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第 10 章 兩母體平均數與比例的統計推論 © 滄海書局.

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1 第 10 章 兩母體平均數與比例的統計推論 © 滄海書局

2 1 = 2 ? ANOVA 第 10 章 兩母體平均數與比例的統計推論 兩母體平均數之差的估計:獨立樣本
第 10 章 兩母體平均數與比例的統計推論 兩母體平均數之差的估計:獨立樣本 兩母體平均數之差的假設檢定:獨立樣本 兩母體平均數之差的推論:配對樣本 兩母體比例之差的推論 1 = 2 ? ANOVA

3 兩母體平均數之差的估計:獨立樣本 兩母體平均數之差的點估計量 的抽樣分配  的區間估計:大樣本的情況
 的區間估計:小樣本的情況

4 兩母體平均數之差的點估計量 令 1 為母體 1 的平均數及 2為母體 2 的平均數。 兩母體間平均數之差即為 1 - 2。
欲估計 1 - 2 ,我們必須從母體 1 中抽取樣本大小為 n1 的簡單隨機樣本,且從母體 2 中抽取樣本大小為n2的簡單隨機樣本。 令 為樣本 1 的平均數及 為樣本 2 的平均數。 為母體 1 及2 平均數之差的點估計量。

5 的抽樣分配 抽樣分配的特性 期望值 標準差 其中 1 = 母體 1 的標準差 2 = 母體 2 的標準差
其中 1 = 母體 1 的標準差 2 = 母體 2 的標準差 n1 = 由母體 1 所抽取之樣本大小 n2 = 由母體 2 所抽取之樣本大小

6 1 - 2的區間估計: 大樣本的情況(n1 > 30 且 n2 > 30)
1 及 2 已知之區間估計 其中 1 -  為信賴係數 1 及 2 未知之區間估計

7 範例 1 - 2的區間估計:大樣本的情況 Greystone百貨公司在紐約州水牛城有兩家分店,一家在市區,另一家位於郊區的購物中心。該公司的地區經理發現,在其中一家分店賣得很好的產品,常常在另一家賣不好。她相信,這可能是因這兩個地點的顧客其人口統計特徵有別,例如,年齡、教育程度、所得等等的差異。現在假定這個地區經理請我們替她分析這兩個地點的顧客平均年齡是否確有差異。

8 範例 1 - 2的區間估計:大樣本情況 樣本統計 分店 抽樣的顧客數目 樣本的平均年齡 樣本的標準差
分店 抽樣的顧客數目 樣本的平均年齡 樣本的標準差 市區    36        = 40 歲    s1 = 9 歲 郊區   49   = 35 歲 s2 = 10 歲

9 範例 兩母體平均數之差的點估計 1 = 母體 1 的平均數(即市區分店所有顧客的平均年齡)
2 = 母體 2 的平均數(即郊區分店所有顧客的平均年齡) 1 - 2 的點估計值 = = 40 – 35 = 5 歲

10 估計兩母體間平均數之差 母體 1 市區分店的顧客 m1 = 市區分店顧客 的平均年齡 母體 2 郊區分店的顧客 m2 = 郊區分店顧客
n1 個市區分店顧客 的簡單隨機樣本 = 市區分店顧客所形 成樣本的平均年齡 n2個市區分店顧客 的簡單隨機樣本 = 市區分店顧客所形 成樣本的平均年齡 x1 - x2 = m1 – m2 的點估計量

11 範例 兩母體平均數之差在95%信賴水準下的區間估計:大樣本的情況,且1 與 2 未知 以樣本標準差替代母體標準差:
= 5  (1.96)(2.07) = 5  4.06 因此,在95%的信賴水準下,Greystone的兩個母體平均年齡之差的區間估計為0.94歲到9.06歲。

