1. Взвешенные скелеты для простых многоугольников Дипломная работа студента 544 группы Игнатьевского Сергея Васильевича Научный руководитель: К.В. Вяткина Рецензент: Н.С. Васильева Санкт-Петербург 2008

2. Введение Ранние исследования: Прямолинейный скелет (straight skeleton) (Aichholzer et al., 1995).  Крыша. Взвешенный скелет (weighted skeleton) (Aurenhammer, 2007).  Исследовался подробно только для выпуклых многоугольников.  Не было аналога крыши для многоугольника с весами

3. Цели Определение и исследование свойств взвешенного скелета для простых многоугольников. Введение понятия взвешенной крыши, исследование ее свойств и способов построения. Исследование возможности адаптации известных алгоритмов вычисления прямолинейного скелета для случая взвешенного скелета. Реализация одного из алгоритмов вычисления взвешенного скелета. Рассмотрение возможности применения взвешенного скелета на практике.

4. Взвешенный скелет и взвешенная крыша Взвешенный скелет – граф, дуги которого вычерчиваются вершинами линейного фронта в процессе его распространения, при котором ребра многоугольника движутся с разными скоростями (в зависимости от веса). Процесс распространения линейного фронта: ребра многоугольника движутся внутрь, оставаясь параллельными самим себе Скелет простого многоугольника с n вершинами – дерево, имеющее n-2 внутренних узла и 2n-3 дуги, он разбивает многоугольник на n регионов. Взвешенная крыша – результат поднятия скелета в 3D пространство, в соответствии с взвешенным расстоянием от узлов скелета до границы многоугольника  Не имеет локальных минимумов (свойство waterfall); определяется однозначно.

5. Алгоритмы построения Адаптированный алгоритм Фелкеля и Обдржалека.  Адаптация возможна, с коррекцией шагов алгоритма.  Реализован на платформе.Net (С#, VS 2005).  Время:, где n – число вершин многоугольника, среди которых m невыпуклых. Первый алгоритм Эппштейна и Эриксона.  Адаптация возможна.  Время:, - неотрицательно. Второй алгоритм Эппштейна и Эриксона.  Показана невозможность адаптации. Вероятностный алгоритм Ченга и Виньерона.  Показана невозможность адаптации.

6. Реализация модифицированного алгоритма Фелкеля и Обдржалека В рамках работы создано приложение реализующее адаптированный алгоритм Фелкеля и Обдржалека.  Технологическая основа: платформа.NET 2.0, Windows Forms, библиотека Microsoft DirectX. Функциональность программы :  Рисование простого многоугольника на плоскости.  Назначение весов ребрам многоугольника.  Загрузка и сохранение многоугольника в файл.  Построение и отображение взвешенного скелета для созданного многоугольника.  Построение и отображение взвешенной крыши многоугольника в трехмерном пространстве (с использованием классов из библиотек Microsoft.DirectX и Microsoft.DirectX.Direct3D).

7. Моделирование городов и взвешенный скелет Полуавтоматические системы моделирования городов.  Моделирование городов по данным аэросъемки сводится к восстановлению зданий по их контурам.  Применение взвешенных скелетов для построения крыши здания.  Сравнение со старыми методами (использующими прямолинейный скелет).  Применение в виртуальной архитектуре: конструирование городов в 3D играх и симуляторах.

8. Заключение Рассмотрены понятия, свойства и алгоритмы построения взвешенного скелета и крыши для простого многоугольника. Рассмотрена одна из возможностей применения взвешенного скелета на практике. Реализован модифицированный алгоритм Фелкеля и Обдржалека для вычисления взвешенного скелета. Дальнейшие исследования:  Расширение понятия взвешенного скелета на случай многоугольников с дырками и плоских прямолинейных графов.  Разработка более эффективных алгоритмов вычисления взвешенного скелета.  Исследование других областей применения взвешенных скелетов и крыш, например, для построения прямолинейного скелета многогранников в трехмерном пространстве.