
Correlation edge只用3個時段來計算
把這個l設為5
就是一個node拿來推斷他資料的source nodes的數目是5個
小的network 100個node步在7x7的面積中
大個network 1000個node布在40 x 40的面積中
那他在這兩種size的network來跑他的實驗

22. Performance Results (2)
Centralized Algorithm
第一個實驗是比較centralized algorithm的表現
可以從圖中看到
1-hop和2-hop的表現差異很小
通訊範圍大時 1-hop和2-hop的表現已經很接近optimal的表現
所以作者認為1-hop的centralized algorithm對一般的的sensor network已經夠用
100 nodes, 7 x 7 area with synthetically generated correlation

23. Performance Results (3)
Distributed Algorithm
那第二個實驗他比較了distributed algorithm的表現
下面三張圖的橫軸都是決定correlation edge存不存在的機率參數p
圖A當中的縱軸是correlation-dominating set的size
可以看到handshake表現的叫2-round要來的好意點 不過並沒有差很多
那在圖B當中的縱軸是這個algorithm所要傳輸的message數量
不過從圖B中可以看到handshake比2-round要多出了很多message的數量
圖c當中的q theta的值則是
拿這個algorithm會耗費的能量
除去那些被標示為deleted的node數目
也就是每個deleted node要負擔這個algorithm的平均耗能
它採用message數目作為q-theta的單位
當後來的query數目多於這個q-theta值的時候
這個algorithm才能幫整個sensor network節省能源
圖C中也顯示了一般network中的query數目較兩者的q-theta值都會高很多
所以這兩個distributed algorithm是可以幫network節省到能源
但handshake的q-theta值較2-round要來的高
而兩者的表現沒有差很多
所以這個作者還是認為2-round algorithm已經夠用了
1000 nodes, 40 x 40 area with synthetically generated correlation

24. Performance Results (5)
Simulation on Real Temperature Data
Average temperature of over 600 US cities
Source set S consists of 1 to 3 nodes within most distance d = 2
Error threshold: 5%
那他第三個實驗就拿了真實的資料來跑模擬
他拿的是600個美國城市的平均溫度來作
這個source nodes被限制為是2-hop內的 一到三個node所組成的source set
把error threshold定成百分之五
從下面這個表可以看到
跑出來的correlation-dominating set的size都大概只剩原來的2/3
而且Distributed algorithm的Q-theta值對於一般query的數目來說也是很小

25. Conclusion
The paper considered the connected correlation-dominating set that helps in minimizing energy costs in data-gathering sensor network.
The correlation structure (hypergraph) can capture general data correlation.
最後是這篇論文的conclusion
那這邊paper就提出了這個connected correlation-dominating set來節省data-gathering network的能量
那他所提出來的correlation structure是可以捕捉到一般普遍的data correlation
實驗結果也顯示他的centralized跟distributed的algorithm是有效的