1. 6/11/2015Andy Brooks1 TFV0103 Tölfræði og fræðileg vinnubrögð Fyrirlestur 7 Kafli 4.5-4.7 Probability/Líkindi, Líkur The probability of heads P(H) = ½ = 0,5. Líkurnar á að fá fisk/framhlið = ½ = 0,5. The probability of tails P(T) = ½ = 0,5. Líkurnar á að fá skjaldarmerki/bakhlið = ½ = 0,5. “mutually exclusive events” “ósamrýmanlegir atburðir” Two events that cannot happen at the same time. Tveir atburðir sem geta gerist ekki samtímis. framhlið eða bakhlið fiskur eða skjaldarmerki Math2260 Venn diagram/Venn-mynd(Addition Rule)

2. 6/11/2015Andy Brooks2 Compound Event/Samettur Atburður tveir eða fleiri atburðir The probability that either event A or event B occurs: P(A or B). P(Heads or Tails) = 1. Líkurnar á að annaðhvort atburður A eða atburður B verði: P(A eða B). P(Framhlið eða Bakhlið) = 1. The probability that both events A and B occur: P(A and B). P(Heads and Tails) = 0. Líkurnar á að báðir atburðir A og B verði. P(A og B). P(Framhlið og Bakhlið) = 0. The probability that event A occurs if we know that event B has occurred: P(A | B). Líkurnar á að atburður A verði ef við vitum að atburður B hefur orðið.

3. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc3 Dæmi Visitors at an amusement park: Gestir í útiskemmtistað: One visitor is selected at random./Einn gestur er valinn af tilviljun. 1)The event A is “the visitor purchased an all-day pass”. Atburðurinn A er “gesturinn keypti 24 kl. miða”. 2)The event B is “the visitor purchased a half-day pass”. Atburðurinn B er “gesturinn keypti 12 kl. miða” 3)The event C is “the visitor is female”. Atburðurinn C er “gesturinn er kvenkyns.” gildir 12 kl. eða 24 kl. roller coaster/rússíbani admission ticket/aðgangsmiði heildartala = 3600 í línu saman

4. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc4 The events A and B are mutually exclusive events. Atburðirnir A og B eru ósamrýmanlegir atburðir –Miði keypt fyrir hálfan dag eða heilan dag. The events A and C are not mutually exclusive events. Atburðirnir A og C eru ekki ósamrýmanlegir atburðir. –Get gerist “samtímis”. Venn-mynd AB C The intersection of events A and C can be seen in the table or in the Venn diagram. Sniðmengi atburða A og C getur sést í töflunni eða í Venn-myndinni.

5. 6/11/2015Andy Brooks5 If two events A and B are “mutually exclusive”: P(A and B) = 0. Ef tveir atburðir A og B eru “ósamrýmanlegir atburðir”: sniðmengi er ekki til Intersection – we don´t intend to count twice. Sniðmengi - við ætlum ekki að telja tvisvar. General Addition Rule for probability Almenn samlagningarregla um líkindi A and B are two events in a sample space S. A og B eru tveir atburður í úrtsaksrúmi S. Venn-mynd

6. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc6 If two events A and B are “mutually exclusive” events, then: Ef tveir atburðir A og B eru “ósamrýmanlegir” atburðir, svo: Also for more than two “mutually exclusive” events: Líka fyrir fleiri en tveir “ósamrýmanlegir” atburðir: P(A or B or C or D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) No intersections. Sniðmengi eru ekki til. Special Addition Rule for probability Sérstak samlagningarregla um líkindi

7. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc7 PP()()0.AA  11,150,85 P()A and B (A og B eru “ósamrýmanlegir”)  0 PPP()()()B or CBC  0,250,400,65 Dæmi PPPP()()()()A or B orCABC  0,15 + 0,25 + 0,40 = 0,80 “mutually exclusive” events “ósamrýmanlegir” atburðir Special Addition Rule complementary event/andstæður atburður 0,15 0,25 0,40 0,20 Starfsfólk í sjúkrahús: framkvæmdastjóri (A), læknir (B), hjúkrunarkona (C), eða þjónusta (D). Við vitum af P(A) = 0,15, P(B) = 0,25, P(C) = 0,40, and P(D) = 0,20 Líkur á að maður valinn af tilviljun er ekki framkv.

8. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc8 Dæmi PPPP()()()()F or DFDF og D  0,5 + 0,6  0.2 = 0,9 P PP ( )()() Ekki prófað skyndibita FF   11 0,5 = 0,5 P PP ( )()( ) prófað bara gósi DF og D    0,6  0,2 = 0,4 PP[()]()F or D  11 0,9 = 0,1 General Addition Rulesniðmengi er til A consumer is selected at random. The probability the consumer has tried a snack food (F) is 0,5, tried a soft drink (D) is 0,6, and tried both is 0,2. Neytandi er valinn af handahófi. Líkurnar á að neytandinn hefur prófað skyndibita (F) er 0,5, prófað gosi (D) er 0,6, og prófað bæði er 0,2. P(prófað skyndibita eða gosi) P(prófað hvorki skyndibita né gosi)

9. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc9 Conditional Probability/ Skilyrt Líkindi What is the probability of A when it is know that event B has occurred? Hverjar eru líkurnar á A þegar vitað er að atburður B hefur orðið? The sample space is no longer S, but of B. Úrtaksrúmið er ekki lengur S, en af B. Two events A and B are independent events if: Tveir atburðir A og B eru óháðir atburðir ef: P(A | B) = P(A) eða P(B | A) = P(B) Skiptir engu ef við vitum að... AB

10. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc10 Dæmi slétt tala Við vitum að – talan er oddatala Við vitum að – talan er slétt tala Við vitum að – talan sama sem 1 Casting a die. S (the sample space) = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Events are: A = “a 1 occurs” B = “an odd number occurs” C = “an even number occurs” Að kasta teningi. S (úrtaksrúmið) = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Atburðir eru: A = “1 gerist” B = “oddatala gerist” C = “slétt tala gerist” venjulegur sexhliða teningur jafnar líkur á hverri hlið

11. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc11 Special Multiplication Rule/ Sérstak margföldunarregla P(A og B og C og...) = P(A).P(B).P(C).... HH HT TT TH P(H og H) = ¼ ½. ½ = ¼ General Multiplication Rule/Almenn margföldunarregla A and B are two events in a sample space S. A og B eru tveir atburður í úrtsaksrúmi S. If two events A and B are independent events: Ef tveir atburðir A og B eru óháðir atburðir: kasta tvisvar P(A og B) = P(A).P(B|A) eða P(A og B) = P(B).P(A|B)

12. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc12 Event A is “Allen gets a cold”, event B is “Bob gets a cold” and event C is “Chris gets a cold.” P(A) = 0.15, P(B) = 0.25, P(C) = 0.3. The events are independent. Dæmi P PPPP () ()()()() All threeget coldsthis winter A and B and CABC  = 0.15 * 0.25 * 0.30 = 0.0113 P PPPP ( ()()()() Allen and Bob get a cold, but Chris does not) A and B andCABC  = 0.15 * 0.25 * 0.70 = 0.0263 Special Multiplication Rule/Sérstak margföldunarregla independent events/óháðir atburðir gets a cold/kominn með kvef 0,15 0,25 0,30 Allt breytast, auðvitað, ef þeir hittast, ekki lengur óháðir atburðir...

13. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc13 Tree Diagram/Hríslumynd - Dæmi D Positive Jákvætt Negative Neikvætt Disease Sjúkdom The test outcome Útkoma prófsins 0,001 0,999 0,90 0,10 0,05 0,95 complementary event/andstæður atburður En, þú ert ekki með krabbamein! En, þú ert með krabbamein! Positive Jákvætt Negative Neikvætt “Prófið hér er ekki gott.”

14. 6/11/2015(c) Thomson Learning, Inc14 The space shuttle Challenger blew up in 1986. Geimskutlan Challenger sprakk í loft upp í 1986. Reliability of a joint was 0,9777. Áreiðanleiki samskeytis var 0,9777. So the reliability of six joints was: Svo áreiðlanleiki sex samskeyta var: 0.9777 x 0.9777 x 0.9777 x 0.9777 x 0,9777 x 0.9777 eða 0.869, u.þ.b. 87% Video: Chapter 4 and 5 probability Special Multiplication Rule Sérstak margföldunarregla independent events/óháðir atburðir