1. Introduction to Wavelets -part 2
By Barak Hurwitz
שלום לכולם!
היום אני אעביר את החלק השני של הרצאת מבוא בהמשך ישיר לשבוע שעבר , הרבה מהדברים שתשמעו היום יבואו כהקדמה לנושאים שונים שנזכיר היום ושתרחיבו עליהם בהרצאות עתידיות.
Wavelets seminar
with Dr’ Hagit Hal-or

2. List of topics 1D signals 2D signals Reminder Wavelet Transform
CWT,DWT
Wavelet Decomposition
Wavelet Analysis
2D signals
Wavelet Pyramid
some Examples
ההרצאה תהיה בנויה בצורה זו:
תזכורת למה צריך מרחב תדר.
מה זה WAVELET ולמה הוא טוב?
איך ננתח סיגנל בעזרת WAVELETS ?
נעשה השוואה עם התמרת פורייה.
נראה WAVELETS שונים.
נראה בנייה ופירוק של תמונה (סיגנל דו-מימדי) בעזרת WAVELETS.
נעבור על דוגמא של קידוד בעזרת WAVELETS.
ונסכם בקצרה .

3. Reminder – from last week
Why transform?
Why wavelets?
Wavelets like basis components.
Wavelets examples.
Wavelets advantages.
Continuous Wavelet Transform.
תזכורת קצרה למה שראינו בהרצאה של אלכס:
מדוע צריך בכלל את מרחב התדר?
מדוע כדאי להשתמש ב WAVELET ?
איך נראות פונ' הבסיס של הWAVELET ?
דוגמאות ל WAVELET שונים?
CWT ועוד.
נזכיר מושגים שונים: CWT,STFT וכו'
ונראה את היתרונות של ה WAVELET !!!

4. Reminder -Why transform?
דוגמא ראשונה לשימוש במרחב תדר:
"הפרעת גדר" בתמונה של הילדה.
הפתרון:
ייצוג התמונה ע"י מקדמי תדר שונים המתאימים לפונ' בסיס שונות .
ההפרעה תתבטא במקדם גבוה במיוחד שע"י משחק איתו נוכל לקבל תמונה חלקה יותר.
למצוא תמונה שונה!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

5. Reminder – Noise in Fourier spectrum
ושוב הדוגמא למרחב תדר שבו את מיקום ההפרעה ניתן לראות בבירור וע"י כך להורידה.
למצוא תמונה שונה!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

6. 1D SIGNAL Coefficient * sinusoid of appropriate frequency
פה אנו רואים כיצד ניתן לייצג סיגנל בעזרת טרנספורם פורייה.
חלוקה של הסיגנל לגלי SIN בתדירויות שונות כאשר לכל תדירות יש מקדם מתאים .
ברגע שיש לנו את מערך המקדמים (לסיגנל חד מימדי) אנו יכולים לפרק ולשחזר את הסיגנל באופן מלא.
The original signal

7. Wavelet Properties Short time localized waves 0 integral value.
Possibility of time shifting.
Flexibility.
מה זה WAVELET?
מימין אנחנו רואים WAVELET ממשפחת דביושי.
WAVELET הוא מוגבל (יש לו תחם)
האיטגרל שלו הוא 0.
תכונות נוספות:
אפשרות להזזה בזמן (הוא אינו אינסופי כמו גלי הסינוס למשל)
וגמישות (ניתן לכווץ ולמתוח).

8. Wavelets families כיצד נראה?WAVELET
האר , דוביושי ועוד.
עוד משפחות של WAVELETS בתמונה.

9. Wavelet Transform
Coefficient * appropriately scaled and shifted wavelet
ובאופן דומה פירוק ושחזור של סיגנל לWAVELETS - .
רק שפה מקדם מתאים ל WAVELET בהזזה ובסקלה מסוימת.
ובמקום גלי SIN בתדירויות שונות ,יש לנו פה פונקציית WAVELET אחת.
The original signal

10. CWT Step 1 Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 Repeat steps 1-4 for all scales
תזכורת:
מקדמי הCWT נוצרים לאורך כל הסיגנל לפי ההתאמה של כל קטע ל WAVELET בהזזה ובגודל שונה.
צעדים למציאתם:
1.קח WAVELET והשווה לקטע הראשון בסיגנל.
2.חשב מספר C ,המייצג את ההתאמה בין ה WAVELET לקטע המסויים בסיגנל. ככל ש C גדול יותר ההתאמה טובה יותר.
3.הזז ימינה את הWAVELET וחזור על צעדים 1-2.
4.שנה את גודל הWAVELET וחזור על צעדים 1-3.
5.חזור על 1-4 לכל הסקאלות
Step 4
Step 5
Repeat steps 1-4 for all scales

11. Example – A simulated lunar landscape
נראה דוגמא :קו חוף הירח
כיצד תראה התוצאה של סיגנל זה?
איך נראית תוצאה של CWT בכלל?