12 1 - 2的區間估計: 小樣本的情況(n1 < 30 且/或 n2 < 30)
 2 已知之區間估計 其中

13 1 - 2的區間估計: 小樣本的情況(n1 < 30 且/或 n2 < 30)
 2 未知之區間估計 其中

14 範例 以Clearview國家銀行為例,來說明此一區間估計的程序。從該公司兩家分行顧客的支票帳戶餘額中,所抽樣的獨立隨機樣本的結果如下。
  分行   支票帳戶的戶數 樣本平均餘額 樣本標準差  Cherry Grove    =$1, s1=$150 Beechmont =$ s2=$120

15 範例 兩母體平均數之差在90%信賴水準的區間估計:小樣本情況 我們做以下假定: 兩家分行的支票帳戶餘額均呈常態分配 且其變異數也相等
在此區間估計的程序中,t 分配的自由度為 n + n - 2 = – 2 = 20,且因 α=0.10,故 tα/2= t0.05 =1.725。

16 範例 兩母體平均數之差在90%信賴水準的區間估計:小樣本情況
因此,在90%信賴水準下,兩家分行的帳戶平均餘額之差的區間估計值為 - $21.41到$181.41。縱使Cherry Grove分行的樣本平均餘額較大,但實際上Beechmont分行的母體平均餘額有可能較大。而信賴區間包含0值可解釋為,我們並無充分證據支持兩家分行的母體帳戶平均餘額確有差異的說法。

17 兩母體平均數之差的假設檢定:獨立樣本 假設
H0: 1 - 2 < H0: 1 - 2 > H0: 1 - 2 = 0 Ha: 1 - 2 > Ha: 1 - 2 < Ha: 1 - 2  0 檢定統計量 大樣本 小樣本

18 範例 兩母體平均數之差的假設檢定:大樣本的情況
某家公司想瞭解兩家訓練中心其教育品質是否有差別,而讓在這兩訓練中心受訓的所有人員均接受了一標準化的測驗,並以測驗成績作為評估兩訓練中心教育品質異同的主要依據。

19 範例 兩母體平均數之差的假設檢定:大樣本的情況 樣本統計 訓練中心A 訓練中心 B 樣本數 n1 = 30 n2 = 40
 平均數 = = 78  標準差 s1 = s2 = 10

20 範例 兩母體平均數之差的假設檢定:大樣本的情況
我們先暫時性地假設這兩家中心的訓練品質並無差異,因此,就平均測驗成績而言,其虛無假設為μ1 - μ2 = 0。其中,令 μ1= 在A中心受訓人員的母體的平均測驗成績 μ2= 在B中心受訓人員的母體的平均測驗成績 虛無與對立假設 H0:μ1 - μ2 = 0 Ha:μ1 - μ2  0

21 範例 兩母體平均數之差的假設檢定:大樣本的情況 拒絕法則 若 z < - 1.96 或 z > 1.96,則拒絕 H0 結論

22 範例 兩母體平均數之差的假設檢定:小樣本的情況
某家公司剛開發出一種新的電腦套裝軟體,其可協助系統分析師減少設計、發展及執行一資訊系統所需的時間。為了評估此一軟體的好處,該公司選取了24位系統分析師為一隨機樣本,每位分析師均須完成一指定規格的假想資訊系統,其中12位須以現有的技術來完成,另12位則訓練他們使用此新軟體來完成。

23 範例 兩母體平均數之差的假設檢定:小樣本的情況
在本研究中,共有兩個母體:一個是使用現有技術的系統分析師的母體;另一個是使用新套裝軟體者的母體。以完成此一資訊系統設計計畫所需的時間而言,其母體平均數為 1 =使用現有技術的系統分析師完成計畫所需的平均時間 2 =使用新軟體技術的系統分析師完成計畫所需的平均時間 虛無與對立假設 H0: 1 - 2  0 Ha: 1 - 2 > 0

24 範例 兩母體平均數之差的假設檢定:小樣本的情況 拒絕法則 若 t > 1.717,則拒絕 H0
(a = 0.05時,查 t 分配表可得自由度為22) 檢定統計量 其中