12. CWT of the “Lunar landscape”
1/46
scale
לאחר הרצת הCWT נקבל תמונה שבה הערכים מבטאים את מידת הקורלציה (C) עבור כל סקאלה.
כאשר בהיר אומר C גבוה משמע התאמה טובה
וכהה אומר C נמוך משמע התאמה לא משהו.
בצד שמאל אנחנו רואים 32 פונקציות בסיס מהפונ' המקורית MOTHER ועד לסקאלה הגבוהה שהיא מתאימה לתדר הנמוך ביותר.
להראות את הסיגנל!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
time
mother

13. Scale and Frequency
Higher scale correspond to the most “stretched” wavelet.
The more stretched the wavelet –
the coarser the signal features being measured by the wavelet coefficient.
בדוגמא הקודמת ראינ כי הסקאלה (בצד שמאל) הייתה מ1 עד 46, כאשר סקאלות גבוהות התאימו ל wavelet מתוחים.
ככל שה wavelet היו מתוחים יותר-
הקטע בסיגנל שהשתתף בהשוואה היה ארוך יותר ולכן קיבלנו את מידת ההתאמה לצורה ה"גסה" יותר של הסיגנל.
Low scale High scale

14. Scale and Frequency (Cont’d)
Low scale a : Compressed wavelet :Fine details (rapidly changing) : High frequency
High scale a : Stretched wavelet: Coarse details (Slowly changing): Low frequency

15. Shift Smoothly over the analyzed function
בזמן האנליזה ה WAVELET מוזז לכל אורך הסיגנל.

16. Discrete Wavelet Transform
The DWT
Calculating the wavelets coefficients at every possible scale is too much work
It also generates a very large amount of data
Solution: choose only a subset of scales and positions, based on power of two (dyadic choice)
חישוב מקדמי ה WAVELET לכל סקאלה אפשרית הוא עבודה קשה וארוכה מדיי!!!
וכן נוצרת כמות גדולה מדיי של DATA.
פתרון:
נבחר תת קבוצה של סקאלות , למשל בחזקות של 2 (DYADIC) וכו'.
זוהי למעשה ההתמרה הבדידה של ה WAVELET => ה DWT.
Discrete Wavelet Transform

17. Approximations and Details:
Approximations: High-scale, low-frequency components of the signal
Details: low-scale, high-frequency components
Input Signal
LPF
HPF
כל סיגנל ניתן לחלק לתדרים נמוכים ותדרים גבוהים.
הערכה הכללית של הסיגנל ( צורתו הכללית) נקבל מהתדרים נמוכים .
ואת הפרטים נקבל מהתדרים גבוהים.

18. Decimation A complete one stage block :
The former process produces twice the data
To correct this, we Down sample (or: Decimate) the filter output by two.
A complete one stage block : A*
LPF
N input samples produce N approximations coefficients and N detail coefficients.
Input Signal
HPF D*

19. Multi-level Decomposition
Iterating the decomposition process, breaks the input signal into many lower-resolution components: Wavelet decomposition tree:
high pass filter
Low pass filter

20. Wavelet reconstruction
Reconstruction (or synthesis) is the process in which we assemble all components back
Up sampling
(or interpolation) is done by zero inserting between every two coefficients

21. Example*:
* Wavelet used: db2

22. What was wrong with Fourier?
We loose the time information
ניזכר מה הבעייתיות בפורייה?
1.אנחנו מאבדים את אינפורמציית הזמן, משמע, מתי קרה מאורע כלשהוא.
הערות:
הבעייתיות היא בעיקר בתופעות מעבר
NON STATIONRY OR TRANSIANTS SIGNALS.
גליי הSIN הינם אינסופיים (בתמונה כגודל התמונה).
2.בחישובים אנו משתמשים במספרים מרוכבים , דבר המקשה על החישוב במעבר בין המרחבים.

23. STFT - Based on the FT and using windowing :
Short Time Fourier Analysis
STFT - Based on the FT and using windowing :
תזכורת:
מה הבעייתיות בפורייה?
1.אנחנו מאבדים את אינפורמציית הזמן, משמע, מתי קרה מאורע כלשהוא.
הערות:
הבעייתיות היא בעיקר בתופעות מעבר
NON STATIONRY OR TRANSIANTS SIGNALS.
גליי הSIN הינם אינסופיים (בתמונה כגודל התמונה).
2.בחישובים אנו משתמשים במספרים מרוכבים , דבר המקשה על החישוב במעבר בין המרחבים.
על מנת לנתח קטע קצר בסיגנל פיתח DENIS GABOR ב1946 שיטה המתבססת על התמרת פורייה הנקראת ----
STFT

24. STFT between time-based and frequency-based. limited precision.
Precision <= size of the window.
Time window - same for all frequencies.
שיטת ה STFT:
1.מעין פשרה בין מרחב הזמן למרחב התדר.
2.כאשר לשניהם יש ייצוג בדיוק מוגבל.
3.הדיוק נקבע לפי גודל החלון
4.גודל החלון אינו משתנה לכל התדירויות.
אז מה לא טוב?
הרבה סיגנלים דורשים גישה יותר גמישה ,
משמע על מנת לשיג דיוק יותר גבוה צריך חלון בגדלים שונים לקטעים שונים או תדירויות שונות.
What’s wrong with Gabor?

25. Wavelet Analysis Windowing technique with variable size window:
Long time intervals - Low frequency
Shorter intervals High frequency
ניתוח בעזרת WAVELETS:
בדומה לשיטת החלון של STFT רק עם חלון בגודל משתנה!
לתדירויות נמוכות חלון זמן גדול יותר ולגבוהות חלון זמן קטן יותר.
היתרון הוא בדיוק המתקבל בשל ההתאמה של החלון לתדירות.
סיכום קצר:
במרחב הזמן - יש לנו את דגימת SHANON -NYQIST.
במרחב התדר - פורייה.
שילוב של שניהם - STFT בעזרת פורייה (חלון זמן קבוע)
ולבסוף ניתוח בעזרת WAVELETS.
בWAVELET ניתן לראות שלסקאלה נמוכה מתאימה לתדירות גבוהה.
למעשה מתאפשר לנו להסתכל ברזולוציות כבחירתנו.

26. The main advantage: Local Analysis
To analyze a localized area of a larger signal.
For example:
בתמונה רואים גל סינוס עם הפרעה (שנגרם בשל רעש) שקשה להרגיש בה.

27. Local Analysis (Cont’d)
low frequency
Fourier analysis Vs. Wavelet analysis:
scale
Discontinuity effect
בפורייה לא נראה כלום!!!(רק את תדירות גל הSIN)
ההפרעה תשפיע על כל הטרנספורם ולא במקום מסויים בזמן!
בWAVELET נראה בבירור את המיקום המדוייק של ההפרעה בזמן!!!
הסבר לתמונה הימנית:
לבן- מקדם גבוה
שחור- מקדם נמוך
time
High frequency
NOTHING!
exact location
in time of the discontinuity.
more

28. Y = ( ) 2D SIGNAL a b x - 1 Wavelet function 2D function
b – shift coefficient
a – scale coefficient
2D function ( ) a b x - Y = 1 ,
1D function
נעבור לסיגנלים דו-מימדיים (תמונות)
בסיגנלים חד – מימדיים היה לנו את a מקדם הכיווץ מתיחה ואת b מקדם הסקאלה.
בסיגנלים דו – מימדיים ההזזה יכולה להתבצע לשני כיוונים ולכן מקדם ההזזה יוכל להיות אותו הדבר לשני הצירים ויוכל גם להיות ייחודי לכל ציר.בנוסחא פה a הוא הסקאלה לשני הכיוונים.

29. Time and Space definition
Time – for one dimension waves we start point shifting from source to end in time scale .
Space – for image point shifting is two dimensional . 2D
הגדרות:
זמן – לסיגנל חד-מימדי ההזזה מתבצעת לאורך ציר הזמן מההתחלה עד הסוף.
מרחב – לסיגנל דו מימדי (תמונה) ההזזה היא בשני הכיוונים ולכן נצטרך להיות יותר ספציפים.

30. Image Pyramids ייצוג תמונה ע"י פירמידות שונות:
(תזכורת קצרה משיעורי עיבוד תמונה)
פירמידה גאוסיינית (מצד שמאל) תמונה המוקטנת כל פעם פי4 .(מופעל פילטר גאוסייאן = על מנת למצע ודוגמים).
פירמידה לפלסייאנית (מצד ימין) נוצרת מחיסור בהתאמה כפי שרואים בתמונה (או בעזרת פילטר לפלסייאן ולאחריו דגימה).