25 兩母體平均數之差的推論:配對樣本 在配對樣本設計中,每個樣本元素均提供了一對觀測值。
這種設計方式所導致的抽樣誤差通常較獨立樣本設計來得小。主要原因乃在抽樣項目間的差異作為抽樣誤差來源的可能性已被排除。

26 範例 兩母體平均數之差的推論:配對樣本 假定某製造商欲生產出某一特定產品,有兩種方法可以採用。為了使產出最大,該公司想知道其中那一種方法其完成一單位產品的平均時間最短。令μ1及μ2分別代表生產方法1及生產方法2的平均時間,由於事先並不知道哪一種方法較好,因此我們先假定這兩種方法的平均完成時間相等。此時,虛無假設為H0:μ1 - μ2 = 0。如果此一假設被拒絕,即顯示其平均完成時間確有差異,而在本案例中,平均完成時間較短的方法將被公司所採用。此時,虛無及對立假設可表示如下。 H0:μ1 - μ2 = 0 Ha:μ1 - μ2  0

27 範例 配對樣本設計的產品完成時間 作業員 方法1的完成 方法2的完成 完成時間 時間(分鐘) 時間(分鐘) 之差(di)
作業員 方法1的完成 方法2的完成 完成時間 時間(分鐘) 時間(分鐘) 之差(di)

28 範例 兩母體平均數之差的推論:配對樣本 令 d 表作業員母體間平均數之差 虛無與對立假設 H0 : d = 0 Ha : d  0
拒絕法則 當α= 0.05且自由度為 n - 1 = 5 (t 0.05 = 2.571)之時,此雙尾檢定的拒絕法則為 若 t < 或 t > 2.571,則拒絕H0

29 範例 兩母體平均數之差的推論:配對樣本 結論 既然 t = 2.20不在拒絕域之內,故前述樣本資料並未提供充分證據拒絕H0

30 兩母體比例之差的推論 的抽樣分配 p1 - p2 的區間估計 p1 - p2 的假設檢定

31 的抽樣分配 期望值 標準差 分配形式 如果樣本數足夠大(即n1p1, n1(1 - p1), n2p2 及n2(1 - p2) 均大於或等於 5),則 的抽樣分配趨近於常態分配。

32 p1 - p2 的區間估計 區間估計 點估計值

33 範例 某稅務代公司理想比較旗下兩家地區辦公室的工作品質,遂從每家辦公室代理過的報稅案件中,隨機抽取若干為一樣本,審查其正確性,而得以估計出每家辦公室報稅錯誤案件所佔的比例。該公司特別想知道的,是這兩個比例有否差異。

34 範例 兩母體平均數之差的點估計 p1 =母體1(辦公室1)的報稅錯誤比例 p2 =母體2(辦公室2)的報稅錯誤比例
=母體1所抽取之簡單隨機樣本的樣本比例 =母體2所抽取之簡單隨機樣本的樣本比例

35 範例 p1 - p2的區間估計:大樣本情況 在90%信賴區間下,z0.05 = 1.645, 0.05  1.645(0.0275)
0.05  0.045 結論 這兩家辦公室報稅錯誤比例之差的90%信賴區間為0.005至0.095。

36 p1 - p2的假設檢定 假設 H0: p1 - p2 < 0 Ha: p1 - p2 > 0 檢定統計量
其中

37 範例 p1 - p2的假設檢定 續以上述例子的資料來說明如何進行兩母體比例之差的假設檢定,並假定該公司想決定其兩家辦公室的報稅錯誤比例是否有差異,以下將說明可用來檢定下述假設的統計程序。 虛無與對立假設 H0: p1 - p2 = 0 Ha: p1 - p2  0

38 範例 p1 - p2的假設檢定 拒絕法則:若 z < -1.645 或 z > 1.645,則拒絕 H0 統計檢定量
結論 由於1.85>1.645,因此應拒絕虛無假設。

39 End of Chapter 10


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