31. וכמו שניתן לבנות פירמידות אלו בעזרת הפעלת פילטר ודגימה.
ניתן לבנות את פירמידת ה WAVELET ע"י פילטר מתאים ודגימה!

32. במישור התדר הפירמידות נראות כך:
משמאל הפירמידה הגאוסיינית ומימין הלפלסיאנית.

33. Wavelet Decomposition

34. Wavelet Decomposition- Another Example
LENNA
בסיגנל זו מימדי:
משמאל אנו רואים פירוק ב 3 שלבים של תמונת "לנה" .
על מנת לקבל את תמונת לנה המקורית כל שעלינו לעשות הוא להתחיל מהתמונה הקטנה ולחבר לה את שלושת הריבועים הסובבים לה בכל שלב .
תהליך זה מופיע ב JPEG 2000 והוא יותר טוב מהתהליך שב JPEG הקודם.
explain better!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
הסבר בשקף הבא.

35. more high pass high pass high pass
בחלק הימני למעלה הhigh pass הופעל בכיוון X ולכן הקווים המאונכים בולטים.
בחלק השמאלי למטה הhigh pass הופעל בכיוון Y ולכן הקווים המאוזנים בולטים.
קשה לראות אך מימין למטה בולטים הקווים האלכסוניים בהתאמה.
more

36. Coding Example Original @ 8bpp DWT DCT @0.5bpp @0.5 bpp
תוצאות של דחיסת תמונה דו-מימדית בעזרת wavelets בדו-מימד.(ציור של דאלי)
למעלה אנו רואים את התמונה המקורית.(8 ביט לפיקסל)
למטה מימין דחיסת DCT (DISCREAT COSINOS TRANSFORM)
למטה משמאל דחיסת DWT (DISCREAT WAVELET TRANSFORM)
שניהם קיבלו 0.5 BPP (ייצוג של 0.5 ביט לכל פיקסל) ווכפי שניתן לראות התוצאות טובות יותר בדחיסה בעזרת ה WAVELET.
בצד ימין נראה אפקט של בלוקיזציה!!!
אם נסתכל טוב נראה בDWT אפקט של "רינגים" (הדים של השפות) אך אין בלוקיזציה וזה נראה הרבה יותר טוב!

37. Zoom on Details
DWT DCT
ואם נסתכל מקרוב על השעון שעל השולחן נראה את התופעה ביתר בהירות!

38. Another Example 0.15bpp 0.18bpp 0.2bpp DCT DWT
ושוב נראה בתמונה המפורסמת של לנה את תופעת ה"בלוקיזציה".
ונבחין גם בעובדה ששינויים קטנים מאד מתחת לסף מסויים משפיעים מאד על הDCT.

39. Where do we use Wavelets?
Everywhere around us are signals that can be analyzed
For example:
seismic tremors
human speech
engine vibrations
medical images
financial data
Music
Wavelet analysis is a new and promising set of tools for analyzing these signals
מה ראינו:
מה זה WAVELETS וכיצד הם עוזרים לנו לייצג סיגנל חד מימדי או דו מימדי ( תמונה) ובמה הם טובים יותר מאפשרויות קודמות שהיו.
שימושים:
פירמידה (בעיבוד תמונה - היתוך תמונות , באינטרנט שליחה של תמונה קטנה לפני גדולה ועוד)
חסכון בביטים בקידוד ( דחיסה וכו')
מה נראה:

40. THE END

41. סיגנל בסיסי (סכום של סינוסים)

42. TREE MODE

45. דוגמא לסיגנל עם רעש:
בלוקים מורעשים.

46. דוגמא לסיגנל שעוצמת הרעשים שונה אצלו במקומות שונים בזמן (ב3 אינטרוולים)
פירוק לרמה אחת.

47. דוגמא לסיגנל שעוצמת הרעשים שונה אצלו במקומות שונים בזמן (ב3 אינטרוולים)
פירוק ל 5 רמות.

48. נסתכל שוב על הסיגנל ואחר כך נסתכל על D1 (משמע נתמקד בפרטים )

49. פה רואים בבירור את החלוקה ל 3 אינטרוולים

50. השפעה של הורדת מקדמים על השחזור.

51. ועוד הורדה......

52. עד שנקבל רק את ה APPROXIMATION
go back

59. go back
אם נרצה להורד רעשים מתמונה!!